浅谈初中数学线段之和最值问题

近年来，在全国各地出现的中考试题的平面几何最值问题中，呈现出变化多、涉及面广、形式灵活的景象，对学生来讲是个难点；如果深入思考，可以发现：这类试题的命制都是立足于教材，解决途径都是运用转化的思想“化折为直”。本文中，笔者根据近几年的中考试题，结合浙教版教材和自己的教学体会，谈谈初中数学中求线段之和最值的求解策略。

1.直接应用定（公）理求最值

平面几何解决最短线路问题时常用的公理(定理)：①两点之间线段最短.②三角形的两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边（②是由①得出）；③直线外一点到直线的所有线段中垂线段最短.

1.1应用两点之间线段最短

教材链接：七上7.3线段的长短作业题：

如图，A、B、C、D表示4个村庄.村民们准备合打一口水井，（1）略（2）你能给出一中使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若能，请标出水井的位置，并说明理由.

解题分析：

教材作业题中，因点D与点B、点A与点C是定点，当水井打在AC与BD的交点时，水井到各村庄的距离之和最小，直接利用“两点之间线段最短”的原理。

中考链接：（2009山东潍坊）已知边长为a的正三角形ABC(一象限),两顶点A,B分别在平面直角坐标系的x轴,y轴的正半轴上滑动,点C在第一象限,连接OC,求OC的长的最大值.

解题分析：潍坊的这一试题对教材进行了拓展：点C为动点，直接相联不可能解决，但因为直角三角形斜边上的中线长和等边三角形边上的中线也是定值,所以设AB中点为P，在一般情况下OP+PC＞OC，当O、P、C三点一线时OC=OP+PC最大.

求解策略：教材的模型是在两定点之间求最小值，根据“两点之间线段最短”，只要把两定点直接相连，对无法或较难量化的两点间距离则可以利用几何图形的性质转化为“折线和”，再利用三角形三边关系或两点间线段最短可得出最值. 

1.2应用垂线段最短

教材链接：七上7.7相交线（2）作业题

如图,直线l表示一段河道,点A表示集镇,图上距离与实际距离之比为1︰2000 000.现要从河l向集镇A引水，问沿怎样的路线开挖水渠，才能使水渠的长度最短？……

解题分析：教材作业题解决思路是过点A向垂直于水渠的方向开挖水渠，水渠长最短. 直接利用“直线外一点到直线的所有线中垂线段最短”的原理.

试题链接：2010

如图，△ABC中，有一点P在AC上移动.若AB=AC=5,BC=6，則APBPCP的最小值为何？  (A) 8  (B) 8.8  (C) 9.8  (D) 10

解题分析：此题APPC=AC为定值5，从而三线段和转化为求BP最小值，因为B为定点，P为AC上一动点，所以BP最小值就是定点B到AC的垂线段.

求解策略：教材的模型是已知一定点和一定直线求最小值.解答此类试题只要透过问题找到本质，剔除一些不变的线段（和）转化为一定点到一定直线的距离，再利用“直线外一点到直线的所有线中垂线段最短” 即可得出最小值.

在平面几何求最值这类问题中，应用轴对称变换、平移变换和旋转变换这三种图形变换及性质，可以将那些分散、远离的条件转移到适当的位置上，得以相对集中后，再应用上述定（公）理，便可迎刃而解.

2.结合图形变换求最值

2. 1应用轴对称变换把直线同侧的线段和转化为异侧线段之和

2.1.1一定直线+两定点+一动点

教材链接：浙教版科学七下1.5光的反射和折射

基本模型1：（将军饮马问题）白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向交河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，试问怎样走，才能使总的路程最短？

如图，在定直线l同侧有两个定点A、B,在定直线l上有一动点P，请找到使PA+PB 最短的点P位置. 

思路分析：

如图2作A关于直线l的对称点,连接交l于p，则p点即为所求使AP+BP为最短的距离（此题过B作关于l的对称点也可，方法都是一样的.

中考链接： 2010湖北鄂州市

如图所示，四边形为正方形，边长为6，点分别在轴，轴的正半轴上，点在上，且点的坐标为，是上的一动点，试求和的最小值是    A．   B.   C.     D. 

解题分析：由已知得点P为定直线OB上的动点，点D和点A为两个定点，符合模型；用正方形的轴对称性可知点A关于OB的对称点就是点C,因此和的最小值就是的最小值，而点A和点C都是定点，根据“两点之间线段最短”可得DC即为所求.

求解策略：此类试题往往把背景变换成角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等，但都有一个 “轴对称性”的图形共同点，解题时只要从变换的背景中提取“一定直线+两定点+一动点”的数学模型，再通过找定直线的对称点把同侧线段和转化为异侧线段和，利用“两点间线段最短”，实现“折”转“直”即可解决.若设问是求三角形周长或四边形周长最值，则必含有定长线段，依然可以转化为两线段和的最值.

2.1.2两定直线+一定点+一动点

基本模型2：如图1，已知两定直线a和l，其中在定直线l上有一个定点A,在定直线a上有一动点P，请找到使PA和点P到直线l距离之和的最小值的点P位置.

思路分析：如图2作A关于直线a的对称点,过作H垂直l于点H，则p点即为所求使AP和P到直线l距离和为最短的点.

中考链接：2009绍兴

定义一种变换：平移抛物线得到抛物线，使经过的顶点．设的对称轴分别交于点，点是点关于直线的对称点．（1）、（2）略（3）如图3，若：，经过变换后，，点是直线上的动点，求点到点的距离和到直线的距离之和的最小值．

解题分析: 容易证得菱形，由菱形对称性可知.如图1，

作交于点， 则． 要使最小，

只要使最小，此最小值是点到的距离， 即边上的

高．（∵，， ，∴，故

是等边三角形． ∴   ∴ 最小值为．

（在点的右侧和左侧同理）．

求解策略：解决此类题的关键是在轴对称背景中提取模型条件，通过找定直线的对称点把同侧线段和转化为异侧线段和，利用“点到直线垂线段最短”，实现“折”转“直”时，最小值就得到。

2.1.2两定直线+一定点+两动点

基本模型3：如图，已知∠AOB=45°，其中有一定点P，在AO,BO的边上有两动点MN，是否存在点MN，使得△PMN的周长最小

解题分析：要求△PMN周长的最小值，其实就是求PM+PN+MN的最小值，根据基本模型2，作P关于OA的对称点P1，作P关于OB的对称点P2，连接P1 P2交OA,OB于点M,N，则PM+PN+MN最小，即△PMN的周长最小。

2. 2．应用平移变换将无交点的两线段之和转化为“将军饮马问题” 中的两线段之和

教材链接:浙教版七下2.6图形变换的简单应用作业题: 

“要在一条河上架一座桥(桥通常与河岸垂直),小聪小明小慧分别提供了一种方案,哪一种方案能使从A地到B地的路程最短?请说明理由.” （建桥问题）

思路分析：小明的方案能使从A到B地的路程最短.方法是：将B点向下平移到M，使B M的长等于桥长；连结A、M交b于点D,过点D作a的垂线，交a于点C,则CD是桥所在的位置.

基本模型4；两定点+一定直线+同侧两定点

如图1，已知两定点A、B和定直线L，其中在定直线上有两个定距离的动点A,B请在直线L上找到使AC+BD值最小的点C和点D的位置. 

思路分析：如图2，作点B的对称点,过点A作∥L,且=CD,连结与直线L交点即为所求的点D位置，点C位置随之也就确定. 该模型是教材的变式。

中考链接：     2010天津：

在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、轴的正半轴上，，，为边的中点.（Ⅰ）略（Ⅱ）若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点、的坐标.

解题思路： 如图，由于CD和EF是两定长线段，因此，四边形的周长最小值其实就是DE+CF的最小值.作点关于轴的对称点，在边上截取，连接与轴交于点，在上截取.∵ GC∥EF，，∴ 四边形为平行四边形，有.又、的长为定值，∴ 此时得到的点、使四边形的周长最小. 

∵ 由Rt∽Rt,可得.∴.∴ 点的坐标为（，0），点的坐标为（，0）.天津试题是模型的变式，区别在于把定直线异侧不“聚头”的两线段变化成定直线同侧不“聚头”的两线段.解决过程中多了一次轴对称变换.

求解策略：此类题是求定直线同侧未连接两线段和的最小值，首先需要用轴对称变换转化成“建桥问题”模型后，再用平移变换将未连接的两线段在定直线上“聚头”，等量转化为折线，利用“两点间线段最短”，实现“折”转“直”找到其中一个点的位置，另一点位置也随之找到.

2.3应用旋转变换将交于同一点的三线段之和改变位置等量转化为两定点间的折线之和

教材链接：浙教版八下课本第82页：

你听说过费马点吗？……费马点有许多有趣并且有意义的性质……把你的探究结果写成一篇小论文，并通过与同学交流来修改完善你的小论文.

中考链接：    2010福建宁德

如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴略⑵ ①略②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶ 略

解题分析：根据旋转变换的性质可得：EN=AM,△BNM为等边三角形推的MN=BN,此时AM＋BM＋CM的最小值转化为求“三折线”EN+NM+MC的最小值.根据“两点之间线段最短” EN+NM+MC等于CE时最小.所以，当M位于BD与CE交点时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.

求解策略：此类试题的模型是：三条聚在一起的线段，求线段和的最小值；解决策略是利用旋转变换，把如图1所求的“相聚于同一点的三条线段”转化为如图2“两定点间的三折线”；根据“两点之间线段最短”可知两定点的连线长即为所求的线段和最小值.

中考试题依托的是教材.试题命制往往有从教材中提取模型、类比模型、变式模型三类.作为教师，不管在平时教学还是在中考复习中，应立足教材，深挖教材，拓展例、习题及重视学生的探究；作为学生，解题不在多，真正掌握方法就行！所以，找到变幻万千的试题背后最本质的原理或模型，才能发展思维，提升能力；因此，重视解题后的反思及整理才是学习之根本.