安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期第二次联考理科数学试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． ． ． ．

2．若是公比为e的正项等比数列，则是（    ）

A．公比为的等比数列 ．公比为3的等比数列

C．公差为3e的等差数列 ．公差为3的等差数列

二、未知

3．数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823-11）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”．设i为虚数单位，复数，则z的共轭复数是（    ）

A． ． ． ．

4．已知双曲线的渐近线方程是，且与椭圆有共同焦点，则双曲线的方程为（    ）

A． ． ． ．

5．和是平面上圆C上两点，过A，B两点作圆C的切线交于x轴上同一点，则圆C的面积为（    ）

A． ． ． ．

6．如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，．过作与侧棱垂直的平面，交于点E．则的长为（    ）

A． ． ． ．

7．已知正实数a，b，满足，则（    ）

A． ． ． ．

8．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为∶4．在某一球内任意取一点，则此点取自球的一个内接正方体的“牟合方盖”的概率为（    ）

A． ． ． ．

9．如图，在平面直角坐标系中，点为阴影区域内的动点（不包括边界），这里，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． ． ． ．

10．设正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． ． ． ．

11．已知正项数列的前n项和为，如果都有，数列满足，数列满足．设为的前n项和，则当取得最大值时，n的值等于（    ）

A．17 ．18 ．19 ．20

12．已知直线与曲线相切于点A、与曲线的另一交点为B，若A、B两点对应的横坐标分别为，则（    ）

A． ．2 ．1 ．

13．已知角的终边与单位圆交于点，则的值为_________．

14．若展开式的各项系数之和为32，则展开式中的含项的系数为________．（用数字作答）．

15．如图所示，已知M，N为双曲线上关于原点对称的两点，点M与点Q关于x轴对称，，直线交双曲线右支于点P，若，则_____________．

16．已知，若，则___________．

17．已知三角形三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角B；

（2）若，角B的平分线交于点D，，求．

18．8月10日，2020年《财富》世界500强排行榜正式发布．中国（含）公司数量达到124家，历史上第一次超过美国（121家）．2008年中国加入世贸组织时中国进入世界500强的企业12家，以后逐年增加，以下是2016——2020年（年份代码依次为1，2，3，4，5）中国进入世界500强的企业数量．

（2）2020年《财富》榜单显示共有7家互联网公司上榜，中国4家、美国3家．现某财经杂志计划从这7家公司中随机选取3家进行深度报道，记选取的3家公司中，中国公司个数为，求的分布列与期望．

参考数据：，．

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．

19．已知函数．

（1）求证：当时，函数在内单调递减；

（2）若函数在区间内有且只有一个极值点，求m的取值范围．

20．已知抛物线C：，点P为y轴左侧一点，A，B为抛物线C上两点，当直线过抛物线C焦点F且垂直于x轴时，面积为2．

（1）求抛物线C标准方程；

（2）若直线为抛物线C的两条切线，设的外心为M（点M不与焦点F重合），求的所有可能取值．

21．已知在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数）以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求圆C普通方程和直线l直角坐标方程；

（2）点P极坐标为，设直线l与圆C的交点为A，B两点A，B中点为Q求线段的长．

22．已知，证明：

（1）；

（2）．

三、解答题

23．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，,，点是线段的中点.

（1）求证：面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.