匀变速直线运动问题的解法探析

河南省新县高级中学　吴国富

　　匀变速直线运动是运动学的核心内容，与现实生活联系紧密，几乎年年高考中都有考查，近几年的命题趋向是，运用运动学基本公式及推论解决日常生活的实际问题及现代科技。求解运动学问题，公式、方法途径较多，因此在平时学习过程中，要注重各种解题方法培养，认真审题，抓住给定条件的特征，找到最佳解决途径。 

　　一、一般公式法 

　　一般公式法指速度、位移和速度关系三式。它们都是矢量式，使用时注意方向性。一般以υ0的方向为正向，其余与正方向相同者为正，与之相反者取负。 

　　例1汽球下挂一重物，以υ0=10m/s匀速上升，当到达离地高h=175m处时悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物经多长时间落到地面？落地时速度多大？（空气阻力不计，取g=10m/s2） 

　　解析：从绳子断裂开始计时，经时间t后物体落至断绳位置的下方，规定初速度方向为正方向，则物体在时间t内的位移h=-175m。由位移公式得：h=υ0t-gt2 

　　代入数值整理得：t2-2t-35=0解得：t1=7s，t2=-5s（不合题意舍去） 

重物落地速度为：υ2=υ0-gt1=-60m/s，其负号表示方向向下，与初速度方向相反。 

练习1 一物体做自由落体运动，在最后一秒内的下落的高度是25m，求下落的总高度。

　　二、平均速度法 

　　在匀变速直线运动中，平均速度有如下特点：，为中间时刻的瞬时速度，在解题时若能灵活运用，不但简便易行，而且省时、准确，能大大提高解题的速度和效率。

　　例2用长为的绳两端分别系一石块，使上端与桥面平，让石块自由下落，听到水声间隔为。求桥面离水面的高度。

　　解析：一般解法用位移公式列方程求解，计算量大，仔细分析可知，上端石块在通过落水前位移时间为，则上端石块在落水前时间内的平均速度为，为这段时间中间时刻的瞬时速度，为上端石块速度达到所需时间，

　　则上端石块下落到水面的总时间为，设桥高为。

　　由位移公式得：

　　解得：

　　三、逆向思维法

　　把运动过程的“末态”作为“初态”的反向研究问题的方法。一般用于末态已知的情况。

　　例3 物体以的加速度做匀减速直线运动至停止，求物体在停止运动前第4s内的位移。

　　解析：本题按匀减速直线运动的思路去解，未知量较多，不好下手。但用逆向思维法，把它看作的匀加速运动，求第4s内的位移，问题就很简单了。

　　第1s内的位移：

　　因为初速度为零的匀加速直线运动在连续相等的时间内的位移比等于连续奇数比，即

　　则

　　四、图象法

　　应用图象，可把较复杂的问题转变为简单的数学问题解决。尤其是用图象定性分析，可避开繁杂的计算，快速找出答案。

　　例4 一个小球以的初速度竖直向上抛出，然后每隔时间，以同样速度竖直上抛一个个小球，不计空气阻力，且小球在升降过程中不发生碰撞，试求第一个小球在空中能与几个小球相遇？

　　解析：由竖直上抛运动位移公式知，竖直上抛运动位移-时间图象是一条抛物线。

　　小球在空中的运动时间为。

　　定性地画出图象，如图1所示，图象中各图线的相交点表示位移相等，即为两球相遇点。根据各球图象的交点，可以看出：第一个小球在空中能与3个小球相遇。

　　二、巧选参考系法

　　物体的运动是相对一定的参考系而言的。研究地面上物体的运动常以地面为参考系，有时为了研究问题方便，也可以巧妙地选用其它物体做参考系，甚至在分析某些较为复杂的问题时，为了求解简洁，还需灵活地转换参考系。

　　例5一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以的加速度开始行驶。恰在这时一辆自行车以的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求汽车从路口开动后在追上自行车之前两车相距最远的距离是多少？

　　解析：选匀速运动的自行车为参考系，则从运动开始到相距最远这段时间内，汽车相对自行车的各个物理量为：

　　初速

　　末速

　　加速度

　　所以相距最远(负号表示汽车落后)

　　六、归纳法与演绎法

　　从某些个别物理现象或特殊物理过程出发，可以推论出具有普遍意义的一般结论，这种从个别到一般，从特殊到普遍的逻辑推理方式叫归纳法。与归纳法的思想程序相反，从某个具有普遍意义的一般性结论出发，也可以推论出某一个别的物理现象或特殊的物理过程，这种从一般到个别、从普遍到一般的推理方式叫做演绎法。归纳法与演绎法的交叉应用，是我们解决问题的常用思维方法。

　　例6 一弹性小球自高处自由下落，当它与水平桌面每碰撞一次后，速度减小到碰前的，试计算小球从开始下落到停止运动所用的时间。

　　解析：每碰撞一次后小球均做竖直上抛运动，可分为上升和回落两个阶段，不计空气阻力，这两段所用时间和行程相等。小球原来距桌面高度为，用表示，下落至桌面时的速度应为：，下落时间为：

　　首先用演绎法：

　　小球第一次和桌面碰撞后的速率：

　　第一次碰撞后上升、回落需用时间：

　　小球第二次和桌面碰撞后的速率：

　　第二次碰撞后上升、回落需用时间：

　　再用归纳法：

　　依次类推可得：小球第次和桌面碰撞后上升、回落需用时间：

　　所以小球从开始下落到经过次和桌面碰撞后静止所用总时间为：

　　括号内为等比级数求和，首项，公比，因为，所以无穷递减等比级数的和为：

　　所以