2020-2021学年天津市高考数学三模试卷(理科)及答案解析

一、选择题(每题5分，共40分)

1．复数z满足=i（i为虚数单位），则|z|等于（　　）

A．2    B．    C．    D．1

2．若实数x，y满足条件：，则的最大值为（　　）

A．0    B．    C．    D．

3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（　　）

A．1    B．    C．    D．2

4．设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（　　）

A．∀n∈N，n2＞2n    B．∃n∈N，n2≤2n    C．∀n∈N，n2≤2n    D．∃n∈N，n2=2n

5．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC的中点，以AB为直径作圆O，分别交AC、AD于点E，F，若AF=3，FD=1，则AE等于（　　）

A．    B．    C．    D．

6．已知双曲线C的左右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2=8x的焦点．设A为双曲线C与该抛物线的一个交点，若△AF1F2是以AF1的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（　　）

A．1+    B．1+    C．    D．

7．已知f（x）=2x+2﹣x，f（m）=3，且m＞0，若a=f（2m），b=2f（m），c=f（m+2），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．c＜b＜a    B．a＜c＜b    C．a＜b＜c    D．b＜a＜c

8．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，当函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）（其中k＞0）的零点个数取得最大值时，则实数k的数值范围是（　　）

A．（0，6﹣）    B．（6﹣，2）    C．（，6﹣）    D．（，2﹣）

二、填空题(每小题5分，共30分)

9．的展开式中x8的系数是______（用数字作答）．

10．一个几何体的三视图如图所示（单位cm），则该几何体的体积为______cm3．

11．在极坐标系中，点A的极坐标是（1，π），点P是曲线C：ρ=2sinθ上的一个动点，则|PA|的取值范围是______．

12．如图，在边长为1的正方形OABC内取一点M，则点M恰好落在阴影内部的概率为______．

13．在△ABC中，A=，AB=，B的角平分线BD=，则BC的长为______．

14．在边长为2的正方形ABCD中，动点M和N分别在边BC和CD上，且=， =，则•的最小值为______．

三、解答题(本题共6题，共80分)

15．已知函数f（x）=sin（x﹣）sinx﹣cos2x，x∈R．

（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；

（2）求函数f（x）在[，]上的单调区间．

16．某商场五一期间搞促销活动，顾客购物满一定数额可自愿进行以下游戏，花费10元从1，2，3，4，5，6中挑选一个点数，然后掷骰子3次，若所选的点数出现，则先退还顾客10元，然后根据所选的点数出现的次数，每次再额外给顾客10元奖励；若所选的点数不出现，则10元不再退还．

（Ⅰ）某顾客参加游戏，求该顾客获奖的概率；

（Ⅱ）计算顾客在此游戏中的净收益X的分布列与数学期望．

17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，点D，E分别在棱PB、PC上，PA=AB=2，∠ABC=60°，∠BCA=90°，且DE∥BC．

（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；

（Ⅱ）当点D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正切值；

（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．

18．设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上．满足|BM|=2|AM|，直线0M的斜率为．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设点C的坐标为（﹣a，0），N为线段BC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求椭圆E的方程．

19．已知数列{an}和{bn}满足a1a2…an=（），n∈N*，若{an}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．

（Ⅰ）求a3及数列{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设cn=﹣，n∈N*，记数列{cn}的前n项和为Sn．

（i）求Sn；

（ii）若Sk≥Sn恒成立，求正整数k的值．

20．已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=ex（其中e为自然对数的底数）．

（Ⅰ）若a=1，求函数y=f（x）•g（x）在区间[﹣2，0]上的最大值；

（Ⅱ）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围；

（Ⅲ）若对任意的x1，x2∈[0，2]，x1≠x2，不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|均成立，求实数a的取值范围．

 参与试题解析

一、选择题(每题5分，共40分)

1．复数z满足=i（i为虚数单位），则|z|等于（　　）

A．2    B．    C．    D．1

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，代入复数模的公式得答案．

【解答】解：∵=i，∴1+z=i﹣zi，则（1+i）z=﹣1+i，

∴，

∴|z|=1．

故选：D．

2．若实数x，y满足条件：，则的最大值为（　　）

A．0    B．    C．    D．

【考点】简单线性规划．

【分析】设z=，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

设z=，则y=﹣x+z，

平移直线y=﹣x+z，则由图象知当直线经过点时，直线的截距最大，此时z最大，

由得，即A（1，），

此时z=×1+=2，

故选：C

3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（　　）

A．1    B．    C．    D．2

【考点】程序框图．

【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，利用对数的运算法即可得解．

【解答】解：模拟程序的运行过程，可得

S=0，n=3

执行循环体，M=，S=log2=2﹣log23，

不满足条件S∈Q，执行循环体，n=4，M=，S=log2+log2=log25﹣log23，

不满足条件S∈Q，执行循环体，n=5，M=，S=log2+log2+log2=log26﹣log23，

…

不满足条件S∈Q，执行循环体，n=11，M=，S=log212﹣log23=log24=2，

满足条件S∈Q，退出循环，输出S的值为2．

故选：D．

4．设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（　　）

A．∀n∈N，n2＞2n    B．∃n∈N，n2≤2n    C．∀n∈N，n2≤2n    D．∃n∈N，n2=2n

【考点】命题的否定．

【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．

【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为：∀n∈N，2n≤2n．

故选：C．

5．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC的中点，以AB为直径作圆O，分别交AC、AD于点E，F，若AF=3，FD=1，则AE等于（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】与圆有关的比例线段．

【分析】运用圆的切线的性质和切割线定理，求得BD=2，再由勾股定理，求得AB，AC的值，再由切割线定理，可得CB2=CE•CA，即可得到所求值．

【解答】解：由AB⊥BC，可得DB为切线，

由切割线定理可得，BD2=DF•DA，

由AF=3，FD=1，可得BD2=1×（1+3）=4，

解得BD=2，

在直角三角形ABD中，AB===2，

在直角三角形ABC中，AC===2，

由BC为切线，可得CB2=CE•CA，

即有16=（2﹣AE）•2，

解得AE=．

故选：B．

6．已知双曲线C的左右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2=8x的焦点．设A为双曲线C与该抛物线的一个交点，若△AF1F2是以AF1的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（　　）

A．1+    B．1+    C．    D．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线c的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．

【解答】解：抛物线的焦点坐标（2，0），所以双曲线中，c=2，

因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，

由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以=2c，

c2=a2+b2=4，解得a=2+，双曲线的离心率e==1+．

故选：B．

7．已知f（x）=2x+2﹣x，f（m）=3，且m＞0，若a=f（2m），b=2f（m），c=f（m+2），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．c＜b＜a    B．a＜c＜b    C．a＜b＜c    D．b＜a＜c

【考点】函数的值．

【分析】可得f（m）=2m+2﹣m=3，2m＞2，从而化简比较大小．

【解答】解：∵f（m）=2m+2﹣m=3，m＞0，

∴2m=3﹣2﹣m＞2，

∴b=2f（m）=2×3=6，

a=f（2m）=22m+2﹣2m=（2m+2﹣m）2﹣2=7，

c=f（m+2）=2m+2+2﹣m﹣2=4•2m+2﹣m＞8，

∴b＜a＜c；

故选D．

8．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，当函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）（其中k＞0）的零点个数取得最大值时，则实数k的数值范围是（　　）

A．（0，6﹣）    B．（6﹣，2）    C．（，6﹣）    D．（，2﹣）

【考点】分段函数的应用；函数的图象；函数零点的判定定理．

【分析】画出函数y=f（x﹣1）的图象，可得y=k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的图象最多有5个交点，即函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）至多有5个零点，求出函数图象交点为4个时的临界值，可得答案．

【解答】解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，

∴函数y=f（x﹣1）的图象如下图所示：

y=k（x﹣2）+表示过（2，）点斜率为k的直线，

由图可得：y=k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的图象最多有5个交点，

即函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）至多有5个零点，

当k=时，直线y=k（x﹣2）+过原点，

此时y=k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的图象有4交点，即函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）有4个零点；

当k=6﹣时，直线y=k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的图象抛物线部分相切，

此时y=k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的图象有4交点，即函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）有4个零点；

故当函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）（其中k＞0）的零点个数取得最大值时，

k∈（，6﹣），

故选：C．

二、填空题(每小题5分，共30分)

9．的展开式中x8的系数是　　（用数字作答）．

【考点】二项式定理．

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，即可求得展开式中的x8的系数．

【解答】解：由于的展开式的通项公式为 Tr+1=••，

令15﹣=8，求得r=2，故开式中x8的系数是•=，

故答案为：．

10．一个几何体的三视图如图所示（单位cm），则该几何体的体积为　6+　cm3．

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图可知：该几何体由两部分组成，上面是一个半球，下面是一个正三棱柱．设底面正三角形的内切球的半径为r，则r=．利用球的体积计算公式与三棱柱的体积计算公式．

【解答】解：由三视图可知：该几何体由两部分组成，上面是一个半球，下面是一个正三棱柱．

设底面正三角形的内切球的半径为r，则r==1．

∴该几何体的体积=13+=+6．

故答案为：6+．

11．在极坐标系中，点A的极坐标是（1，π），点P是曲线C：ρ=2sinθ上的一个动点，则|PA|的取值范围是　　．

【考点】简单曲线的极坐标方程．

【分析】点A的极坐标是（1，π），化为直角坐标A（﹣1，0）．曲线C：ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，把y=ρsinθ，ρ2=x2+y2代入即可化为直角坐标方程．可得圆心C，半径r．即可得出|PA|的取值范围是[|CA|﹣r，|CA|+r]．

【解答】解：点A的极坐标是（1，π），化为直角坐标A（﹣1，0）．

曲线C：ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1．可得圆心C（0，1），半径r=1．

则|CA|=．

则|PA|的取值范围是．

故答案为：．

12．如图，在边长为1的正方形OABC内取一点M，则点M恰好落在阴影内部的概率为　　．

【考点】几何概型．

【分析】欲求所投的点落在阴影部分内部的概率，须结合定积分计算阴影部分平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．

【解答】解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分的面积为==，

∴在边长为1的正方形OABC内取一点M，点M恰好落在阴影内部的概率为．

故答案为：．

13．在△ABC中，A=，AB=，B的角平分线BD=，则BC的长为　　．

【考点】余弦定理．

【分析】在△ABD中使用正弦定理求出∠ADB，得出∠ABD，从而得出∠ABC，∠ACB，再在△ABC中使用正弦定理计算BC．

【解答】解：在△ABD中，由正弦定理得，即，

解得sin∠ADB=．∴∠ADB=45°，∴∠ABD=15°，∠ABC=30°．

∴∠C=30°，

在△ABC中，由正弦定理得，即，解得BC=．

故答案为：．

14．在边长为2的正方形ABCD中，动点M和N分别在边BC和CD上，且=， =，则•的最小值为　﹣1　．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】建立平面直角坐标系，求出•关于λ的函数，利用基本不等式得出最小值．

【解答】解：以CB，CD为坐标轴建立平面直角坐标系如图：

则A（2，2），B（2，0），M（2﹣2λ，0），N（0，2﹣）．

∴=（﹣2λ，﹣2），=（﹣2，）．

∴•=4λ﹣=4λ+1+﹣5﹣5=﹣1．

当且仅当4λ+1=即λ=时取等号．

故答案为：﹣1．

三、解答题(本题共6题，共80分)

15．已知函数f（x）=sin（x﹣）sinx﹣cos2x，x∈R．

（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；

（2）求函数f（x）在[，]上的单调区间．

【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．

【分析】（1）由三角函数诱导公式及二倍角公式，辅助角公式化简f（x），由此得到最值与周期．

（2）由f（x）解析式得到单调增减区间，由此得到在[，]上的单调性．

【解答】解：（1）∵f（x）=sin（x﹣）sinx﹣cos2x，

=cosxsinx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x﹣，

=sin（2x﹣）﹣，

∴f（x）的最小正周期为T=π，

f（x）的最大值为1﹣．

（2）由（1）可知，f（x）在[﹣，]上的单调递增，

在[，]上的单调递减，

而[，]⊆[﹣，]，[，]⊆[，]．

∴函数f（x）在[，]上的单调递增，在[，]上的单调递减．

16．某商场五一期间搞促销活动，顾客购物满一定数额可自愿进行以下游戏，花费10元从1，2，3，4，5，6中挑选一个点数，然后掷骰子3次，若所选的点数出现，则先退还顾客10元，然后根据所选的点数出现的次数，每次再额外给顾客10元奖励；若所选的点数不出现，则10元不再退还．

（Ⅰ）某顾客参加游戏，求该顾客获奖的概率；

（Ⅱ）计算顾客在此游戏中的净收益X的分布列与数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（Ⅰ）设“顾客所选噗数出现”为事件A，“顾客所选点数不出现”为事件B，由事件A与事件B为对立事件，能求出该顾客获奖概率．

（Ⅱ）依题意，随机变量X的所有可能取值为﹣10，10，20，30，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

【解答】解：（Ⅰ）设“顾客所选噗数出现”为事件A，“顾客所选点数不出现”为事件B，

∵事件A与事件B为对立事件，

∴该顾客获奖概率为P（A）=1﹣P（B）=1﹣（）3=．

（Ⅱ）依题意，随机变量X的所有可能取值为﹣10，10，20，30，

P（X=﹣10）=（）3=，

P（X=10）==，

P（X=20）=，

P（X=30）=（）3=，

∴X的分布列为：

17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，点D，E分别在棱PB、PC上，PA=AB=2，∠ABC=60°，∠BCA=90°，且DE∥BC．

（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；

（Ⅱ）当点D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正切值；

（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．

【分析】（Ⅰ）以A为原点，过A在平面ABC内作AB的垂线为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BC⊥平面PAC．

（Ⅱ）求出平面PAC的一个法向量，设AD与平面PAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|，由此能求出AD与平面PAC所成角的正切值．

（Ⅲ）设存在点E，且，求出平面ADE的一个法向量和平面PDE的法向量，由此能求出存在点E（），使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角．

【解答】证明：（Ⅰ）如图，以A为原点，过A在平面ABC内作AB的垂线为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），B（0，2，0），C（，，0），P（0，0，2），

=（，，0），=（0，0，2），

设平面PAC的一个法向量为=（x，y，z），

则，则，取y=﹣1，得=（），

∵=（，﹣，0）=，∴∥，

∴BC⊥平面PAC．

解：（Ⅱ）∵D为PB的中点，D（0，1，1），∴=（0，1，1），

∵平面PAC的一个法向量为=（），

设AD与平面PAC所成角为θ，

则sinθ=|cos＜＞|===，

∴cosθ==，tanθ==，

∴AD与平面PAC所成角的正切值为．

（Ⅲ）设存在点E，且，

则，∴E（），D（0，2λ，2﹣2λ），λ∈（0，1），

∴=（），=（，0），

设平面ADE的一个法向量为=（a，b，c），

则，取y=1，得=（），

设平面PDE的法向量=（x1，y1，z1），

则，取x1=，得=（），

∵二面角A﹣DE﹣P为直二面角，

∴==0，解得，

∴存在点E（），使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角．

18．设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上．满足|BM|=2|AM|，直线0M的斜率为．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设点C的坐标为（﹣a，0），N为线段BC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求椭圆E的方程．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（Ⅰ）由题意M（），从而得a=，由此能求出椭圆的离心率．

（Ⅱ）由a=b，得直线AB的方程为+=1，由B（0，b），C（﹣，0），得N（﹣，），设点N关于直线AB的对称点S的坐标为（x1，），由此能求出椭圆E的方程．

【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），

点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上．满足|BM|=2|AM|，直线0M的斜率为，

∴M（），

整理，得a=，∴c==2b，

∴椭圆的离心率e===．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=b，则直线AB的方程为+=1，

由B（0，b），C（﹣，0），得N（﹣，），

设点N关于直线AB的对称点S的坐标为（x1，），

由线段NS的中点T的坐标为（，），

∵点T在直线AB上，且kNS•kAB=﹣1，

∴，

解得，

∴a=3，

∴椭圆E的方程为=1．

19．已知数列{an}和{bn}满足a1a2…an=（），n∈N*，若{an}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．

（Ⅰ）求a3及数列{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设cn=﹣，n∈N*，记数列{cn}的前n项和为Sn．

（i）求Sn；

（ii）若Sk≥Sn恒成立，求正整数k的值．

【考点】数列的求和；数列与不等式的综合．

【分析】（I）设等比数列{an}的公比为q，由b3=6+b2．可得b3﹣b2=6．由数列{an}和{bn}满足a1a2…an=（），n∈N*，n≥2时，利用递推关系可得：an=，可得a3==8．利用等比数列的通项公式可得an．进而得到bn．

（Ⅱ）（i）cn=﹣=﹣=﹣，利用等比数列的前n项和公式及其“裂项求和”方法可得数列{cn}的前n项和为Sn．

（ii）n≤4时，cn＞0．当n≥5时，cn=＜0，即可得出．

【解答】解：（I）设等比数列{an}的公比为q，

∵b3=6+b2．∴b3﹣b2=6．

∵数列{an}和{bn}满足a1a2…an=（），n∈N*，

∴n≥2时，a1a2…an﹣1=，可得：an=，

∴a3===8．

又a1=2，∴8=2q2，解得q=2（﹣2舍去）．

∴an=2×2n﹣1=2n．

∴（）=21+2+…+n=，

∴bn=n（n+1）．

（Ⅱ）（i）cn=﹣=﹣=﹣，

∴数列{cn}的前n项和为Sn=﹣=﹣．

（ii）c1=0，c2=，c3=，c4=﹣=．

当n≥5时，cn=．

由﹣=＜0，

∴cn＜0．

若Sk≥Sn恒成立，

∴k=4．

20．已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=ex（其中e为自然对数的底数）．

（Ⅰ）若a=1，求函数y=f（x）•g（x）在区间[﹣2，0]上的最大值；

（Ⅱ）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围；

（Ⅲ）若对任意的x1，x2∈[0，2]，x1≠x2，不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|均成立，求实数a的取值范围．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；

（Ⅱ）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，即k==，有且只有一个根，令h（x）=，可得h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，进而可得当k＞或0＜k＜时，k=h（x）有且只有一个根；

（Ⅲ）设x1＜x2，因为g（x）=ex在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，当a≥﹣（ex+2x）恒成立时，a≥﹣1；当a≤ex﹣2x恒成立时，a≤2﹣2ln2，综合讨论结果，可得实数a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）a=1时，y=（x2+x+1）ex，y′=（x+1）（x+2）ex，

令y′＞0，解得：x＞﹣1或x＜﹣2，令y′＜0，解得：﹣2＜x＜﹣1，

∴函数y=f（x）•g（x）在[﹣2，﹣1]递减，在[﹣1，0]递增，

而x=﹣2时，y=，x=0时，y=1，

故函数在[﹣2，0]上的最大值是1；

（Ⅱ）由题意得：k==有且只有一个根，

令h（x）=，则h′（x）=，

故h（x）在（﹣∞，1）上单调递减，（1，2）上单调递增，（2，+∞）上单调递减，

所以h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，

因为h（x）在（2，+∞）单调递减，且函数值恒为正，又当x→﹣∞时，h（x）→+∞，

所以当k＞或0＜k＜时，k=h（x）有且只有一个根．

（Ⅲ）设x1＜x2，因为g（x）=ex在[0，2]单调递增，

故原不等式等价于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，

所以g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，

即，在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，

则函数F（x）=g（x）﹣f（x）和G（x）=f（x）+g（x）都在[0，2]单调递增，

则有，在[0，2]恒成立，

当a≥﹣（ex+2x）恒成立时，因为﹣（ex+2x）在[0，2]单调递减，

所以﹣（ex+2x）的最大值为﹣1，所以a≥﹣1；

当a≤ex﹣2x恒成立时，因为ex﹣2x在[0，ln2]单调递减，在[ln2，2]单调递增，

所以ex﹣2x的最小值为2﹣2ln2，所以a≤2﹣2ln2，

综上：﹣1≤a≤2﹣2ln2．