实变函数复习题(学生用)

    一、填空题

1. 设,则          　. 

2.  若, , 则       。

3.  给出与之间的一一对应关系           　.

4. 设, 则                   。

5. 设，写出的所有的构成区间           。

6. 设,若                                   ,则称是开集.

7. 设,若                            ,则称是闭集.

8. 设为可测集，且，则          。

9. 设为的内点，则       。(填大于、等于或小于)

10. 设是有理数集，则      。

11. 设I为中的开区间，则       。

12. 设C是Cantor集，则      。

13. 叙述可测函数的四则运算性                                      。

14. 叙述可测函数与简单函数的关系                                     。

15. (鲁津定理)设是上有限的可测函数,则,存在闭子集,使在        上是连续函数,且.

16. 叙述伯恩斯坦定理                                               。

17．叙述可测集与开集的关系                                              。

18. 叙述测度的可数可加性                                              。

19. 叙述叶果洛夫定理                                             。

20. 叙述在可测集上几乎处处收敛于的定义                       。

     21. 叙述中开集的结构定理                                     。

22. 叙述中的集合是Lebesgue可测集的卡氏定义(即C.Caratheodory定义)                                    。

23. 叙述测度的可数可加性                                    。

24. 叙述可测函数的定义                                    。

25. 叙述F.Riesz定理(黎斯定理)                                    。

    二、单选题

1.是实数全体，则是                             (   )

A. 可数集；    B.不可数集；     C.有限集；    D.不可测集.

2. 有限个可数集的并集是                              (  )

A.可数集；       B.不可数集；     C.有限集；    D.以上都不对.

3. 若是有限集或可数集,是不可数集, 则             (  )

A.是可数集；    B.是不可数集；

C.；        D..

4. 设是一族开集, , 则一定是    (   )

A. 开集;    B. 闭集;     C.型集;      D. 开集，也是闭集.

5.  点集E⊂Rn的全体边界点所成的集合称为E的         (  )

A. 开核;     B. 边界;    C. 导集;    D. 闭包.

6.  设是一族闭集, ,则一定是     (  ) 

A.开集;         B.闭集;       C.型集;        D. 开集，也是闭集.

7.  设是一列闭集, ,则一定是            (  )

A.开集;         B.闭集;       C.型集;        D. 开集，也是闭集.

8.  设是中有理数全体，则                 (  )

A.0;       B.;      C.1;           D.不存在.

9.  关于Cantor集,下述说法不成立的是            

   A.无内点;             B.中的点都为孤立点;   

 C.中的点都为聚点;     D.是闭集.

10.  设是任一可测集, 则                           (  )

         A.是开集;                                 B．是闭集;

C.,存在开集,使得;  D．是型集或型集.

11.  设是一列可测集合,且,则有     (  )

A.;               B.;

C.;              D..

12. 设是一列可测集合,且, ,则有  (  )

A.;               B.;

C.;              D..

13. 关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是           (  )

     A. 简单函数一定是可测函数;       B. 简单函数列的极限是可测函数;

     C. 简单函数与可测函数是同一概念; D. 简单函数列的极限与可测函数是同一概念.

14. 设是可测集上的几乎处处有限的可测函数列, 则下述命题错误的是(  )

A．是可测函数;  

   B．是可测函数;

C. 若(依测度收敛), 则是可测的; 

D．若(依测度收敛), 则a.e. 于E.

15. 若是连续函数，则它必是.                      (  )

A. 可测函数；   B. 单调函数；   C.简单函数；   D.连续函数列的极限.

16. 设其中E是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0, 1]可测的是                                                   (  )

           A.；   B.；    C.；  D.。

17. 设是可测集上的可测函数,则对任意的实数,有    (  )

          A．是闭集;   B．是开集;   

C.是零测集;   D．以上都不对.

18. 设是定义在上的实值函数.令, , 则下述哪个说法不成立的是    (  )

A．与都是定义上的非负函数;

B．,; 

C.;

D．在上可测与都在上可测. 

19. 设是可测集上的几乎处处有限的可测函数,则下述命题中错误的是(  )

         A．是可测函数;          B．是可测函数;

C. 若,则是可测的; D．若,则.

20. 设在可测集上,. 则       (  )

A.,;               B.,;     

C. 于;             D..

21. 设是可测集上的可测函数,则是             (     )

      A.在上基本一致连续;              B.在上几乎处处连续; 

C.存在简单函数列使于;   D..

22. 集合E的全体内点所成的集合称为E的                 (     )

  A、开核    B、边界   C、导集  D、闭包

23. 集合E的全体聚点所成的集合称为E的                 (     )

  A、开核    B、边界   C、导集  D、闭包

24. 集合E的全体边界点和内点所成的集合是E的           (     )

  A、开核    B、边界   C、导集  D、闭包

25.  E-E＇所成的集合是                                  (     )

  A、开核    B、边界   C、外点  D、{E的全体孤立点}

26.  E的全体边界点所成的集合称为E的                   (     )

  A、开核    B、边界   C、导集  D、闭包

27. 设是上有理点全体，则下列各式不成立的是（    ）

（A）    (B)   (C) =[0，1]    (D) 

28. 若是一开集列，则是：         （ 　）

　 A、开集　　B、闭集　　C、既非开集又非闭集　　D、无法判断

29. 若是一开集列，则是：          （　 　　）

　 A、开集　　B、闭集　　C、既非开集又非闭集　　D、无法判断

30.若是一闭集列，则是：          （　 　　）

　 A、开集　　B、闭集　　C、既非开集又非闭集　　D、无法判断

31.若是一闭集列，则是：         （　 　　）

　 A、开集　　B、闭集　　C、既非开集又非闭集　　D、无法判断

   三、判断题   

1、任意集合都有子集 。                         （    ）

2、E的孤立点必然属于E.                               （   ）

3、当充分大以后都有.         （   ）

4、 若，且， a, e于E（   ）

5、函数在上可测，当且仅当对于每一个实数,集合可测.  （ × ）

6、若，则一定是可数集                （   ）

7、设是中的紧集，则是中的有界闭集.   (   ) 

8、凡博雷尔集都是可测集..                        ( ) 

9、若在可测集E上可测，则也可测。   （     ）

10、若，且， a, e于E（    ）

11、设都可测，则也可测，且。（    ）

12、若在可测集E上可测，则在E的任意可测子集上也可测（      ）。

13、若在可测集E上可测，则在E的任意子集上可测（   ）

14、设A,B是两个集合，则。                  （   ）

15、和都是闭集。                                     （      ）

16、对任意，都存在。                          （      ）

17、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的差集。      （      ）

18、若是无限集，且，则是可数集。              （    ）

    19、设是定义在可测集上的实函数，则为上的可测函数等价于对某个实数，为可测集。                           （   ）

20、设是零测集，是上的实函数，则为上的可测函数。（     ）

21、若在可测集E上可测，则也可测。              （      ）

22、设是可测集上的非负简单函数，则一定存在。（      ）

23、设是可测集上的可测函数，且，至少有一个成立，则一定存在。                       （      ）

四、证明题

1. 证明：自然数集与奇数集对等。

2. 证明在圆周上去掉一点后余下的点所成之集与实数集对等。

3. 证明：由直线上互不相交的开区间所组成的集合至多只有可数个。

4. 设是中的一个独点集，证明。

5. 证明：为闭集。

6. 证明：开集减闭集的差集仍为开集；闭集减开集的差集仍为闭集。

7. 证明：若有界，则。

    8. 证明零测度集上任意广义实值函数均是可测函数。

    9. 证明：上的连续函数必为可测函数。

10. 证明：上的单调函数必为可测函数。