洛阳市2017—2018学年上学期尖子生第一次联考高三理科数学试题

数学（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合1|1A x x ⎧⎫

=<⎨⎬⎩⎭

，{}|ln 0B x x =<，则()R A B ð等于（ ） A ．{}|0x x ≥

B ．{}|1x x ≥

C ．R

D ．{}0,1

2.已知复数z 满足2(1)1z i i -=+（i 为虚数单位），则||z 为（ ）

A ．

1

2

B C D ．1

3.如图，圆O ：222x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是（ ）

A ．

24

π

B ．

34π

C ．

22π

D ．

3π

2 4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A ．2

B ．1

C ．

23

D ．

13

5.设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）

B ．b c a >>

C ．a c b >>

D ．a b c >>

6.图中的程序框图所描述的算法，若输入209m =，121n =，则输出的m 的值为（ ）

A ．0

B ．11

C ．22

D ．88

7.在等比数列{}n a 中，3a ，16a 是方程2

620x x ++=的根，则

216

9

a a a 的值为（ ） A

． B

．C

D

．

8.已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若OC mOA nOB =+

（m ，n R ∈），则（ ）

A ．2m n +≤-

B ．21m n -≤+<-

C ．1m n +<-

D ．10m n -<+<

9.设双曲线C ：

22

1169

x y -=的右焦点为F ，过F 作渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，若d 是双曲线上任一点P 到直线MN 的距离，则

||d

PF 的值为（ ） A ．

34

B ．

45

C ．

54

D ．无法确定

10.已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为（ ） A

．

3

B

．

3

C

．

3

D

．

3

11.已知函数()sin(sin )cos(sin )f x x x =+，x R ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 是周期函数且最小正周期为π

B ．函数()f x 是奇函数

C ．函数()f x 在区间0,

2π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上的值域为⎡⎣ D ．函数()f x 在,42ππ⎡⎤

⎢

⎥⎣⎦

是增函数 12.已知函数2()(ln )(ln )f x ax x x x x =+--有三个不同的零点1x ，2x ，3x （其中123x x x <<），则2312

123

ln ln ln (1)(1)(1)x x x x x x ---的值为（ ） A ．1a -

B ．1a -

C ．1-

D ．1

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知x ，y 满足条件0,

,3412,

x y x x y ≥⎧⎪

≥⎨⎪+≤⎩

则231x y x +++的取值范围是 ．

14.已知随机变量~(2,)X B p ，2~(2,)Y N σ，若(1)0.P X ≥=，(02)P Y p <<=，则(4)P Y >= ．

15.已知5

(1)ax by ++（a ，b 为常数*a N ∈，*b N ∈）的展开式中不含字母x 的项的系数和为243

，则函数sin 2())

4

x b f x x π

+=

+，0,

2x π⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

的最小值为 ． 16.已知数列{}n a 满足22(2)(2)n n na n a n n λ+-+=+，其中11a =，22a =，若1n n a a +<对任意的*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=︒，2PC =，4AP AC +=．

（1）求ACP ∠；

（2）若APB ∆的面积是

2

sin BAP ∠． 18.如图1，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，BD DC ⊥，点E 是BC 边的中点，将ABD ∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，的如图2所示的几何体．

（1）求证：AB ⊥平面ADC ；

（2）若1AD =，二面角C AB D --B AD E --的余弦值．

19.随着移动互联的快速发展，基于互联的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M 的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．

（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合阅读市场占有率y 与月份代码x 之间的关系．求y 关于x 的线性回归方程，并预测M 公司2017年4月份（即7x =时）的市场占有率；

（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车，现有采购成本分别为1000元/辆和1200

元/辆的A 、B 两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两单车使用寿命频数如表：

经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？

参考公式：回归直线方程为 y bx

a =+ ，其中1

2

21

n

i i

i n

i

i x y nx y

b x

nx

==-=-∑∑ ， a

y bx =- ． 20.如图，点F 是抛物线τ：22x py =（0p >）的焦点，点A 是抛物线上的定点，且

(2,0)AF =

，点B ，C 是抛物线上的动点，直线AB ，AC 斜率分别为1k ，2k ．

（1）求抛物线τ的方程；

（2）若212k k -=，点D 是抛物线在点B ，C 处切线的交点，记BCD ∆的面积为S ，证明S 为定值．

21.已知函数3

2

()(63)x

f x x x x t e =-++，t R ∈．

（1）若函数()y f x =有三个不同的极值点，求t 的值；

（2）若存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式()f x x ≤恒成立，求正整数m 的最大值．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，直线l

的参数方程为,x m y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为

极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2

241sin ρθ=+，且直线

l 经过曲线C 的左焦点F ．

（1）求直线l 的普通方程；

（2）设曲线C 的内接矩形的周长为L ，求L 的最大值． 23.选修4-5：不等式选讲

已知函数2()|12|||f x x a x a =+-+-，a R ∈，2

2

4

()24(1)

g x x x x =--+

-． （1）若2(21)4|1|f a a ->-，求实数a 的取值范围；

（2）若存在实数x ，y ，使()()0f x g y +≤，求实数a 的取值范围．

洛阳市2017—2018学年上学期尖子生第一次联考高三数学试题（理科）答案 一、选择题

1-5:CBBCD 6-10:BBCBA 11、12：CD

二、填空题

13.[]3,9 14.0.1 15.2 16.[0,)+∞

三、解答题

17.解：（1）在APC ∆中，因为60PAC ∠=︒，2PC =，1AP AC +=， 由余弦定理得2

2

2

2cos PC AP AC AP AC PAC =+-⋅⋅⋅∠， 所以2222(4)2(4)cos60AP AP AP AP =+--⋅⋅-⋅︒， 整理得2

440AP AP -+=， 解得2AP =， 所以2AC =，

所以APC ∆是等边三角形， 所以60ACP ∠=︒．

（2）由于APB ∠是APC ∆的外角，所以120APB ∠=︒，

因为APB ∆1sin 2AP PB APB ⋅⋅⋅∠=，

所以3PB =， 在APB ∆中，

2222cos AB AP PB AP PB APB =+-⋅⋅⋅∠2223223cos120=+-⨯⨯⨯︒19=，

所以AB = 在APB ∆中，由正弦定理得

sin sin AB PB

APB BAP

=∠∠，

所以sin

BAP ∠=

38=．

18.（1）证明：因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =， 又BD DC ⊥，所以DC ⊥平面ABD ， 因为AB ⊂平面ABD ，所以DC AB ⊥，

又因为折叠前后均有AD AB ⊥，DC AD D = ， 所以AB ⊥平面ADC ．

（2）解：由（1）知AB ⊥平面ADC ，所以二面角C AB D --的平面角为CAD ∠． 又DC ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以DC AD ⊥．

依题意tan CD

CAD AD

∠=

=

因为1AD =，所以CD

设AB x =（0x >），则BD

依题意ABD ∆~BDC ∆，所以

AB CD AD BD =，即1

x

=

解得x =

AB ，BD =，3BC =．

因为DC ⊥平面ABD ，过点E 作EF //DC 交BD 于F ，则EF ⊥平面ABD ， 因为AD ⊂平面ABD ，所以EF AD ⊥， 过点F 作FG AD ⊥于G ，连接GE ， 所以AD ⊥平面EFG ，因此AD GE ⊥， 所以二面角B AD E --的平面角为EGF ∠，

由平面几何知识求得12EF CD =

=，12FG AB ==，

所以EG ，

所以1cos 2

FG EGF EG ∠=

=， 所以二面角B AD E --的余弦值为

12

．

19.解：（1）由数据计算可得123456

3.56

x +++++=

=，

111316152021

166

y +++++=

=，

由公式计算可得2b

= ， 162 3.59a =-⨯=， 所以月度市场占有率y 与月份序号x 之间的线性回归方程为 29y x =+， 当7x =时， 27923y =⨯+=，

故M 公司2017年4月份的市场占有率预计为23%． （2）由频率估计概率．

每辆A 款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2,0.35,0.35和0.1， 所以每辆A 款车可产生的利润期望值为

()(5001000)0.2(10001000)0.35(15001000)0.35(20001000)0.1175

E X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（元），

由频率估计概率．

每辆B 款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1,0.3,0.4和0.2， ∴每辆B 款车可产生的利润期望值为

()(5001200)0.1(10001200)0.3(15001200)0.4(20001200)0.2150

E Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（元），

∴()()E X E Y >， ∴应该采购A 款单车．

20.解：（1）设00(,)A x y ，由题知(0,)2p F ，所以00(,)2

p

AF x y =-- (2,0)=，

所以002,

,2x p y =-⎧⎪⎨=⎪⎩

代入22x py =（0p >）中得2

4p =，即2p =，

所以抛物线的方程是2

4x y =．

（2）过D 作y 轴平行线交BC 于点E ，并设211(,

)4

x B x ，2

22(,)4x C x ， 由（1）知(2,1)A -，

所以22

2121212111

44224

x x x x k k x x ----=

-=++， 又212k k -=，所以218x x -=，

直线BD ：21124x x y x =-，直线CD ：22224x x y x =-，解得1212,2

,

4D D x x x x x y +⎧

=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 因直线BC 方程为21122()44x x x y x x +-=-，将D x 代入得22

128E x x y +=， 所以2

21212121()111||()()()()322228

E D x x S DE x x y y x x x x -=-=--=⋅

⋅-=． 21.解：（1）32'()(393)x f x x x x t e =--++，

令32()393g x x x x t =--++，则方程()0g x =有三个不同的根， 又22'()3693(23)3(1)(3)g x x x x x x x =--=--=+-， 令'()0g x =，得1x =-或3，

且()g x 在区间(,1)-∞-，(3,)+∞递增，在区间(1,3)-递减，

故问题等价于(1)0,(3)0,g g ->⎧⎨

<⎩即有80,

240,

t t +>⎧⎨-<⎩解得824t -<<．

（2）不等式()f x x ≤，即32(63)x

x x x t e x -++≤，即3263x

t xe x x x -≤-+-，

转化为存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈， 不等式3263x

t xe

x x x -≤-+-恒成立，

即不等式32063x

xe x x x -≤-+-在[]1,x m ∈上恒成立，

即不等式2063x

e x x -≤-+-在[]1,x m ∈上恒成立．

设2()63x

x e

x x ϕ-=-+-，则'()26x x e x ϕ-=--+，

设()'()26x

r x x e x ϕ-==--+，则'()2x r x e -=-，

因为1r m ≤≤，有'()0r x <，故()r x 在区间[]1,m 上是减函数， 又1(1)40r e -=->，2(2)20r e -=->，3(3)0r e -=-<， 故存在0(2,3)x ∈，使得00()'()0r x x ϕ==，

当01x x ≤<时，有'()0x ϕ>，当0x x >时，有'()0x ϕ<， 从而()y x ϕ=在区间[]01,x 上递增，在区间0[,)x +∞上递减．

又1(1)40e ϕ-=+>，2(2)50e ϕ-=+>，3(3)60e ϕ-=+>，4(4)50e ϕ-=+>，

5(5)20e ϕ-=+>，6(6)30e ϕ-=-<，

所以当15x ≤≤时，恒有()0x ϕ>；当6x ≥时，恒有'()0x ϕ<． 故使命题成立的正整数m 的最大值为5． 22.解：（1）因为曲线C 的极坐标方程为2

2

41sin ρθ

=

+，即222

sin 4ρρθ+=， 将2

2

2

x y ρ=+，sin y ρθ=代入上式并化简得22

142

x y +=，

所以曲线C 的直角坐标方程为22

142

x y +=，于是2222c a b =-=，(F ，

直线l 的普通方程为x y m -=，将(F 代入直线方程得m =，

所以直线l 的普通方程为0x y -=．

（2）设椭圆C 的内接矩形在第一象限的顶点为(2cos )θθ（02

π

θ<<

），

所以椭圆C 的内接矩形的周长为2(4cos ))L θθθϕ=+=+（其中

tan ϕ=，

此时椭圆C 的内接矩形的周长取得最大值． 23.解：（1）∵2

(21)4|1|f a a ->-， ∴2

2

|22||1|4|1|a a a a -+->-， ∴|1|(2|||1|4)0a a a -++->，

∴|2||1|4a a ++>且1a ≠．

①若1a ≤-，则214a a --->，∴53

a <-；

②若10a -<<，则214a a -++>，∴3a <-，此时a 无解； ③若0a ≥且1a ≠，则214a a ++>，∴1a >，

综上所述，a 的取值范围为53a <-或1a >，即5(,)(1,)3

a ∈-∞-+∞ .

（2）∵224()(1)551(1)g x x x =-+-≥=--，显然可取等号， ∴min ()1g x =-，

于是，若存在实数x ，y ，使()()0f x g y +≤，只需min ()1f x ≤， 又222()|12||||(12)()|(1)f x x a x a x a x a a =+-+-≥+---=-， ∴2(1)1a -≤，∴111a -≤-≤，∴02a ≤≤，即[]0,2a ∈．