导数高考知识点总结(最全)

●知识点归纳

一、相关概念

1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|。即f（x）==。

说明：

（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。

（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤：

① 求函数的增量=f（x+）－f（x）；

② 求平均变化率=；

③ 取极限，得导数f’(x)=。

例：设f(x)= x|x|, 则f′(  0)=         .

[解析]：∵ 

∴f′(  0)=0

2．导数的几何意义

函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。

例：在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是            (       )

    A．3    B．2    C．1    D．0

3.导数的物理意义

如果物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t的瞬间速度v=（t）。

 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻t的加速度a=v′（t）。

例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（    ）

练习：已知质点M按规律做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s）。

（1）当t=2，时，求；

（2）当t=2，时，求；

（3）求质点M在t=2时的瞬时速度。

二、导数的运算

1．基本函数的导数公式: 

①（C为常数）

②

③;   

④;

⑤

⑥; 

⑦;  

⑧.

例1：下列求导运算正确的是                              (       )

A．(x+               B．(log2x)′=   

C．(3x)′=3xlog3e                  D． (x2cosx)′=-2xsinx  

例2：设f0(x) ＝ sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x) ＝ fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝        (       )

A．sinx　           B．－sinx　        C．cosx           D．－cosx

[解析]：f0(x) ＝ sinx，f1(x)＝f0′(x)=cosx，f2(x)＝f1′(x)= -sinx，

f3(x)＝f2′(x)= -cosx， f4(x) ＝ f3′(x)=sinx，循环了 

则f2005(x)＝f1(x)＝cosx

2．导数的运算法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即： (

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即： 

若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： 

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： （v0）。

例：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是  (       )

A．  (-3,0)∪(3,+∞)               B．  (-3,0)∪(0, 3)

    C．  (-∞,- 3)∪(3,+∞)            D．  (-∞,- 3)∪(0, 3)

3.复合函数的导数

形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：

分解——>求导——>回代。

法则：y＇|= y＇| ·u＇|或者.

练习：求下列各函数的导数：

 （1）        （2）

 （3）    （4）

三、导数的应用

1.函数的单调性与导数

（1）设函数在某个区间（a，b）可导，如果，则在此区间上为增函数；如果，则在此区间上为减函数。

（2）如果在某区间内恒有，则为常数。

例：函数是减函数的区间为    (       )

A．    B．       C．            D．（0，2） 

2．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；

例：函数已知时取得极值，则= (       )

A．2           B．3              C．4            D．5

3．最值：

在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内连续函数f（x）不一定有最大值，例如。

（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。

（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。

例：函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是          .

●经典例题选讲

例1. 已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是 (       )

例2.设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。

例3. 已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为.

 （Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）求函数的单调区间.

例4. 设函数，已知是奇函数。

（Ⅰ）求、的值。     （Ⅱ）求的单调区间与极值。

例5. 已知f（x）=在x=1，x=时，都取得极值。

（1）求a、b的值。

（2）若对，都有恒成立，求c的取值范围。

例6. 已知是函数的一个极值点，其中，

（I）求与的关系式；

（II）求的单调区间；

（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.

例7：已知函数其中

（1）当时，求曲线处的切线的斜率；

（2）当时，求函数的单调区间与极值。

（3）本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。

解：（）

（）  

以下分两种情况讨论。

（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：