2015全国高中数赛预赛模拟题5

1．已知二次函数，则方程不同实数根的数目为_____.

解：因为，所以有，因此原方程有个不同实根。

注  也可以讨论根的分布情况。因为当时，函数单调下降，当时，函数单调上升，且的两个根为，所以当时，函数，因此有两个不同实根；当时，函数，因此也有两个不同实根。综上所述，原方程有个不同实根。

2．函数R) 的最小值是    .

解：令，则．

当时，，得；

当时，，得．

又可取到, 故填．

3．若二次方程N*) 的正根小于3, 那么这样的方程有___个.

解：由, 知方程的根为一正一负．

设，则, 即.

由于N*， 所以或. 于是共有7组符合题意．

4．由三个数字、、组成的位数中,、、都至少出现次, 这样的五位数共有_____个.

解：在位数中, 若只出现次，有个；

若只出现次，有个； 

若只出现次，有个． 则这样的五位数共有个． 

5．设向量绕点逆时针旋转得向量, 且, 则

向量（－，） .

解：设, 则, 所以 

.

即    解得   因此，.

6．函数，则的最大值与最小值的乘积为                         。答  。

解：因为，所以严格递增，于是最大值为，最小值为，其积为。

注  单调性也可以直接由定义证明。

7．设无穷数列的各项都是正数,是它的前项之和, 对于任意正整数,与 2 的等差中项等于与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为___________.

解：由题意知， 即.          ……… ①

由得, 从而. 

又由 ① 式得       ,            ……… ②

于是有          ,

整理得. 因, 故 

．

所以数列是以为首项、为公差的等差数列，其通项公式为，即. 故填  N*)．

8．考虑的正方形方格表中的个格点，则通过至少个格点的不同直线的数目为            。答  。

解：水平和竖直的直线共有条，与两条对角线平行的直线共有条，其它满足条件的直线还有条，因此共有条。

9．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率为p，且三个公司是否让其面试是相互的。记为该毕业生得到面试的公司个数。若，则随机变量的数学期望_______.

【解析】：，的取值为0，1，2，3

， 

， 

故

10.设表示不超过的最大整数，则的值是            。

解：对于，因为不是整数，所以

，于是有

11．已知点是的中线上的一点, 直线交边于点, 且是的外接圆的切线, 设, 试求(用表示).

证明：在中，由Menelaus定理得

．

因为，所以． 

由，知 ∽，则．

所以，， 即  ．     

因此，． 又， 故．       

12．已知数列满足：，求的通项公式。

解  由， 

两式相减得，

即。

设，则有，

即。

设，由，可得，

于是有。

因为，特征方程为，特征根为，从而可设。由及，定义，于是有，

从而可得，因此有

，

。

13. 求所有使得下列命题成立的正整数: 对于任意实数, 

当时, 总有( 其中).

解： 当时，由，得．

所以时命题成立.    

当时，由，得

.

所以时命题成立.         

当时，由，得

．

所以时命题成立．        

当时，令，，,则  .

但是,，故对于命题不成立． 

综上可知，使命题成立的自然数是.  

14. 设椭圆的方程为, 线段是过左焦点且不与轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点, 

使为正三角形, 求椭圆的离心率

Q＇

的取值范围, 并用表示直线的斜率. 

解：如图, 设线段的中点为．

过点、、分别作准线的垂线, 垂足

分别为、、, 则

假设存在点，则， 且， 即，

所以，．

于是，，故．

若(如图)，则

. 

当时, 过点作斜率为的焦点弦, 它的中垂线交左准线于, 由上述运算知,． 故为正三角形.    

若，则由对称性得．   

又, 所以，椭圆的离心率的取值范围是， 直线的斜率为．