反比例函数图象与三等分角

历史上，曾有人把三等分角问题归结为下面的作图问题.

    任取一锐角∠POH，过点P作OH的平行线，过点O作直线，两线相交于点M,OM交PH于点Q，并使QM=20P，设N为QM的中点.

    ∵NP=NM＝OP,∴∠1＝∠2=2∠3.

    ∵∠4=∠3，∴∠1=2∠4.

    ∴∠MOH＝∠POH.

    问题在于，如何确定线段QM两端点的位置，并且保证O，Q，M在同一条直线上?事实上，用尺规作图无法解决这一问题.那么,退而求其次，能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢?

    帕普斯(Pappus，公元300前后)给出的一种方法是：如下图，将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，角的一边OA与y＝的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M，Q，连接OM得到∠MOB.

(1)为什么矩形PQRM的顶点Q在直线OM上?

    (2)你能说明∠MOB＝∠AOB的理由吗?

    (3)当给定的已知角是钝角或直角时，怎么办?

    解：(1)设P、R两点的坐标分别为P(a1，),R(a2,)，则Q(a1，)，M(a2,）.

    设直线OM的关系式为y＝kx.

    ∵当x＝a2时，y=

    ∴=ka2,∴k=.∴y=x.

    当x=a1时，y=

    ∴Q(a1，)在直线OM上.

    (2)∵四边形PQRM是矩形.

    ∴PC=PR=CM.∴∠2＝2∠3.

    ∵PC=OP，∴∠1＝∠2，

    ∵∠3=∠4，∴∠1=2∠4，

    即∠MOB=∠AOB.

    (3)当给定的已知角是钝角或直角时，钝角或直角的一半是锐角，该锐角可以用此方法三等分.