线性方程组解题方法技巧与题型归纳

题型一  线性方程组解的基本概念

【例题1】如果α1、α2是方程组的两个不同的解向量，则a的取值如何

解： 因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)= r(Ab)＜3，

对增广矩阵进行初等行变换： 

易见仅当a=-2时，r(A)= r(Ab)=2＜3，  

故知a=-2。

【例题2】设A是秩为3的5×4矩阵， α1、α2、 α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T, 3α1+α2= （2，4，6，8）T,求方程组Ax=b的通解。

解:因为r(A)= 3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4- r(A)= 1个向量构成，

又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2） =2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T, 是Ax=0的解，

即其基础解系可以是（0，2，3，4）T, 

由A （α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b知1/4 （α1+α2+2α3）是Ax=b的一个解，

故Ax=b的通解是

【例题3】已知ξ1=（-9，1，2，11）T，ξ2=（1，-  5，13，0）T，ξ3=（-7，-9，24，11）T是方程组的三个解，求此方程组的通解。

分析：求Ax=b的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。

解：A是3×4矩阵， r(A)≤3，由于A中第2，3两行不成比例，故r(A)≥2，又因为

η1=ξ1-ξ2=（-10，6，-11，11）T,   η2=ξ2-ξ3= (8,4,-11,-11)T是Ax=0的两个线性无关的解向量，

于是4- r(A)≥2，因此r(A)=2，所以ξ1+k1η1+k2η2是通解。

总结：

不要花时间去求方程组，太繁琐，由于ξ1-ξ2，ξ1-ξ3或ξ3-ξ1，ξ3-ξ2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系，ξ1，ξ2，ξ3都是特解，此类题答案不唯一。

题型2  线性方程组求解

【例题4】矩阵B 的各行向量都是方程组的解向量，问这四个行向量能否构成上方程组的基础解系若不能，这4个行向量是多了还是少了若多了如何去掉，少了如何补充

解：将方程组的系数矩阵A化为行最简形阵

r(A)=2,n=5,因而一个基础解系含有3个解向量

α1=（1，-2，1，0，0）T,    α2=(1,-2,0,1,0)T,   α3=(5,-6,0,0,1)T,

B矩阵的r3=r1-r2，r4=3r1-2r2， B中线性无关的行向量只有1，2行，故B中4个行向量不能构成基础解系，需增补α3。

题型3  含参数的线性方程组解的讨论

1.参数取哪些值时使r(A)≠r(Ab)，方程组无解；

2.参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)，方程组有解，继续讨论

（1）参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)＜n，方程组有无穷多解；

（2）参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)=n，方程组有唯一解。

一、当方程个数与未知量个数不等的线性方程组，只能用初等行变换求解；

二、当方程个数与未知量个数相等的线性方程组，用下面两种方法求解：

1.初等行变换法

2.系数行列式法，系数行列式不等于0时有唯一解，可用克莱姆法则求之；系数行列式为0时，用初等行变换进行讨论。

【例题5】设线性方程组

（1）证明：若a1，a2，a3，a4两两不相等，则线性方程组无解；

（2）设a1= a3 =k，a2=a4=-k(k≠0)，且已知β1=（-1，1，1）T，β2=（1，1，-1）T是该方程组的两个解，写出该方程组的通解。

解（1）（Ab)对应的行列式是范德蒙行列式，故r(Ab)=4,r(A)=3，所以方程组无解。

（2）当a1=a3=k，a2=a4=-k时，原方程组化为

系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，β2-β1=（-2，0，2）T,是对应导出组的非零解，即为其基础解系，故非齐次组的通解为

X=c(β2-β1)+β1。（c为任意常数。）

题型4      线性方程组的公共解、同解问题

情况1.已知两具体齐次线性方程组，求其非零公共解：将其联立，则联立方程组的所有非零解，即为所求。

【例题6】设如下四元齐次方程组（Ⅰ）与（Ⅱ） ，求：

（1）方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的基础解系；

（2）方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的公共解。

解：（1）（Ⅰ）的基础解系为α1=（-1，1，0，1）T，α2=（0，0，1，0）T；

同样得（Ⅱ）基础解系为α3=（1，1，0，-1）T，α4=(-1,0,1,1)T

(2)将方程组Ⅰ和 Ⅱ联立组成新方程组Ⅲ：

将其系数矩阵进行初等行变换

得Ⅲ的基础解系为（-1，1，2，1）T

于是方程组Ⅰ与Ⅱ的公共解为    X=k（-1，1，2，1）T,   k取全体实数。

情况2 . 仅已知两齐次线性方程组的通解，求其非零公共解：令两通解相等，求出通解中任意常数满足的关系式，即可求得非零公共解，简言之，两通解相等的非零解即为所求的非零公共解。

【例题7】已知齐次线性方程组Ⅰ与Ⅱ的基础解系分别是

α1=（1，2，5，7）T,α2=(3,-1,1,7)T，α3=（2，3，4，20）T，

Β1=（1，4，7，1）T， β2=（1，-3，-4，2） T。

   求方程组Ⅰ与Ⅱ的公共解。

解;显然方程组Ⅰ与Ⅱ的通解分别为k1α1+k2α2+k3α3与λ1β1+λ2β2，

令其相等得到   k1α1+k2α2+k3α3=λ1β1+λ2β2         即

于是（k1,k2,k3,λ1，λ2）T=t(-3/14,4/7,0,1/2，1)T

即k1=-3t/14,  k2=4t/7, k3=0 ,λ1=t/2,λ2=t

于是可得λ1，λ2的关系为λ1=t/2=λ2/2，将此关系式代入通解即为所求的公共解为

λ1β1+λ2β2 =（λ2/2) β1+λ2β2 = （λ2/2) (β1+2β2 )= （λ2/2) (3,-2 ,-1,5)T，=λ (3,-2 ,-1,5)T，其中λ = λ2/2为任意实数。

情况3

已知一齐次方程组的通解及另一具体方程组，求其非零公共解：常将通解代入另一方程组，求出通解中任意常数满足的关系，即求出通解中的任意常数，再代回通解，即得所求的非零公共解。

简言之：已知的通解中满足另一具体方程组的非零解即为所求的非零公共解。

题型5   与AB=0有关的问题

已知矩阵A，求矩阵B 使AB=0，此类问题常将B按列分块，B=(b1,b2,….bn)，将列向量bi视为Ax=o的解向量，因而可以利用Ax=o的一些解或一个基础解系充当所求矩阵B的部分列向量， B的其余列向量可取为零向量

【例题8】设，求一个4×2矩阵B使  AB=0，且r(B)=2.

解：由AB=0知，B的列向量均为Ax=o的解向量。显然r(A)=2，未知量的个数是4，因而Ax=o的基础解系含有2个解向量，于是如果求出Ax=o的基础解系，以其为列向量作矩阵即得所求的矩阵B。

  为此对A进行初等行变换得

基础解系α1=（1，5，8，0）T,α2=(0,2,1,1)T

令B=(α1,α2) ,则B即为所求。

题型6   已知基础解系反求其齐次线性方程组

法1：解方程组法

（1）以所给的基础解系为行向量做矩阵B，

（2）解Bx=0，求出其基础解系；

（3）以（2）中所得基础解系中的向量为行向量作矩阵，该矩阵即为所求的一个矩阵A.

法2：初等行变换法

以所给的线性无关的向量作为行向量组成一矩阵B,用初等行变换将此矩阵化为行最简形矩阵，再写出Bx=0的一个基础解系，以这些基础解系为行向量组成的矩阵，就是所求的齐次线性方程组的一个系数矩阵A，从而求出了所求的一个齐次线性方程组Ax=0.

【例题9】 写出一个以为通解的齐次线性方程组。

解：法1.令α1=（2，-3，1，0）T，α2=（-2，4，0，1）T，以α1T α2T为行向量作矩阵，

只需写出Bx=0的一个基础解系β1=（1,0,-2,2）T,β2=(0,1,3,-4)T,则所求齐次线性方程组的系数矩阵为，

所求的一个齐次线性方程组为Ax=0,   即

法2  把所给通解改写为

由上式易知所求方程组有两个自由未知数X3和x4和两个变量x1，x2，且对应的方程组为   即

题型7    抽象线性方程组求解

1.已知系数矩阵A的秩，求Ax=0的通解:

     为求Ax=0的通解，必先由A的秩明确一个基础解系含多少个解向量，然后设法求出这些解向量。

【例题10】设n阶矩阵的各行元素之和均为零，且R(A)=n-1，求线性方程组Ax=0的通解。

解：X的维数为n，R(A）=n-1，故Ax=0的一个基础解系含1个解向量，又因为A的各元素之和为0，故非零向量α1=（1,1,…,1）T满足方程组Ax=0，因而α1为Ax=0的一个基础解系，于是通解为α=kα1(k为任意常数)

2.已知AX=b 的特解求其通解

【例题11】设三元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为2，且它的三个解向量β1，β2，β3满足β1+β2=（3，1，-1）T， β1 +β3=（2，0，-2）T，求Ax=b的通解。

解：因α=（β1+β2）-（β1+β3）= β2-β3为Ax=0的一个解向量。而η1= （β1+β2）/2是Ax=b的特解，因Ax=0的基础解系含有1个解向量，故Ax=b的通解为

    X=k α+ η1     (k为任意常数)