【人教版】高中数学必修三期末试卷(含答案)

1．《九章算术》勾股章有一“引葭 [jiā] 赴岸”问题：“今有池方一丈， 葭生其，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（   ）

A．    B．    C．    D．

2．福建省第十六届运动会将于年在宁德召开，组委会预备在会议期间从女男共名志愿者中任选名志愿者参考接待工作，则选到的都是女性志愿者的概率为（   ）

A．    B．    C．    D．

3．一个不透明的袋中装有6个白球，4个红球球除颜色外，无任何差异．从袋中往外取球，每次任取1个，取出后记下颜色不放回，若为红色则停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（    ）．

A．    B．    C．    D．

4．如图所示，在一个边长为2.的正方形AOBC内，曲和曲线围成一个叶形图阴影部分，向正方形AOBC内随机投一点该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的，则所投的点落在叶形图内部的概率是（    ）

A．    B．    C．    D．

5．该程序中的值是（    ）

A．9    B．10    C．11    D．12

6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为126，则判断框内的条件可以为（    ）

A．    B．    C．    D．

7．执行如下图的程序框图，如果输入的的值是7，那么输出的的值是（   ）

A．3    B．15    C．105    D．945

8．执行如图的程序框图，如果输出a的值大于100，那么判断框内的条件为　　

A．？    B．？    C．？    D．？

9．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：

由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（    ）

A．    B．

C．    D．

10．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是

A．中位数    B．平均数

C．方差    D．极差

11．如果在一次试验中，测得(x，y)的四组数值分别是A(1,3)，B(2,3.8)，C(3,5.2)，D(4,6)，则与之间的回归直线方程是                                    (　　)

A．＝＋1.9    B．＝1.04＋1.9

C．＝1.9＋1.04    D．＝1.05－0.9

12．某校高一年级有学生1800人，高二年级有学生1500人，高三年级有1200人，为了调查学生的视力状况，采用分层抽样的方法抽取学生，若在抽取的样本中，高一年级的学生有60人，则该样本中高三年级的学生人数为　　

A．60    B．50    C．40    D．30

二、填空题

13．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．

14．如图，圆柱内接于球O，且圆柱的高等于球O的半径，则从球O内任取一点，此点取自圆柱的概率为______；

15．在边长为2的正△ABC所在平面内，以A为圆心，为半径画弧，分别交AB，AC于D，E.若在△ABC内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是________．

16．执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为　　　.

17．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的值为__________．

18．已知实数，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为________．

19．已知数据的平均值为，数列为等差数列，且，则该组数据的方差为________.

20．如图是某工厂对一批新产品长度单位：检测结果的频率分布直方图估计这批产品的中位数为______．

三、解答题

21．从广安市某中学校的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于cm和cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，...，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人.

（1）求第七组的频率；

（2）估计该校名男生的身高的中位数。

（3）若从样本中身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求抽出的两名男生是同一组的概率.

22．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，可知其概率平分别为．

（1）求1张奖券中奖的概率；

（2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．

23．试找出一个求有限数列中的最大数的算法.

24．下面给出了一个问题的算法：

第一步，输入x.

第二步，若x≥4，则执行第三步，否则执行第四步．

第三步，y＝2x－1，输出y.

第四步，y＝x2－2x＋3，输出y.

问题：(1)这个算法解决的问题是什么？

(2)当输入的x值为多大时，输出的数值最小？

25．学校食堂统计了最近天到餐厅就餐的人数（百人）与食堂向食材公司购买所需食材（原材料）的数量（袋），得到如下统计表：

（2）已知购买食材的费用（元）与数量（袋）的关系为，投入使用的每袋食材相应的销售单价为元，多余的食材必须无偿退还食材公司，据悉下周一大约有人到食堂餐厅就餐，根据（1）中求出的线性回归方程，预测食堂应购买多少袋食材，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L =销售收入-原材料费用）

参考公式：，

参考数据：，，

26．庐江县统计局统计了该县2019年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：

年收入

（2）若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：（参考数据：）

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．A

解析：A

【解析】

试题分析：设水深为x尺，利用勾股定理求出水深，结合葭长13尺，代入几何概型概率计算公式，可得答案．

详解：

设水深为x尺，

则（x+2）2=x2+52，

解得x=，

即水深尺．

又葭长尺，

则所求概率为.

故选A．

点睛：本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．

2．B

解析：B

【解析】

设名女志愿者为，名男志愿者为，任取人共有，共种情况，都是女性的情况有三种情况，故选到的都是女性志愿者的概率为，故选B.

3．C

解析：C

【分析】

表示前个球为白球，第个球为红球，则．由此计算可得结论．

【详解】

表示前个球为白球，第个球为红球，

，

，

，

所以，

故选：C．

【点睛】

本题考查古典概型概率计算，属于基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．

4．C

解析：C

【分析】

欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式求解．

【详解】

联立得.

由图可知基本事件空间所对应的几何度量，

满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：

（A）．

所以（A）．

故选：．

【点睛】

本题综合考查了几何概型及定积分在求面积中的应用，考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

5．B

解析：B

【分析】

本题只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可（注意避免计算错误）．

【详解】

，

第一次循环，；

第二次循环，；

第三次循环，；

第四次循环，，

退出循环，输出，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.

6．B

解析：B

【分析】

根据框图，模拟程序运行即可求解.

【详解】

根据框图，执行程序，

；

；

，

令，

解得，即时结束程序，

所以，

故选 ：B

【点睛】

本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，等比数列求和，属于中档题.genju

7．C

解析：C

【分析】

由已知中的程序框图，得到该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量的变化情况，可得答案．

【详解】

模拟程序的运行，可得：，

满足条件，执行循环体，；

满足条件，执行循环体，；

满足条件，执行循环体，；

此时，不满足条件，推出循环，输出的值为，

故选C．

【点睛】

本题主要考查了程序框图的应用问题，解答中应模拟程序框图的运行过程，逐次计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

8．C

解析：C

【解析】

【分析】

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【详解】

由题意，模拟程序的运算，可得

， 

满足判断框内的条件，执行循环体，， 

满足判断框内的条件，执行循环体，， 

满足判断框内的条件，执行循环体，， 

此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出a的值为170．

则分析各个选项可得程序中判断框内的“条件”应为？

故选：C．

【点睛】

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

9．D

解析：D

【分析】

根据散点图的分布可选择合适的函数模型.

【详解】

由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，

因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是.

故选：D.

【点睛】

本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.

10．A

解析：A

【分析】

可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．

【详解】

设9位评委评分按从小到大排列为．

则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，

中位数仍为，A正确．

②原始平均数，后来平均数

平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确

③

由②易知，C不正确．

④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．

【点睛】

本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.

11．B

解析：B

【解析】

分析：根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成立的只有一个，这一个就是回归直线方程.

详解：

这组数据的样本中心点是（2.5,4.5）

把样本中心点代入四个选项中，只有＝1.04＋1.9成立，

故选B.

点睛：这是一道关于考查回归直线方程的题目，关键掌握回归直线必过样本中心点的特点，首先分析题目，由四组数据可得，进而得到样本中心点的坐标，接下来根据回归直线必过样本中心点，即可解答此题.

12．C

解析：C

【分析】

设该样本中高三年级的学生人数为x，则，解之即可

【详解】

设该样本中高三年级的学生人数为x，

则，解得，

故选C．

【点睛】

本题考查了分层抽样方法的应用问题，属基础题．

二、填空题

13．【解析】基本事件总数为36点数之和小于10的基本事件共有30种所以所求概率为【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查属于简单题江苏对古典概型概率的考查注重事件

解析：

【解析】

基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为

【考点】古典概型

【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查，属于简单题.江苏对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往利用对立事件的概率公式进行求解.

14．【分析】设出球的半径利用勾股定理求得圆柱的底面半径分别计算圆柱和球的体积然后利用几何概型的概率计算公式求得所求的概率【详解】设球的半径为依题意可知圆柱底面半径故圆柱的体积为而球的体积为故所求概率为【

解析：

【分析】

设出球的半径，利用勾股定理求得圆柱的底面半径，分别计算圆柱和球的体积，然后利用几何概型的概率计算公式，求得所求的概率.

【详解】

设球的半径为，依题意可知，圆柱底面半径，故圆柱的体积为，而球的体积为，故所求概率为.

【点睛】

本小题主要考查有关球的内接几何体的问题，考查体积型的集合概型概率计算，属于基础题.对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间).有关球内接几何体的问题，主要是构造直角三角形，利用勾股定理来计算长度.

15．【分析】由三角形ABC的边长为2不难求出三角形ABC的面积又由扇形的半径为也可以求出扇形的面积代入几何概型的计算公式即可求出答案【详解】由题意知在△ABC中BC边上的高AO正好为∴圆与边CB相切如图

解析：

【分析】

由三角形ABC的边长为2不难求出三角形ABC的面积，又由扇形的半径为，也可以求出扇形的面积，代入几何概型的计算公式即可求出答案．

【详解】

由题意知，在△ABC中，BC边上的高AO正好为，∴圆与边CB相切，如图．

S扇形＝×××＝，

S△ABC＝×2×2×＝，∴P＝＝.

【点睛】

本题考查面积型几何概型概率的求法，属基础题.

16．4【解析】【分析】由程序框图知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值模拟程序的运行过程分析循环中各变量值的变化情况可得答案【详解】模拟执行如图所示的程序框图如下判断第1次执行循环体后；判断第2

解析：4

【解析】

【分析】

由程序框图知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，

模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【详解】

模拟执行如图所示的程序框图如下，

判断，第1次执行循环体后，，，；

判断，第2次执行循环体后，，，；

判断，第3次执行循环体后，，，；

判断，退出循环，输出的值为4．

【点睛】

本题主要考查对含有循环结构的程序框图的理解，模拟程序运算可以较好地帮助理解程序的算法功能．

17．0【解析】第一次循环：满足条件；第二次循环：满足条件；第三次循环：满足条件；第四次循环：满足条件；第五次循环：满足条件；第六次循环：满足条件；第七次循环：满足条件；可得的值以为周期进行循环所以最后输

解析：0

【解析】

第一次循环：，满足条件；第二次循环：，满足条件；第三次循环：，满足条件；第四次循环：，满足条件；第五次循环：，满足条件；第六次循环：，满足条件；第七次循环：，满足条件；，可得的值以为周期进行循环，所以最后输出的的值为，故答案为.

18．【解析】设实数x∈19经过第一次循环得到x=2x+1n=2经过第二循环得到x=2(2x+1)+1n=3经过第三次循环得到x=22(2x+1)+1+1n=4此时输出x输出的值为8x+7令8x+7⩾55

解析：

【解析】

设实数x∈[1,9]，

经过第一次循环得到x=2x+1，n=2，

经过第二循环得到x=2(2x+1)+1，n=3，

经过第三次循环得到x=2[2(2x+1)+1]+1，n=4此时输出x，

输出的值为8x+7，

令8x+7⩾55，得x⩾6，

由几何概型得到输出的x不小于55的概率为.

故答案为.

19．1【分析】先根据数列为等差数列求出再根据方差公式可得【详解】因为数列为等差数列且所以所以该组数据的方差为故填01【点睛】考查方差的计算基础题

解析：1

【分析】

先根据数列为等差数列求出，再根据方差公式可得．

【详解】

因为数列为等差数列,且，所以 ，所以该组数据的方差为.故填0.1.

【点睛】

考查方差的计算，基础题．

20．5【解析】根据频率分布直方图得；∵002×5+004×5=03<0503+008×5=07>05；∴中位数应在20∼25内设中位数为x则03+(x−20)×008=05解得x=225；∴这批产品的中

解析：5

【解析】

根据频率分布直方图，得；

∵0.02×5+0.04×5=0.3<0.5，

0.3+0.08×5=0.7>0.5；

∴中位数应在20∼25内，

设中位数为x，则

0.3+(x−20)×0.08=0.5，

解得x=22.5；

∴这批产品的中位数是22.5.

故答案为22.5.

点睛：用频率分布直方图估计总体特征数字的方法：

①众数：最高小长方形底边中点的横坐标；

②中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；

③平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.

三、解答题

21．（1）0.06；（2）；（3）.

【分析】

（1）第六组的频率为0.08，结合频率之和为1即能求出第七组的频率；

（2）身高在第一组的频率为0.04，身高在第二组的频率为0.08，身高在第三组的频率为0.2，身高在第四组的频率为0.2，由此能估计这所学校的800名男生的身高的中位数；

（3）分别求出第六组和第八组的人数，利用列举法列出从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生的总的方法，再根据古典概型的概率公式解之即可.

【详解】

（1）第六组的频率为，

∴第七组的频率为：.

（2）身高在第一组的频率为，

身高在第二组的频率为，

身高在第三组的频率为，

身高在第四组的频率为，

由于，，

估计这所学校的800名男生的身高的中位数为，

则，由，

解得，

∴可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为.

（3）第六组的人数为4人，设为，，，，

第八组的人数为2人，设为，，

则从中抽两名的情况有，，，，，，，，，，，，，，共15种，

其中抽出的两名男生是在同一组的有，，，，，，共7种情况，故抽出的两名男生是在同一组的概率为.

【点睛】

本题考查频率、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.

22．（1）（2）

【分析】

（1）1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖,且、、两两互斥,利用互斥事件的概率加法公式求解即可；

（2）“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”的对立事件为“1张奖券中特等奖或中一等奖”,则利用互斥事件的概率公式求解即可

【详解】

（1）1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖,

设“1张奖券中奖”为事件,则,

因为、、两两互斥,所以

故1张奖券中奖的概率为

（2）设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件,则事件与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,

所以,

故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为

【点睛】

本题考查互斥事件的概率加法公式的应用,考查古典概型,考查利用对立事件求概率

23．见解析

【分析】

将与进行比较，将其中较大的数记作b，再依次判断每个数与的大小关系得到算法.

【详解】

第一步：将与进行比较，将其中较大的数暂时先记作b；

第二步：将b与进行比较，将其中较大的数暂时先记作b；

第三步：将b与进行比较，将其中较大的数暂时先记作b；

……

第n步：将b与进行比较，将其中较大的数记作b；

（执行完每一步后，b的值就是前n个数中的最大数）

步：输出b，b的值即为所求得最大值.

说明：上述算法的步中，每一步都要与上一步中得到的最大数b进行比较，得出新的最大数b；b可以取不同的值，b就称之为变量在第一步到第步的算法过程中，都把比较后的较大数记作b，即把值赋予了b，这个过程就是赋值的过程，这个过程有两个功能：第一，可以不断对b的值进行改变，即把数值放入b中；第二，b的值每变化一次都是为下一步的比较服务.

【点睛】

本题考查了设计求最大值的算法，意在考查学生对于算法的理解和应用.

24．（1）见解析（2）当输入的x的值为1时，输出的数值最小．

【解析】

试题分析：本题考查了一个条件分支结构的算法，可分为和，执行不同的计算，即可得到结论.

试题

(1)这个算法解决的问题是求分段函数的函数值的问题．

(2)本问的实质是求分段函数最小值的问题．

当x≥4时，y＝2x－1≥7；

当x<4时，y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2．

∴函数最小值为2，当x＝1时取到最小值．

∴当输入x的值为1时，输出的数值最小．

点睛：本题主要考查了一个条件分支结构的算法的应用问题，解答中涉及到分段函数的性质，其中程序填空是重点考查的题型，这种试题考试的重点：①分支条件；②循环的条件；③变量的赋值；④变量的输出，其中前两个是考试的重点，正确理解算法的流程，读懂题意是解答的关键.

25．（1）；（2）食堂购买袋食，能获得最大利润，最大利润为元.

【分析】

（1）本题首先可根据题中所给数据求出、，然后根据求出，最后根据求出，即可得出结果；

（2）本题首先可根据得出预计需要购买食材袋，然后分为、两种情况进行讨论，分别求出最大值后进行比较，即可得出结果.

【详解】

（1）由所给数据可得：，，

，，

故关于的线性回归方程为.

（2）因为，所以当时，即预计需要购买食材袋，

因为，

所以当时，利润，

此时当时，，

当时，由题意可知，剩余的食材只能无偿退还，

此时当时，，

当时，利润，

综上所述，食堂应购买袋食，才能获得最大利润，最大利润为元.

【点睛】

本题考查线性回归直线方程，考查回归方程的应用，考查学生的数据处理能力以及运算求解能力．考查分类讨论思想，属于中档题．

26．（1）；（2）2.25万元.

【分析】

（1）由已知数据求出和，根据所给公式求出与的值，即可得关于的线性回归方程；

（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取求得值即可．

【详解】

解：（1）依题意可计算得，

，

．

，，

又，，

，

，，

所求的线性回归方程为.

（2）当时，（万元），

估计大多数年收入9万元的家庭每年饮食支出约为2.25万元.

【点睛】

本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．