力学中的临界状态问题

      解答临界问题的关键是找临界条件。许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语发掘内含规律，找出临界条件。

    〖例题〗　  在光滑的水平轨道上有两个半径都是ｒ的小球Ａ和Ｂ，质量分别为ｍ和２ｍ，当两球心间距离大于ｌ（ｌ比２ｒ大得多）时，两球之间无相互作用力；当两球心间距离等于或小于ｌ时，两球间存在相互作用的恒定斥力Ｆ。设Ａ球从远离Ｂ球处以速度Ｖ０沿两球连心线向原来静止的Ｂ球运动，如图１所示，欲使两球不发生接触，Ｖ０必须满足什么条件？

　〖析〗   　本题的关键是正确找出两球“不接触”的临界状态。据题意，当Ａ、Ｂ两球球心间距离小于ｌ时，两球间存在相互作用的恒定斥力Ｆ，故Ａ减速而Ｂ加速。当ＶＡ＞ＶＢ时　，Ａ、Ｂ间距离增大减小；当ＶＡ＜ＶＢ时　，Ａ、Ｂ间距离增大。可见，当ＶＡ＝ＶＢ时，Ａ、Ｂ相距最近。若此时Ａ、Ｂ间距离ｘ＞２ｒ，则Ａ、Ｂ不发生接触（见图２）。上述状态即为所寻找的临界状态，ＶＡ＝ＶＢ时ｘ＞２ｒ则为临界条件。

     〖解〗　 两球不接触的条件是：

　　　　ＶＡ＝ＶＢ　 －－－－－－－－－－－－①

　　　　ｌ＋ＳＡ－ＳＢ＞２ｒ－－－－－－－－②

　　其中ＶＡ、ＶＢ为两球间距离最小时，Ａ、Ｂ球的速度；ＳＡ、ＳＢ为两球间距离从     

             ｌ变至最小的过程中，Ａ、Ｂ球通过的路程。

            设Ｖ０为Ａ球的初速度，由动量守恒定律得：

                 ｍＶ０＝ｍＶＡ＋２ｍＶＢ　－－－－－－③

             由动能定律得

　　　　　－－－－④

　　　　　－－－－－－⑤

              联立解得：

　　有时，有些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。光学中全反射的临界角即为一例。

      〖例题〗    图３中，用细线悬挂于Ｏ点的摆球在小锤两次打击下才能通过以Ｏ为圆心，以线长为半径的圆周的最高点，设两次打击时作用时间相等，摆球运动中悬线始终拉直，求两次打击力之比Ｆ２：Ｆ１的最小值。

〖析〗　要求Ｆ２：Ｆ１的最小值，即要求Ｆ１的最大值，Ｆ２的最小值。故必须找出Ｆ１和Ｆ２对应的两个临界状态。 

　　据题意，小球经两次打击才通过圆周最高点Ｃ，故第一次打击后，小球只能在圆弧ＡＢＣ之间运动，从图４可以看出，当小球在圆弧ＡＢ上运动时，重力沿半径的分力Ｆ１背离圆心，拉紧绳子，即使小球速度减为零，也不会脱离圆周。当小球在圆弧ＢＣ上运动时，重力沿半径的分力Ｆ１改为沿半径指向圆心。必会在图４中Ｐ点出现   ，小球将脱离圆周而作斜抛运动，线松驰。可见，由于在Ｂ点上下重力沿半径方向分力Ｆ１方向的突变，使得小球将出现不同的运动情况。要使绳子始终拉直，第一次打击后，小球只能在圆弧ＡＢ上运动，“小球沿圆弧上升至Ｂ点速度恰为零”为确定Ｆ１的临界条件。

        要求Ｆ２最小，则第二次打击后，小球恰能通过最高点Ｃ，“绳子张力ＴＣ＝０”，这是确定Ｆ２的临界条件。

 〖解〗　设第一次打击后，小球速度为Ｖ１，由动量定律得

　　　　　　Ｆ１ｔ＝ｍＶ１　－－－－－－－－－－－－－①

                Ｆ１最大时，小球到达Ｂ点速度为零，由机械能守恒定律得

　　　　　　　 －－－－－－－－－－－②

                联立解得：

　　小球经过最低点并向左运动时，作第二次打击，打击后速度为Ｖ２，由动量定理得： 

　　　　　　Ｆ２ｔ＝ｍＶ２－ｍＶ１ －－－－－－－－－③

             设小球升至最高点Ｃ时速度为Ｖ３，由机械能守恒定律得：

　　　　　　　－－－－④

              Ｆ２最小时，小球通过Ｃ点时线的张力ＴＣ＝０，由牛顿第二定律得

　　　　　　 －－－－－－－－－－－－－⑤

                联立解得：

          临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。