2010年全国高中数赛模拟题5

一试

考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分

一、填空题（共8题，每题8分，分）

1、整数，且，则分别为　　　　　　　　。

2、.均为非负实数，则

　的最小值为　　　　　　　　　　　。

3、已知集合，其中，且。若正整数，且，符合条件的有  个

4、记，则的最小值是         

5、集合的容量是指集合中元素的和．则满足条件“，且若时，必有”的所有非空集合的容量的总和是        ．（用具体数字作答）

6、为的单调递增数列，满足，则　。

7、设为方程的根（），则　　　　。

二、解答题（共3题，共56分）

9、（本题16分）求函数的最大值和最小值．

10、（本题20分）设x，y，z为正实数，求函数的最小值。

11、（本题20分）n2(n≥4)个正数排成n行n列

a11    a12    a13    a14……  a1n

a21    a22    a23    a24……  a2n

a31    a32    a33    a34……  a3n

a41    a42    a43    a44……  a4n

…    …    …   … …… …

an1    an2    an3    an4……  ann

其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a24=1,

a42=，a43=,求a11+a22+a33+…+ann.（1990年全国高中数赛试题）

2010年全国高中数赛模拟题5

（二试）

9：40~12：10共150分钟  满分180分

平面几何、代数、数论、组合

1、（本题40分）如图，已知△ABC的外角∠EAC的平分线与△ABC的外接圆交于点D，以CD为直径的圆分别交BC，CA于点P、Q，求证：线段PQ平分△ABC的周长。（2006浙江集训）

2、（本题40分）将正奇数集合{1，3，5，…}从小到大按第n组有(2n－1)奇数进行分组：{1}, {3,5,7} , {9, 11, 13, 15, 17}, …     （第1组）（第2组）（第3组）问2011位于第几组中？

3、（本题50分）设有数列，且当时，

求证：对一切，.

4、（本题50分）一群科学家在一个研究所工作.在某天的8小时工作时间内，每个科学家都至少去过一次咖啡厅.已知对于每两个科学家，恰有他们中的一个出现在咖啡厅中的时间总和至少为小时.求出在研究所中工作的科学家人数的最大可能值(依赖于) . 

2010年全国高中数赛模拟题5

参

一试

1、解：方程两边同乘以８，得。　

因为，所以要使左边为奇数，只有，即。

则。

要使左边为奇数，只有，即。

从而有　，即。故有。答案为　。

2、解：在直角坐标系中，作点，，，，。则

Ｉ＝

　＝＋＋＋　　　（应用三角不等式）

＋＋＋＝2010。

如果取，即，那么Ｉ取到最小值2010。

3、个. 转化为进制。

∵，故＝

，,

中以的数有个

的数有个，的数最大到，有个。中，故中。从而，满足要求的数有个。

∵＝，不小于小的数有个

满足要求的数有1004－＋１＝662 ．   

4、 设动点与，则，点的轨迹为直线，点的轨迹为双曲线，双曲线上的任一点到直线的距离

，当时等号成立．故的最小值为．

5、224．先找出满足条件的单元素和二元素的集合有：，，，，将这四个集合中的元素任意组合起来也满足要求，则所有符合条件的集合A中元素的总和是 ：．

6、解： 

　　（由题意可知取正号。）

因此，公差为２的等差数列，即。从而可得。　　 

7、解：　由题意，。由此可得

　，，以及　。

。

8、

9、解：∵，令，

若即，则，      

当时，；当时，．       

若即，则，    

当时，；当时，．         

综上，函数的最大值为２，最小值为．  

10. 解：在取定y的情况下，

    ≥．

其中等号当且仅当时成立．  

同样， 

其中等号当且仅当z=时成立．所以

=．

  其中第二个不等式中等号当且仅当y=号时成立． 

  故当x=，y=，z=等时，f(x，y，z)取得最小值194+112． 

11. 设第一行数列公差为d，各列数列公比为q.因为2a43=a42+a44,

所以a44=2a43－a42=2×－=.又因为a44=a24·q2=q2,所以q=,于是有

    解此方程组，得d=,a11=.

对于任意的1≤k≤n,有

二试

1、证：如图，连结DB、OP、DQ，因∠ABD+∠ACD，∠EAC=∠ABC+∠ACB，则∠EAC=∠DBC+∠DCB，即：2∠DAC=∠DBC+∠DCB；又∠DAC=∠DBC，则：∠OBC=∠DCB；故△DBC为等腰三角形，因OP⊥BC，则CP=BC。在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理得：AC·BD=BC·AD+AB·CD，因BD=CD，则：AC-AB=，又DQ⊥AC，则△ADQ∽△BDP，所以，即：AQ=。故AC-AB=2AQ，即AQ=。

从而：CQ+CP=（AC-AQ）+BC=（AC-BC= (AB+BC+CA)。

2、因为1+3+5+…+(2n－1)=n2

所以前n组共含有奇数n2个，第n组最后一个数即第n2个奇数为2n2－1,第n组第一个数即第n－1组最后一个数后面的奇数为[2(n－1)2－1]+2=2(n－1)2+1.由题意，有不等式

2(n－1)2+1≤1991≤2n2－1.

解得(n－1)2≤995且n2≥996，从而n≤32且n≥32，

故n=32，即1991位于第32组中.

3、证  直接写出的前几项，依次为1，2，7，29，22，23，49，26，-17，……，发现它们都不是3的倍数，进而构造关于3的模数列，则呈现明显的规律.因而只要证明：.

（1）时，结论显然成立；

（2）设上面两式对成立，则

（i）若为偶数，则

.

若为奇数，则.

即总成立.

（ii）同理可证.

由此可知，对一切，有，故.

本题若取模，则，仍然可证明相同的结论.

4、解析 设研究所中有个科学家.表示在第个和第个科学家中恰有一个在咖啡厅的时间.令则另一方面，我们将8小时工作时间分成有限段, , ,，使得在每段时间中都没有科学家进出咖啡厅.设在时间段中有个科学家在咖啡厅，则有.

于是有     .

如果，则得到，即     

如果，则得到，

即      

总之都有  

下面举例说明上述不等式可以取到等号.

设令.将8小时工作时间等分，每段时间对应个科学家中的个人，不同的时间段对应的人不完全相同.由对称性，对于任意两个科学家，恰有他们中的一个出现在咖啡厅中的时间总和全相等，设为.则有

.

由此，（等价于）. 故满足条件.