三角函数及解三角形知识点

2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．

第一象限角的集合为

第二象限角的集合为

第三象限角的集合为

第四象限角的集合为

终边在轴上的角的集合为

终边在轴上的角的集合为

终边在坐标轴上的角的集合为

3、与角终边相同的角的集合为

4、已知是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度．

6、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是．

7、弧度制与角度制的换算公式：，，．

8、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．

9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，，．

10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

11、三角函数线：，，．

12、同角三角函数的基本关系： 

； 

．

13、三角函数的诱导公式：

，，．

，，．

，，．

，，．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

，．

，．

口诀：奇变偶不变，符号看象限．

14、函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．

函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数

的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．

函数的性质：

振幅：；周期：；频率：；相位：；初相：．

函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

sin(A/2)=√((1-cosA)/2)              sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) 

cos(A/2)=√((1+cosA)/2)              cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) 

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))      tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) 

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))      ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 

和差化积 

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)              2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) 

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2       cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) 

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB              tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB 

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 

辅助角公式

，其中．

降幂公式

（sin^2）x=1-cos2x/2           （cos^2）x=i=cos2x/2

万能公式 

令tan(a/2)=t 

sina=2t/(1+t^2)            cosa=(1-t^2)/(1+t^2)       tana=2t/(1-t^2)

公式一：

  设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

  sin（2kπ＋α）＝sinα           cos（2kπ＋α）＝cosα

  tan（2kπ＋α）＝tanα           cot（2kπ＋α）＝cotα

  公式二：

  设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

  sin（π＋α）＝－sinα           cos（π＋α）＝－cosα

  tan（π＋α）＝tanα             cot（π＋α）＝cotα

  公式三：

  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

  sin（－α）＝－sinα             cos（－α）＝cosα

  tan（－α）＝－tanα             cot（－α）＝－cotα

  公式四：

  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

  sin（π－α）＝sinα             cos（π－α）＝－cosα

  tan（π－α）＝－tanα           cot（π－α）＝－cotα

  公式五：

  利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

  sin（2π－α）＝－sinα          cos（2π－α）＝cosα

  tan（2π－α）＝－tanα          cot（2π－α）＝－cotα

  公式六：

  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

  sin（π/2＋α）＝cosα           cos（π/2＋α）＝－sinα

  tan（π/2＋α）＝－cotα         cot（π/2＋α）＝－tanα

  sin（π/2－α）＝cosα           cos（π/2－α）＝sinα

  tan（π/2－α）＝cotα           cot（π/2－α）＝tanα

    (以上k∈Z) 

  注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

诱导公式记忆口诀

    奇变偶不变，符号看象限。

同角三角函数基本关系

  同角三角函数的基本关系式

  倒数关系:

  tanα ·cotα＝1

  sinα ·cscα＝1

  cosα ·secα＝1

  商的关系：

  sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

  cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

 两角和差公式     两角和与差的三角函数公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB                 sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB                 cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)        tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)          ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 

二倍角公式

  二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

tan2A=2tanA/(1-tan2A)            sin2a=2sinacosa 

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 

半角公式

  半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

  sin^2(α/2)＝(1－cosα)／2

  cos^2(α/2)＝(1＋cosα)／2

  tan^2(α/2)＝(1－cosα)／(1＋cosα)

  另也有tan(α/2)=(1－cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)

万能公式

  sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] 

  cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] 

  tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

万能公式推导

  附推导：

  sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，

  （因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）

  再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝2tanα/(1＋tan^2(α))

  然后用α/2代替α即可。

  同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

和差化积公式

  三角函数的和差化积公式

  sinα＋sinβ＝2sin[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]

  sinα－sinβ＝2cos[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]

  cosα＋cosβ＝2cos[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2] 

  cosα－cosβ＝－2sin[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]

积化和差公式

  三角函数的积化和差公式

  sinα ·cosβ＝0.5[sin(α＋β)＋sin(α－β)]

  cosα ·sinβ＝0.5[sin(α＋β)－sin(α－β)]

  cosα ·cosβ＝0.5[cos(α＋β)＋cos(α－β)]

  sinα ·sinβ＝－0.5[cos(α＋β)－cos(α－β)]

和差化积公式推导

  附推导：

  首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

  我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

  所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

  同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

  同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

  所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

  所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

  同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

  这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

  sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

  cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

  cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

  sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

  好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

  我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

  把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

  sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

  sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

  cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

  cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2) 

0度       sina=0,cosa=1,tana=0

30度      sina=1/2,cosa=√3/2,tana=√3/3

45度      sina=√2/2,cosa=√2/2,tana=1

60度      sina=√3/2,cosa=1/2,tana=√3

90度      sina=1,cosa=0,tana不存在

120度     sina=√3/2,cosa=-1/2,tana=-√3

150度     sina=1/2,cosa=-√3/2,tana=-√3/3

180度     sina=0,cosa=-1,tana=0

270度     sina=-1,cosa=0,tana不存在

360度     sina=0,cosa=1,tana=0 

1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．

2、正弦定理的变形公式： ，，；

，，；

；

．

3、三角形面积公式：．

4、余弦定理：在中，有，，

．

5、余弦定理的推论：，，．

6、设、、是的角、、的对边，则：若，则；

若，则；若，则．