2022年陕西省中考数学真题(A卷)及答案

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

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绝密★启用前

2022年陕西省中考数学真题（A 卷）

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

题号一

二

三

总分

得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题）

请点击修改第I 卷的文字说明评卷人

得分

一、单选题

1．37-的相反数是（）A ．37

-B ．37

C ．137

-

D ．137

2．如图，,AB CD BC EF ∥∥．若158∠=︒，则2∠的大小为（

）

A ．120︒

B ．122︒

C ．132︒

D ．148︒

3．计算：()23

23x x y ⋅-=（

）

A ．336x y

B ．236x y -

C ．33

6x y -D ．33

18x y 4．在下列条件中，能够判定ABCD 为矩形的是（）

A ．A

B AC

=B ．AC BD

⊥C ．AB AD =D ．AC BD

=5．如图，AD 是ABC 的高，若26BD CD ==，tan 2C ∠=，则边AB 的长为（

）

试卷第2页，共7页

………○…

………外…………○…

………装…………

○…………订…………

○…………线…………○…………

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

A ．

B ．

C ．

D ．6．在同一平面直角坐标系中，直线4y x =-+与2y x m =+相交于点(3,)P n ，则关于x ，

y 的方程组40

20x y x y m +-=⎧⎨-+=⎩

的解为（

）

A ．1

5x y =-⎧⎨

=⎩B ．13x y =⎧⎨

=⎩C ．31x y =⎧⎨

=⎩D ．95

x y =⎧⎨

=-⎩7．如图，ABC 内接于⊙,46O C ∠=︒，连接OA ，则OAB ∠=（

）

A ．44︒

B ．45︒

C ．54︒

D ．67︒

8．已知二次函数y =x 2−2x −3的自变量x 1，x 2，x 3对应的函数值分别为y 1，y 2，

y 3．当−13时，y 1，y 2

，y 3三者之间的大小关系是（）

A ．123

y y y <y y y <y y y <y y y <<第II 卷（非选择题）

请点击修改第II 卷的文字说明评卷人

得分

二、填空题

9．计算：3=______．

10．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则a ______b -．

（填“>”“=”或“<”）11．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF 将矩形窗框

ABCD 分为上下两部分，其中E 为边AB 的黄金分割点，即2BE AE AB =⋅．已知AB 为

2米，则线段BE 的长为______米．

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

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12．已知点A (−2，m )在一个反比例函数的图象上，点A ′与点A 关于y 轴对称．若点A ′在正比例函数1

2

y x =

的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______．13．如图，在菱形ABCD 中，4,7AB BD ==．若M 、N 分别是边AD BC 、上的动点，且AM BN =，作,ME BD NF BD ⊥⊥，垂足分别为E 、F ，则ME NF +的值为______．

评卷人得分

三、解答题

14．计算：0

15(3)|7⎛⎫

⨯-+- ⎪⎝⎭．

15．解不等式组：()21

531x x x +>-⎧⎨

--⎩ 16．化简：212111

a a a a +⎛⎫

+÷ ⎪--⎝⎭．17．如图，已知,,ABC CA CB ACD =∠△是ABC 的一个外角．请用尺规作图法，求作射线CP ，使CP AB ∥．（保留作图痕迹，不写作法）

18．如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，CD =AB ，DE ∥AB ，∠DCE =∠A ．求证：DE =BC ．

试卷第4页，共7页

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※※请※

※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

19．如图，ABC 的顶点坐标分别为(23)(30)(11)A B C ----，

，，．将ABC 平移后得到A B C '''V ，且点A 的对应点是(23)A '，

，点B 、C 的对应点分别是B C ''，．(1)点A 、A '之间的距离是__________；(2)请在图中画出

A B C '''V ．

20．有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg ，6kg ，7kg ，7kg ，8kg ．现将这五个纸箱随机摆放．

(1)若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg 的概率是______；(2)若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg 的概率．

21．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB 的影长OC 为16米，OA 的影长OD 为20米，小明的影长FG 为2.4米，其中O 、C 、D 、F 、G 五点在同一直线上，A 、B 、O 三点在同一直线上，且AO ⊥OD ，EF ⊥FG ．已知小明的身高EF 为1.8米，求旗杆的高AB ．

22．如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y 是x 的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x 与y 的对应值．

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

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输人x …6-4-2-02…输出y

…

6

-2

-2

6

16

…

根据以上信息，解答下列问题：

(1)当输入的x 值为1时，输出的y 值为__________；(2)求k ，b 的值；

(3)当输出的y 值为0时，求输入的x 值．

23．某校为了了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”（简称“劳动时间”）情况，在本校随机调查了100名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：组别“劳动时间”t /分钟

频数组内学生的平均“劳动时间”/分钟A 60t <850B 6090t ≤<1675C 90120t ≤<40105D

120

t ≥36

150

根据上述信息，解答下列问题：

(1)这100名学生的“劳动时间”的中位数落在__________组；(2)求这100名学生的平均“劳动时间”；

(3)若该校有1200名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数．24．如图，AB 是⊙O 的直径，AM 是⊙O 的切线，AC 、CD 是⊙O 的弦，且CD AB ⊥，

试卷第6页，共7页

………○…………外

…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

※※请※※不※※

要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

垂足为E ，连接BD 并延长，交AM 于点P ．

(1)求证：CAB APB ∠=∠；

(2)若⊙O 的半径5,8r AC ==，求线段PD 的长．

25．现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE 表示水平的路面，以O 为坐标原点，以OE 所在直线为x 轴，以过点O 垂直于x 轴的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：10m OE =，该抛物线的顶点P 到OE 的距离为9m ．

(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A 、B 处分别安装照明灯．已知点A 、B 到OE 的距离均为6m ，求点A 、B 的坐标．26．问题提出

(1)如图1，AD 是等边ABC 的中线，点P 在AD 的延长线上，且AP AC =，则APC ∠的度数为__________．问题探究

(2)如图2，在ABC 中，6,120CA CB C ==∠=︒．过点A 作AP BC ∥，且AP BC =，过点P 作直线l BC ⊥，分别交AB BC 、于点O 、E ，求四边形OECA 的面积．问题解决

(3)如图3，现有一块ABC 型板材，ACB ∠为钝角，45BAC ∠=︒．工人师傅想用这块板材裁出一个ABP △型部件，并要求15,BAP AP AC ∠=︒=．工人师傅在这块板材上的作

○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:

___

_

__

_

_

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_姓名：__

_

_

__

_

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_

_班级：

__

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___

__

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_考

号：_

_

__

__

__

___

○

…

…

…

…

内

…

…

…

…

○

…

…

…

…装

…

…

…

…

○

…

…

…

…

订

…

…

…

…

○

…

………线…………○…………法如下：①以点C 为圆心，以CA 长为半径画弧，交AB 于点D ，连接CD ；②作CD 的垂直平分线l ，与CD 于点E ；③以点A 为圆心，以AC 长为半径画弧，交直线l 于点P ，连接AP BP 、，得ABP △．

请问，若按上述作法，裁得的ABP △型部件是否符合要求？请证明你的结论．

1．B

【解析】

【分析】

根据相反数的定答即可．

【详解】

-37的相反数是37．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了相反数，掌握定义是解题的关键．即只有符号不同的两个数，称其中一个是另一个的相反数．

2．B

【解析】

【分析】

根据两直线平行线，内错角相等，求出∠1=∠C=58°，再利用两直线平行线，同旁内角互补即可求出∠CGE的大小，然后利用对顶角性质即可求解．

【详解】

解：设CD与EF交于G，

∵AB∥CD

∴∠1=∠C=58°

∵BC∥FE，

∴∠C+∠CGE=180°，

∴∠CGE=180°-58°=122°，

∴∠2=∠CGE=122°，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线性质是解题关键

3．C

【解析】

【分析】

利用单项式乘单项式的法则进行计算即可．

【详解】

解：()()23233323236x x y x x y x y ⋅-=⨯-⨯=-⋅⨯．

故选：C ．

【点睛】

本题考查了单项式乘单项式的运算，正确地计算能力是解决问题的关键．

4．D

【解析】

【分析】

根据矩形的判定定理逐项判断即可．

【详解】

当AB=AC 时，不能说明ABCD 是矩形，所以A 不符合题意；

当AC ⊥BD 时，ABCD 是菱形，所以B 不符合题意；

当AB=AD 时，ABCD 是菱形，所以C 不符合题意；

当AC=BD 时，ABCD 是矩形，所以D 符合题意．

故选：D ．

【点睛】

本题主要考查了矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键．有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．

5．D

【解析】

【分析】

先解直角ABC 求出AD ，再在直角ABD △中应用勾股定理即可求出AB ．

【详解】

解：∵26BD CD ==，

∴3CD =，

∵直角ADC 中，tan 2C ∠=，

∴tan 326AD CD C =⋅∠=⨯=，

∴直角ABD △中，由勾股定理可得，AB ==故选D ．

【点睛】

本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键．

6．C

【解析】

【分析】

先把点P 代入直线4y x =-+求出n ，再根据二元一次方程组与一次函数的关系求解即可；

【详解】

解：∵直线4y x =-+与直线2y x m =+交于点P （3，n ），

∴34n =-+，

∴1n =，

∴()3,1P ，

∴1=3×2+m ，

∴m =-5,

∴关于x ，y 的方程组40250x y x y +-=⎧⎨--=⎩的解31x y =⎧⎨=⎩

；故选：C ．

【点睛】

本题主要考查了一次函数的性质，二元一次方程与一次函数的关系，准确计算是解题的关键．7．A

【解析】

【分析】

连接OB ，由2∠C =∠AOB ，求出∠AOB ，再根据OA =OB 即可求出∠OAB ．

【详解】

∵∠C=46°，

∴∠AOB=2∠C=92°，

∴∠OAB+∠OBA=180°-92°=88°，∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∴∠OAB=∠OBA=1

2

×88°=44°，

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了圆周角定理，根据圆周角定理的出∠AOB=2∠C=92°是解答本题的关键．8．B

【解析】

【分析】

先求得抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的交点坐标，画出草图，利用数形结合，即可求解．

【详解】

解：y=x2−2x−3=(x-1)2-4，

∴对称轴为直线x=1，

令y=0，则(x-1)2-4=0，

解得x=-1或3，

∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，

二次函数y=x2−2x−3的图象如图：

由图象知213y y y <<．

故选：B ．

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用数形结合解题是关键．

9．2

-【解析】

【分析】

，再计算3-5即可得到答案．

【详解】

解：3352=-=-．

故答案为：-2．

【点睛】

是解答本题的关键．

10．<

【解析】

【分析】

根据在数轴上右边的数据大于左边的数据即可得出答案．

【详解】

解：如图所示：-4＜b ＜-3，1＜a ＜2，

∴34b <-<，

∴a b <-．

故答案为：＜．

【点睛】

此题主要考查了实数与数轴，正确掌握数轴上数据大小关系是解题关键．

11．1)##(1-

【解析】

【分析】

根据点E是AB的黄金分割点，可得

1

2

AE BE

BE AB

-

==，代入数值得出答案．

【详解】

∵点E是AB的黄金分割点，

∴

1

2

AE BE

BE AB

-

==．

∵AB=2米，

∴1

BE=）米．

故答案为：1）．

【点睛】

本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．

12．y=2 x-

【解析】【分析】

根据点A与点A′关于y轴对称，得到A′(2，m)，由点A′在正比例函数

1

2

y x

=的图象上，求

得m的值，再利用待定系数法求解即可．

【详解】

解：∵点A与点A′关于y轴对称，且A(−2，m)，∴A′(2，m)，

∵点A′在正比例函数

1

2

y x

=的图象上，

∴m=1

2

×2，

解得：m=1，∴A(−2，1)，

设这个反比例函数的表达式为y =k x

，∵A (−2，1)在这个反比例函数的图象上，

∴k =-2×1=-2，

∴这个反比例函数的表达式为y =2x

-，故答案为：y =2x

-．【点睛】

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x 轴、y 轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出m 的值．

13【解析】

【分析】

连接AC 交BD 于点O ，过点M 作MG //BD 交AC 于点G ，则可得四边形MEOG 是矩形，以及AGM BFN ∆≅∆，从而得NF =AG ，ME =OG ，即NR +ME =AO ，运用勾股定理求出AO 的长即可．

【详解】

解：连接AC 交BD 于点O ，如图，

∵四边形ABCD 是菱形，

∴AC ⊥BD ，BO =1722

BD =，AD //BC ，∴,90,

ADB CBD AOD ∠=∠∠=︒在Rt ABO ∆中，AB =4，BO =

72

，∵222AB BO AO =+，

∴AO==

过点M作MG//BD交AC于点G，

∴,90

AMG ADB MGO MOG

∠=∠∠+∠=︒,

∴90,

MGO MGA

∠=∠=︒

又,

ME BD

⊥

∴90

MEO

∠=︒，

∴四边形MEOG是矩形，

∴ME=OG，

又,

NF BD

⊥

∴90,

NFB

∠=︒

∴,

NFB AGM

∠=∠

在NFB

∆和AGM

∆中，

NFB AGM

NBF AMG

BN AM

∠=∠

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

,

∴NFB

∆≌AGM

∆

∴NF AG

=，

∴

2

NF ME AG OG AO

+=+=，

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．

14

．16

-+

【解析】

【分析】

先算绝对值、算术平方根，零指数幂，再算乘法和加减法，即可求解．

【详解】

解：0

15(3)|7⎛⎫⨯-+- ⎪⎝⎭

151

=-+

16=-+【点睛】

本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幂和运算法则是解题的关键．

15．1

x ≥-【解析】

【分析】

分别解出每个不等式的解集，再找解集的公共部分求不等式组的解集即可．

【详解】

解：()21531x x x +>-⎧⎪⎨--⎪⎩

①② ，解不等式①，得3x >-，

解不等式②，得1x ≥-，将不等式①，②的解集在数轴上表示出来

∴原不等式组的解集为1x ≥-．

【点睛】

本题考查不等式组的计算，准确地计算能力是解决问题的关键．

16．1

a +【解析】

【分析】

分式计算先通分，再计算乘除即可．

【详解】解：原式211112a a a a a

++--=⋅-

2(1)(1)12a a a a a

+-=⋅-1a =+．

【点睛】

本题考查了分式的混合运算，正确地计算能力是解决问题的关键．

17．见解析

【解析】

【分析】

作ACD ∠的角平分线即可．

【详解】

解：如图，射线CP 即为所求作．

【点睛】

本题考查了角平分线、三角形外角的性质、平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．

18．证明见解析

【解析】

【分析】

利用角边角证明△CDE ≌△ABC ，即可证明DE =BC ．

【详解】

证明：∵DE ∥AB ，

∴∠EDC =∠B ．

又∵CD =AB ，∠DCE =∠A ，

∴△CDE ≌△ABC (ASA)．

∴DE =BC ．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．

19．(1)4

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）由(23)A -，

(23)A '，得，A 、A '之间的距离是2-（-2）=4；（2）根据题意找出平移规律，求出103-1B C ''（，），（，）

，进而画图即可．(1)

解：由(23)A -，

(23)A '，得，A 、A '之间的距离是2-（-2）=4．

故答案为：4．

(2)

解：由题意，得103-1B C ''（，），（，）

，如图，A B C '''V 即为所求．

【点睛】

本题考查了坐标系中两点之间的距离求解以及平移求点坐标画图，题目相对较简单，掌握平移规律是解决问题的关键．

20．(1)2

5

(2)见解析，

15

【解析】

【分析】

（1）直接根据概率公式计算；

（2）先列表，展示所有20种等可能的结果数，再找出两个数字之和等于15kg所占的结果数，再根据概率公式计算．

(1)

解：所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是2 5，

故答案为：2 5；

(2)

解：列表如下：

第二个

第一个

66778

612131314

612131314

713131415

713131415

814141515

由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个西瓜的重量之和为15kg的结果有4种．

∴

41

205

P==．

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，从而求出概率．

21．旗杆的高AB为3米．

【解析】

【分析】

证明△AOD∽△EFG，利用相似比计算出AO的长，再证明△BOC∽△AOD，然后利用相似比计算OB的长，进一步计算即可求解．【详解】

解：∵AD∥EG，

∴∠ADO=∠EGF．

又∵∠AOD=∠EFG=90°，∴△AOD∽△EFG．

∴AO OD EF FG

=．

∴

1.82015

2.4

EF OD

AO

FG

⋅⨯

===．

同理，△BOC∽△AOD．

∴BO OC AO OD

=．

∴

151612

20

AO OC

BO

OD

⋅⨯

===．

∴AB=OA−OB=3（米）．

∴旗杆的高AB为3米．

【点睛】

本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．

22．(1)8

(2)

2

6 k

b

=⎧

⎨

=⎩

(3)3-

【解析】

【分析】

对于（1），将x=1代入y=8x，求出答案即可；

对于（2），将（-2，2），（0，6）代入y=kx+b得二元一次方程组，解方程组得出答案；对于（3），将y=0分别代入两个关系式，再求解判断即可．

(1)

当x=1时，y=8×1=8；

故答案为：8；

(2)

将（-2，2），（0，6）代入y kx b =+，得226

k b b -+=⎧⎨=⎩，解得26k b =⎧⎨=⎩

；(3)

令0y =，

由8y x =，得08x =，∴01x =<．（舍去）

由26y x =+，得026x =+，∴31x =-<．

∴输出的y 值为0时，输入的x 值为3-．

【点睛】

本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，理解“函数求值机”的计算过程是解题的关键．23．(1)C

(2)112分钟

(3)912人

【解析】

【分析】

（1）根据中位数的定义可知中位数落在C 组；

（2）根据加权平均数的公式计算即可；

（3）用样本估计总体即可．

(1)

解：由题意可知，100名学生的“劳动时间”的中位数是第50、51个数，

故本次调查数据的中位数落在C 组，

故答案为：C ；

(2)解：1(50875161054015036)112100

x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟），∴这100名学生的平均“劳动时间”为112分钟；

(3)解：∵40361200912100

+⨯=（人），∴估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的有912人．

【点睛】

本题考查了统计的知识，解题的关键是仔细读图，并从中找到进一步解题的有关信息，难度不大．

24．(1)见解析(2)32

3

【解析】

【分析】

（1）根据AM 是O 的切线，得出90BAM ∠=︒．根据CD AB ⊥，可证AM CD ．得出CDB APB ∠=∠．根据同弧所对圆周角性质得出CAB CDB ∠=∠即可；

（2）连接AD ．根据直径所对圆周角性质得出，90CDB ADC ∠+∠=︒．可证ADC C ∠=∠．得

出8AD AC ==．根据勾股定理6BD =．再证ADB PAB △∽△．求出

21005063

AB PB BD ===即可．(1)

证明：∵AM 是O 的切线，

∴90BAM ∠=︒．

∵CD AB

⊥∴90CEA ∠=︒，

∴AM CD ．

∴CDB APB ∠=∠．

∵CAB CDB ∠=∠，

∴CAB APB ∠=∠．

(2)

解：如图，连接AD ．

∵AB 为直径，

∴∠ADB =90°，

∴90CDB ADC ∠+∠=︒．

∵90,CAB C CDB CAB ∠+∠=︒∠=∠，

∴ADC C ∠=∠．

∴8AD AC ==．

∵210AB r ==，

∴6BD =．

∵∠BAP =∠BDA =90°，∠ABD =∠PBA ，

∴ADB PAB △∽△．∴AB BD PB AB

=．∴21005063

AB PB BD ===．∴5032633

DP =-=．【点睛】

本题考查圆的切线性质，直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，熟练掌握圆周角性质和三角形相似判定与性质是解题关键．

25．(1)29(5)925y x =-

-+

(2)(5(5A B +【解析】

【分析】

（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为2(5)9y a x =-+，再代入（0，0），求出a 的值即

可；

（2）根据题意知，A ，B 两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而可解决问题．

(1)

依题意，顶点(5,9)P ，

设抛物线的函数表达式为2(5)9y a x =-+，

将(0,0)代入，得20(05)9a =-+．解之，得925a =-

．∴抛物线的函数表达式为29(5)925y x =-

-+．(2)

令6y =，得29(5)9625x -

-+=．

解之，得125,5x x =

=-．

∴(5(5A B +．【点睛】

本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．

26．(1)75︒

(3)符合要求，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）利用等腰三角形的判定及性质，结合三角形内角和，先求出15PCD ∠=︒即可；（2）连接BP ．先证明出四边形ACBP 是菱形．利用菱形的性质得出6BP AC ==，由120ACB ∠=︒，得出60PBE ∠=︒．根据l BC ⊥，得cos603BE PB =⋅︒=，

sin 60PE PB =⋅︒=，即可求出12ABC S BC PE =

⋅=△OE =ABC OBE OECA S S S =-△△四边形即可求解；

（3）由作法，知AP AC =，根据,45CD CA CAB =∠=︒，得出90ACD ∠=︒．以AC CD 、为边，作正方形ACDF ，连接PF ．得出AF AC AP ==．根据l 是CD 的垂直平分线，证明出

AFP 为等边三角形，即可得出结论．

(1)

解：AC AP = ，

ACP APC ∴∠=∠，

2()180ACD PCD CAP ∠+∠+∠=︒ ，

2(60)30180PCD ∴⨯︒+∠+︒=︒，

解得：15PCD ∠=︒，

75ACP ACD PCD ∴∠=∠+∠=︒，

75APC ∴∠=︒，

故答案为：75︒；

(2)

解：如图2，连接BP ．

图2

∵,AP BC AP BC AC ==∥，

∴四边形ACBP 是菱形．

∴6BP AC ==．

∵120ACB ∠=︒，

∴60PBE ∠=︒．

∵l BC ⊥，

∴cos603,sin 603BE PB PE PB =⋅︒==⋅︒=

∴12

ABC S BC PE =⋅=△∵30ABC ∠=︒，

∴tan 30OE BE =⋅︒=

∴122

OBE S BE OE =⋅=△．

∴ABC OBE OECA S S S =-=

△△四边形．(3)

解：符合要求．

由作法，知AP AC =．

∵,45CD CA CAB =∠=︒，

∴90ACD ∠=︒．

如图3，以AC CD 、为边，作正方形ACDF ，连接PF ．

图3

∴AF AC AP ==．

∵l 是CD 的垂直平分线，

∴l 是AF 的垂直平分线．

∴PF PA =．

∴AFP 为等边三角形．

∴60FAP ∠=︒，

∴30PAC ∠=︒，

∴15BAP ∠=︒．

∴裁得的ABP △型部件符合要求．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质、三角形内角和定理、菱形的判定及性质、锐角三角函数、正方形、垂直平分线，解题的关键是要灵活运用以上知识点进行求解，涉及知识点较多，题目较难．