MATLAB应用 MATLAB数据及运算

2．1 变量及其操作

一、变量命名规则

1．变量名、函数名对字母大小写是敏感的

myfile与MyFile表示不同的变量

sin是MATLAB定义的正弦函数名，但SIN、Sin都不是

2．变量名的第一个字符必须是英文字母

3．变量名最多可包含63个字符(英文、数字和下划线)

4．变量名中不能包含空格、标点

my_exemple12是合法的变量名，12exemple、_exemple12、my exemple12、my.exemple12是非法变量名

二、MATLAB默认的预定义变量

每当MATLAB启动时，不经定义和赋值就会产生一些变量，称为MATLAB默认的预定义变量

这些变量都可以重新赋值。但最好不要对这些变量名重新赋值

eps

eps —— 机器的浮点运算误差限。PC机上eps的默认值为 2.2204×10-16 ，若某个量的绝对值小于eps，则可以认为这个量为0。

例2  用键盘在MATLAB指令窗中输入以下内容

1/0，1.e1000，log(0)

Inf —— 无穷大量 + ∞ 的MATLAB表示，也可以写成inf 。同样地，- ∞ 可以表示为 - Inf 。在 MATLAB 程序执行时，即使遇到了以 0 为除数的运算，也不会终止程序的运行，而只给出一个“除0”警告，并将结果赋成Inf ，这样的定义方式符合 IEEE 的标准。从数值运算编程角度看，这样的实现形式明显优于C语言。

例3  用键盘在MATLAB指令窗中输入以下内容

0/0，inf/inf，inf*0

注意

在MATLAB中，即使遇到以0为除数的运算，程序也不会终止运行。这时只给出一个警告，并将结果赋给inf或NaN

NaN —— 不定式（ not a number ) ，通常由 0 / 0 运算、Inf / Inf 及其他可能的运算得出。 NaN 是一个很奇特的量，如 NaN 与Inf 的乘积仍为 NaN 。

例4  用键盘在MATLAB指令窗中输入以下内容

n= realmax，n= 1.7977e+309

例5  用键盘在MATLAB指令窗中输入以下内容

m= realmin，m=2.2251e-309

i 和 j —— 若i或j量不被改写，则它们表示纯虚数量j 。但在 MATLAB 程序编写过程中经常事先改写这两个变量的值，比如在循环过程中常用这两个变量来表示循环变量。如果想恢复该变量，则可以用语句 i = sqrt(-1)设置，即对 -1 求平方根。

三、MATLAB运算符和表达式

运算符

所有运算都定义在复数域上

例1  用键盘在MATLAB指令窗中输入以下内容

u=sqrt(-4)

注意

对于方根，运算只给出处于第1象限的解

例2  用左除(\\)和右除(/)计算表达式的值

用键盘在MATLAB指令窗中输入以下内容

(5+cos(47*pi/180))/(1+sqrt(7)-2*i)、(1+sqrt(7)-2*i) \(5+cos(180 \\47*pi))

注意

对于标量，左除(\\)或右除(/)所得到的结果是一样的

对于矩阵，左除(\\)和右除(/)所得到的结果是不一样的

    AX=B → A-1AX= A-1B → X=A-1B=A\\B，

XA=B → XA A-1=B A-1 →X= BA-1= B/A

表达式

表达式由变量名、运算符、函数名组成

表达式按优先级和自左向右的顺序运算

优先级从高向低的排序是：指数运算、乘除运算、加减运算

括号可以改变运算的顺序

赋值符“=”和运算符的两侧允许有空格

复数和复数矩阵

MATLAB把复数看成一个整体来处理(不像其它程序，把实部和虚部分开处理)

虚数单位用预定义变量i或j表示

复数z=a+bi=reiθ直角坐标表示与极坐标表示之间的转换

real(z)：给出复数z的实部a=rcosθ

imag(z)：给出复数z的虚部b=rsinθ

abs(z)：给出复数z的模r=sqrt(a2+b2)

angle(z)：以弧度为单位给出复数z的相角θ=arctg(b/a)

例1 写出复数表达式，计算

用键盘在MATLAB指令窗中输入以下内容

z1= 3 + 4i  %书写格式1

z2 = 1 + 2 * i        %书写格式2

z3=2*exp(i*pi/6)  %书写格式2

z=z1*z2/z3   

注意

%是注释号，在它后面及回车之前的输入部分是非执行的注释

在格式1中，4i表示一个完整的虚数，4和i之间不能有空格

在格式2中，i被看作一个预定义变量参与运算

格式1的运算速度要比格式2快，宜于在循环中采用

例2  复数矩阵的生成及运算 

    用键盘在MATLAB指令窗中输入以下内容

A=[1,3;2,4]-[5,8;6,9]i

A=[1,3;2,4]-[5,8;6,9]*i

B=[1+5i,2+6i;3+8*i,4+9*i]  

C=A*B  

注意

格式1仅用于复数标量的表达，不能表达复数矩阵

例3 求上例复数矩阵C的实部、虚部、模和相角

   用键盘在MATLAB指令窗中输入以下内容

   C_real=real(C)

C_imag=imag(C)

C_magnitude=abs(C)

C_phase=angle(C)*180/pi            %以度为单位计算相角

四、MATLAB的数据结构

    数据型、符号型、字符串型、数组、单元数组、类

数据型：可以单独输入，也可以赋值给数值变量

符号型：可用于公式推导，得到数学问题解析解

字符串型：C语言中字符串是用双引号括起来的，而MATLAB字符串是用单引号括起来的

1．数据型：

    双精度浮点数，占8字节(位)，指数11位，尾数53位，符号1位。 

在一般情况下，数据的存储和计算都是以双精度进行的。

但是，可以用format命令改变数据在屏幕上的显示格式

输入：format（或format short） 回车

输入：pi 回车

例2：用format和format short格式显示1000π的数值

输入：format（或format short） 回车

输入：1000*pi 回车

例3：分别用format long、format short e、format long e、format short g、format long g、format rat和format bank格式显示π的数值

例4：用format ＋格式分别显示π、π－2π和π－π的数值

五、MATLAB常用函数

三角函数

输入：abs(-pi)

圆整函数和求余函数

1．若a为正整数，ceil, fix, floor, round函数之间的区别如图

2．对于模除求余函数mod(x,y)和求余数函数rem(x,y)，

y=rem(13,3)＝1

y=mod(13,3) = 1

y=rem(-13,-3) = -1

y=mod(-13,-3) = -1

y=rem(-13,3) = -1

y=mod(-13,3) = 2

y=rem(13,-3) = 1

y=mod(13,-3) = -2

rem(x,y)的符号与x相同，mod(x,y)的符号与y相同

当x、y的符号相同时，rem(x,y)＝mod(x,y)

例1：当x=5，y=3，求rem(x,y)和mod(x,y)

1．先输入：x-y*fix(x/y)，再输入rem(x,y)，比较结果

2．先输入：x-y*floor(x/y)，再输入mod(x,y)，比较结果

例2：当x=-5，y=3，求rem(x,y)和mod(x,y)

rem

Purpose Remainder after division

Syntax R = rem(X,Y)

如果Y ~= 0, R = rem(X,Y) 给出 X - n.*Y，这里n = fix(X./Y). 

如果Y不是一个整数，而且商X./Y 是在一个整数的四舍五入的误差内, 那么n就是那个整数。根据惯例, rem(X,0)是NaN。输入X and Y 必须是相同维数的实矩阵, 或实标量。

只要X和Y同号, rem(X,Y)给出和mod(X,Y)一样的结果。但是, 对于正的X和Y, rem(-X,Y) = mod(-X,Y)-Y

Rem函数给出一个在0和sign(X)*abs(Y)之间的结果。如果Y为0, rem给出NaN。

mod 

Purpose Modulus after division

Syntax M = mod(X,Y)

Definition mod(x,y) is x mod y.

如果Y ~= 0, M = mod(X,Y)给出X - n.*Y，这里n = floor(X./Y) .

如果Y不是一个整数，而且商X./Y 是在一个整数的四舍五入的误差内, 那么n就是那个整数。根据惯例, mod(X,0)是X.。输入X and Y 必须是相同维数的实矩阵, 或实标量。

只要X和Y同号,, 函数mod(X,Y) 给出和rem(X,Y) 一样的结果。但是, 对于正的X和Y，mod(-X,Y) = rem(-X,Y)+Y

mod函数对于同余关系是有用的: 

当且仅当mod(x,m) == mod(y,m)，X和y是同余的(congruent被一个模数所分成的差额) (mod m).

例3：当x1 = -pi，x2 = 0，x3 = pi时，求sign(x1)，sign(x2)，sign(x3)

2．2 数值数组及其运算

由MATLAB软件构成的“矩阵”在外观形状和数据结构上与数学意义上的矩阵是及其相似的

但MATLAB中的矩阵在操作上具有二重性

既可以按数学中的矩阵运算规则操作

又可以按照MATLAB软件自己定义的规则操作

具有这样特性的“矩阵”—数组

按MATLAB软件自己定义的规则进行的运算—数组运算

数组可分为1维、2维、3维，甚至更数

一、一维数组(矩阵)的创建

1．逐个元素输入法

例：输入

    x=[2  pi/2  sqrt(3)  3+5i]

2．冒号生成法

通过设定步长生成一维数组

x=a:inc:b

a是数组的第1个元素。inc是采样点之间的间隔，即步长。

如果(b-a)是步长inc的整数倍，则生成的数组的最后一个元素是b

如果(b-a)不是步长inc的整数倍，则生成的数组的最后一个元素小于b

a、inc、b之间必须用冒号“:”分隔

例1：取步长为0.2，在[0，π]区间生成一个1维数组

输入：x1=0:0.2:pi  %注意最后一个生成元素是不是π

输入：x1(5)      % 显示数组x1的第5个元素

inc可以省略。省略时，inc默认为1

例2：取步长为1，在[0，π]区间生成一个1维数组

    输入：x2=0:pi  

步长inc可以是正数，也可以是负数

当步长inc取正数时，要保证a当步长inc取负数时，要保证a>b

例3：取步长为1，在[0，π]区间逆向生成一个1维数组

输入：x3=pi:-1:0  %注意比较本例与例1中数组的第1个元素

输入：x3=0:-1:pi  %注意结果

例4：取步长为0.1，在[0，2π]区间画出正弦曲线

输入：x4=0:0.1:2*pi;  %在[0，2π]区间生成一个1维数组

输入：y=sin(x4);  %建立正弦函数

输入：plot (x4, y)  %画出y-x曲线

3．定数线性采样法

在给定的总点数下，均匀采样生成一维数组

x=linspace(a,b,n)

a和b分别是数组的第1个和最后一个元素，n是采样总点数（包括a和b）

步长＝(b-a)/(n-1)

相当于x=a: (b-a)/(n-1):b

例3：在[0，π]区间生成具有16个均匀采样点的一维数组

输入：x4=linspace(0,pi,16)  %注意最后一个元素是不是π

4．定数对数采样法

在给定的总点数下，通过常用对数采样生成一维数组

x=logspace(a,b,n)

数组的第1个元素是10a，最后一个元素是10b。n是采样总点数（包括a和b）。步长＝10(b-a)/(n-1)

例：输入：logspace(1,6,6)

二、二维数组(矩阵) 

    特点：具有行和列

例：A=[1:3;4:6;7:9]    % 3×3数组（矩阵）

二维数组（矩阵）元素的标识

“全下标”标识

“单下标”标识

例：产生一个5阶的魔方数组，并显示全下标第2行第4列的元素和单下标第14个元素

输入：D=magic(5)   % magic为MATLAB提供的魔方数组（矩阵）函数

输入：D(2,4), D(14)

三、数组运算和矩阵运算

加减运算

设两个行数和列数相同矩阵A=(aij)m n和B=(bij)m n。

它们相加和相减，分别得到新的矩阵A+B和A-B。

它们的行数和列数与原来的矩阵相同， 

新的矩阵的元素等于原来矩阵的元素的相加或相减

A+B=( aij n+bij)m n，A-B=( aij-bij)m n。

MATLAB软件构成的数组(“矩阵”)可以实现矩阵的加减运算

例 设，，求，

输入：A=[1,-2;0,1;-1,3], B=[0,2;-1,1;2,5]

输入：C=A+B, D=A-B

注意：

对于数学意义上的矩阵来说，只有两个矩阵的行数和列数相同时，才能进行加减运算

对于非一行一列的矩阵，不能与标量相加减

但是，对于MATLAB软件来说，允许数组(“矩阵”)与标量相加减，这时就是数组加减运算。

数组与标量相加或相减，相当于数组中的每个元素与标量相加或相减

设s为一个标量，A=(aij)m n为一个非一行一列的矩阵，那么

s+A生成与A同行同列的数组

而且新数组的每一元素等于原来元素与标量之和

s+A=( s+aij)m n

s-A或A-s也生成与A同行同列的数组

s-A=( s-aij)m n，A-s=(aij-s)m n

例 s=3，求E=s+A, F=s-A, G=A-s

乘法运算

在数学上，两个矩阵相乘，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数，

设A=(aij)m t，B=(bij)t n，它们相乘生成新矩阵C=AB

新矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，新矩阵的列数等于第二个矩阵的列行数，C=(cij)m n。

新矩阵的元素按下面规则构成：

在MATLAB中，可以实现这种运算，C=A*B。

例 设，，求 

输入：A1=[3,-2;1,0;-1,-3], B1=[1,2,0,4;5,-2,-1,0]

输入：C1=A1*B1

此外，在MATLAB中，还可以实现下面的乘积运算，这在数学上没有定义

设A=(aij)m n，B=(bij)m n，它们的行数和列数相同，

那么A.*B生成一个新的数组，其行数和列数与原来数组相同，新数组的元素等于原来数组相应元素的乘积，称为数组乘积运算。

A.*B=(aij bij)m n

例 设，，求， 

输入：A=[1,-2;0,1;-1,3], B=[0,2;-1,1;2,5]

输入：C=A.*B

在数学上，一个标量与矩阵的乘积对于矩阵的每个元素与这个标量的乘积

sA=(saij)m n

在MATLAB中，可以实现这种运算，C=s*A。

此外，s.*A也给出同样的结果

例 求C=s*A，D=s.*A

除法运算

对于矩阵，分左除(\\)和右除(/)两种，而且所得到的结果是不一样的

    AX=B → A-1AX= A-1B → X=A-1B=A\\B，

XA=B → XA A-1=B A-1 →X= BA-1= B/A

此外，在MATLAB中，还可以实现一种数组除法运算

设A=(aij)m n，B=(bij)m n，它们的行数和列数相同

B./A或A.\\B给出与原数组行和列相同的数组

而且它们的结果都是一样的，等于两个数组相应元素的分别相除

B. / A  ( A. \ B )  = ( bij / aij ) m n

例 设，，求，，

在MATLAB中，还可以实现一种标量除以数组的运算

s. / A  ( A. \ s )= (s / aij) m n

转置

设A=(aij)m n

在数学上，表示矩阵的共轭转置

在MATLAB中，矩阵的共轭转置仍然用A’表示

此外，在MATLAB中，还可以实现下面的数组转置

A.’=(aji)n m，为非共轭转置

它与矩阵的共轭转置的关系为：A.’=conj(A’)

例 设z = [1+2i 3+4i]，求z’及z.’

四、数组的关系和逻辑运算

关系(比较)运算

关系运算符

1．等式成立时，表示逻辑真，输出为1

等式不成立时，表示逻辑假，输出为0

2．当两个非标量数组进行比较时

两个数组的维数必须相同

比较是在两个数组的对应元素之间进行

比较的结果是与原来维数相同的数组

3．标量可以与非标量数组进行比较

比较是在标量和数组的每一个元素之间进行

比较的结果是与非标量数组维数相同的数组

例 设A=1:9,B=10-A，求r0=(A<4),r1=(A==B), r2=(A~=B)

逻辑运算

1．等式成立时，表示逻辑真，输出为1

等式不成立时，表示逻辑假，输出为0

2．当两个非标量数组进行逻辑运算时

两个数组的维数必须相同

逻辑运算是在两个数组的对应元素之间进行

逻辑运算的结果是与原来维数相同的数组

3．标量可以与非标量数组进行比较

逻辑运算是在标量和数组的每一个元素之间进行

逻辑运算的结果是与非标量数组维数相同的数组

例1 设A=[0,1,1,0,1], B=[1,1,0,0,1]，求A&B, A|B, ~A

注意

对数组或标量进行逻辑运算时，非零数当做逻辑1处理

例2 将上例的A分别改为A=[0,3.5,1,0,1]、A=[0,0.5,1,0,1]，求A&B, A|B, ~A

注意

逻辑运算的优先级从高到低排序是：~、&、|

例3 设A=[0,1,1,0,1], B=[1,1,0,0,1]，C=[0,1,0,1,0]，求~A|B, A|~B和A&B|C, A|B&C

注意

在关系运算和逻辑运算同时存在时，逻辑非优先，关系运算次之，其次是逻辑与，逻辑或排在最后

例3 设A=-3:3，求L1=~(A>0)，L2=~A>0，L3=~A ，L4=A>-2&A<1 

先决逻辑运算

先决逻辑运算用于逻辑表达式的运算

与数组逻辑运算不同，只有运算量是标量时，先决逻辑运算才有意义

先决与&&、先决或||

先决与：(expression 1)&&(expression 2)

当(expression 1)＝1时

再对(expression 2)进行逻辑运算

然后对(expression 1)与(expression 2)执行“与”运算

当(expression 1)＝0时

不再对(expression 2)进行逻辑运算

立即给出“逻辑假”的结果

例1 设a=6, 当b=0, b=2, b=1时，分别判断(b~=0)&&(a/b>5)

注意

乘除运算优先于关系运算

例2 设a=6, 当b=0时，判断(b==0)&&(a/b>5)

先决或：(expression 1)||(expression 2)

当(expression 1)＝0时

再对(expression 2)进行逻辑运算

然后对(expression 1)与(expression 2)执行“或”运算

当(expression 1)＝1时

不再对(expression 2)进行逻辑运算

立即给出“逻辑真”的结果

例3 设a=6, 当b=0, b=1, b=-1时，分别判断(b==0)||(a/b>0)

注意

先决与&&优先于先决或||，它们排在其它运算之后

例4 设a=6,b=-2, 判断 (b~=0)|| (a/b>0)&&(a/b>5)

关系与逻辑函数

注意，eps虽然显示为0，实际上是非0

例2 A = [1,2,3;4,5,6;7,8,0]，求B=any(A)、C=any(A>=5)

例3 A = [1,2,0;4,5,0;7,8,0]，求B=any(A)

例4 A = [1,2,3;4,5,6;7,8,0]，求B=all(A)、C=all(A>=5)

例4 A = [1,2,3;4,5,6;7,8,9]，求B=all(A)

五、数组(矩阵)操作技巧

1．测试函数find

设A是一数组，k = find(A)

给出数组A非0元素的单下标。

如果数组没有非0元素，则给出一个空矩阵

例1 设A = [11  0  33  0  55]，求find(A)、find(A == 0)、find(0 < A& A < 10*pi)

例2 设A = [11  0  33  0  55]’，求find(A)

例3 设A = [1,2,3;4,5,6;7,8,0]，求find(A>5)

设A是一数组，[n,m] = find(A) 

给出数组A非0元素的全下标

例4 设M = magic(3)，求[n,m] = find(M>7)

2．数组大小的判别

对于简单的数组，可以通过观察来判别它的维数和每一维的长度

对于复杂的数组，要通过size命令或length命令观察来判别它的维数和每一维的长度

size

d = size(A) 给出数组A每一维的长度

例1 设A=[0:0.2:pi;0:0.4:2*pi]，求size(A)

[m,n] = size(A) 以变量m和n分别给出A每一维的长度

例2 设A=[0:0.2:pi;0:0.4:2*pi]，求[m,n] = size(A)

length(A) 给出数组A中所有维的最大长度

即：length(A)= max(size(A))

例3 设A=[0:0.2:pi;0:0.4:2*pi]，求length(A)

3．数组操作函数

reshape

在数组总元素数不变得前提下，改变各维的大小

B = reshape(A,m,n) 

从数组A按列取出元素构成m行n列数组B

例3 设A=[1, 4, 7, 10; 2, 5, 8, 11; 3, 6, 9, 12]，求B = reshape(A,2,6)

B = reshape(A,m,n..,[],...)

这里，占位符[]表示一个未明确显示的维的长度，它和其余维的长度乘积等于数组A各维长度的乘积

例4 设A=[1, 4, 7, 10; 2, 5, 8, 11; 3, 6, 9, 12]，求B = reshape(A,2,[])，C = reshape(A,1,[])，D = reshape(A,4,[])，E = reshape(A,2,3,[])

repmat

按指定维的数目铺放模块数组

B = repmat(A,m,n)或B = repmat(A,[m n])

将数组A作为整体按m行n列堆放

例5将eye(2) 作为整体按3行4列堆放

输入：B = repmat(eye(2),3,4)

4．数组的寻访与赋值

一维数组的寻访与赋值

例1 设x=[0.9501, 0.2311, 0.6068, 0.4860, 0.13]，求x(3)，x([1 2 5])，x(1:3)，x(3:end)，x(3:-1:1)，x(find(x>0.5))，x([1 2 3 4 4 3 2 1])

    注意

    end是一维数组的长度，即最大下标

    寻访什么样的子数组，取决于数组x(index)中的下标index

    下标index可以是单个正整数或正整数数组，但index中的每个元素的取值必须在闭区间[1,end]内

例2，将上例的x数组的第3个元素重新赋值为0

x(3)=0

例3，将当前的x数组的第1和第4个元素重新赋值为1

x([1 4])=[1 1]

二维数组的寻访与赋值

A(r,c)，由A的“r指定行”和“c指定列”上的元素组成

例1 设A=[1, 4, 7, 10; 2, 5, 8, 11; 3, 6, 9, 12]，求A(2,3)

例2 设A=[1, 4, 7, 10; 2, 5, 8, 11; 3, 6, 9, 12]，求A([2,3],[1,3])，A([2,3],3)

注意，方括号的作用

设数组Sa的行宽和列长与A(r,c) 的行宽和列长相同

则可以以双下标方式将Sa赋值给A(r,c)，A(r,c)=Sa

例3 设A=[1, 4, 7, 10; 2, 5, 8, 11; 3, 6, 9, 12]，Sa=[20,30;40,50]，求A([2,3],[1,3])=Sa

A(r,:)，由A的“r指定行”和“全部列”上的元素组成

例2 设A=[1, 4, 7, 10; 2, 5, 8, 11; 3, 6, 9, 12]，求A(2,:)，A([2 3],:)

A(:,c)，由A的“全部行”和“c指定列”上的元素组成

例3 设A=[1, 4, 7, 10; 2, 5, 8, 11; 3, 6, 9, 12]，求A(:,3)，A(:,[2 4])

例3 设A=[1, 4, 7, 10; 2, 5, 8, 11; 3, 6, 9, 12]，求A(:,[2 4 1])=ones(3)

左右两边的数组的行宽和列长必须相同

A(q)，“单下标寻访”，由A的列按自左向右、首尾相接排序

例4 设A=[1, 4, 7, 10; 2, 5, 8, 11; 3, 6, 9, 12]，求A(7)

A(:)，“单下标全元素”寻访，由A的各列按自左向右、首尾相接生成“一维长列”

例5 设A=[1, 4, 7, 10; 2, 5, 8, 11; 3, 6, 9, 12]，求A(:)

设s是数组，而且它的元素是从数组A的单下标中选取

A(s)，“单下标寻访”，生成由“s”指定的数组

并且数组A(s)的维数与长度与数组s相同

例6 设s=[2 3 5]，B=[16,2,3,13;5,11,10,8;9,7,6,12]，求B(s)

例7 设t=[7 5;9 2]，B=[16,2,3,13;5,11,10,8;9,7,6,12]，求B(t)

设L是逻辑数组(其元素为1或0)，且与数组A的维数和长度相同

A(L)给出逻辑数组L中由“1”元素选出A的对应元素，并按单下标次序排成列

例8 A=zeros(2,5); A(:)=-4:5，L=abs(A)>3，求X=A(L)

2．3 符号对象

2. 3.1 建立符号对象

MATLAB除了具有数值计算功能外，还具有符号计算功能。

MATLAB提供了一种符号数据类型，这种数据类型是用sym或syms函数定义的，相应的定义对象称为符号对象。

MATLAB提供的两个建立符号对象的函数sym和syms的用法不同。

1．建立符号变量和符号常量

 (1) sym函数

sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为：

符号量名=sym('符号字符串')

该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。

a=sym('a')将建立符号变量，它与非符号变量是不同的。

非符号变量在参与运算前是需要赋值的。变量的运算实际上是针对所赋的值运算，运算的结果是与变量类型对应的值。而对于符号变量，在运算前不需要赋值，其运算结果是一个表达式。

例1  a=sym('a'); b= sym('b'); c= sym('c');   %定义符号变量a、b、c

x=5; y=-6; z=11;                    %定义数值变量x、y、z

w=a*a+b*b+c*c                    %符号运算

w=x*x+y*y+z*z                    %数值运算

whos                             %查看内存变量

这里，w开始是符号变量，重新赋值后，成为数值变量。

应用sym函数还可以定义符号常量，使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同。

下面的例子用于比较符号常量与数值常量在代数运算时的差别。

例2 

pi1= sym('pi'); k1= sym('8'); k2= sym('3');     %定义符号常量

pi2= pi; r1= 8; r2= 3;                      %定义数值常量

sin(pi1/3)                               %符号计算

sin(pi2/3)                               %数值计算

sqrt(k1+sqrt(k2))                         %符号计算

sqrt(r1+sqrt(r2))                          %数值计算

用符号常量计算所得到的结果是精确的数学表达式

而数值计算的结果往往是近似的有限小数

(2) syms函数

函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。MATLAB提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量。syms函数的一般调用格式为：

syms  符号变量名1 符号变量名2 … 符号变量名n

用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符(‘)，变量之间用空格而不要用逗号分隔。

例 用syms函数定义符号变量a、b、c、d

syms a b c d

whos                             %查看内存变量

例3  a=sym('a'); b= sym('b'); c= sym('c');   %定义符号变量a、b、c

x=5; y=-6; z=11;                    %定义数值变量x、y、z

w=a*a+b*b+c*c                    %符号运算

w=x*x+y*y+z*z                    %数值运算

whos                             %查看内存变量

这里，w开始是符号变量，重新赋值后，成为数值变量。

应用sym函数还可以定义符号常量，使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同。

下面的例子用于比较符号常量与数值常量在代数运算时的差别。

2．建立符号表达式

含有符号对象的表达式称为符号表达式。

建立符号表达式有以下3种方法：

(1)利用单引号来生成符号表达式。

例1  y= '1/sqrt(2*x)'                %生成一般的符号表达式

f= 'cos(x^2)-sin(2*x)=0'         %生成符号方程

(2)用sym函数建立符号表达式。

例2 U= sym('3*x^2-5*y+2*x*y+6')     %建立符号表达式“3*x^2-5*y+2*x*y+6”

M=sym('[a, b; c,d]')              ％生成符号矩阵

(3) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。

例3 syms x y

V=3*x^2-5*y+2*x*y+6

2. 3.2 符号表达式运算

1．符号表达式的四则运算

符号表达式的加、减、乘、除运算可分别由函数symadd、symsub、symmul和symdiv来实现，幂运算可以由sympow来实现。

运算结果仍然是符号表达式

例1 f='2*x^2+3*x-5'          %定义符号表达式

g='x^2-x+7'

symadd(f,g)             %求f+g

symsub(f,g)             %求f-g

symmul(f,g)             %求F*g

symdiv(f,g)             %求f/g

sympow(f, '3*x')            %求f^(3x)

此外，也可以用+、-、*、/、^运算实现符号运算

例2 syms x y z;

f=2*x+x^2*x-5*x+x^3+exp(2)

f=2*x/(5*x)

f=(x*x-y*y)/(x-y)

2．符号表达式的提取分子和分母运算

如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式，可利用numden函数来提取符号表达式中的分子或分母。其一般调用格式为：

[n,d]=numden(s)

该函数提取符号表达式s的分子和分母，分别将它们存放在n与d中。

例1  a=sym(0.333)       %数字加与不加单引号结果一样，都是符号常量

[n, d]=numden(a)

numden函数是在符号表达式有理化后提取分子和分母

例2  g=sym('(x^2+3)/(2*x-1)+3*x/(x-1)')

     [n, d]=numden(g)

如果符号表达式s是一个符号数组，[n,d]=numden(s)函数给出两个新数组n和d。其中n是分子数组，d是分母数组。

例3  h= sym('[3/2, (2*x+1)/3; a/x+a/y, 3*x+4]')

 [n, d]=numden(h)

3．符号表达式的因式分解与展开

MATLAB提供了符号表达式的因式分解与展开的函数，函数的调用格式为：

factor(s)：对符号表达式s分解因式。

expand(s)：对符号表达式s进行展开。

collect(s)：对符号表达式s合并同类项。

collect(s,v)：对符号表达式s按变量v合并同类项。

例  syms a b x y;

A=a^3-b^3;

factor(A)             %对A分解因式

s=(-7*x^2-8*y^2)*(-x^2+3*y^2);

expand(s)           %对s展开

collect(s,x)          %对符号表达式s按变量x合并同类项(此例无同类项)

factor(sym('420'))      %对符号整数分解因式

注意，factor(s)中的s必须为符号，不能是数值

4．符号表达式的化简

MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有：

simplify(s)、simple(s)

simplify(s)：应用函数规则对s进行化简。

例1．化简  (应该为)

syms x y

s=log(2*x/y)

simplify(s)

例2．化简   (应该为)

syms a

s=(1-a^2)/(1-a)

simplify(s)

simple(s)：调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。这种函数可以试用几种不同的化简工具，然后在结果表达式中选择含有最少字符的那种形式。

例1．化简   (应该为)

syms x y

s=(x^2+y^2) ^2+(x^2-y^2) ^2

simple(s)

5．符号表达式与数值表达式之间的转换

利用函数sym可以将数值表达式变换成它的符号表达式。

例1．

sym(1.5)           %注意与建立单个符号量a=sym('a')的区别

sym(3.14)

利用函数numeric或eval可以将符号表达式变换成数值表达式。

例1．

phi='(1+sqrt(5))/2'

numeric(phi)

例2．

eval('234/5')

6．符号表达式中变量的确定

MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常量。函数findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为：

findsym(s,n)

函数返回符号表达式s中的n个符号变量，若没有指定n，则返回s中的全部符号变量。

例：

syms x a y z b;               %定义5个符号变量

s1=3*x+y;s2=a*y+b;          %定义2个符号表达式

findsym(s1)                 %返回s1中的全部符号变量

findsym(s2,2)                %返回s2中的2个符号变量

findsym(5*x+2)

c=sym('3')                    %定义符号常量c

findsym(a*x+b*y+c)            %符号常量c应该不在结果中

在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有定义自变量，MATLAB将按离字母x最近的原则确定默认变量。可以用findsym(s,1)查找系统的默认变量。

例

syms x a y w z b;

findsym(a*y+b*w,1)

findsym(a*z+b*w,1)

findsym(a*5+b,1)

2．4  MATLAB基本绘图

2．4．1 二维图形

图形可视化是MATLAB的一大特色

MATLAB的基本绘图函数是plot

plot(x,y)形式

已知自变量x取一组数值x1、x2、…xn，相应的函数y(x)也取一组数值y(x1)、y(x2)、…y(xn)，

那么，plot(x,y)就用二维图形表示它们之间的函数关系

例1：取步长为0.1，在[0，2π]区间画出正弦曲线

x=0:0.1:2*pi;  %在[0，2π]区间生成一个1维数组

y=sin(x);  %建立正弦函数

plot (x, y)  %画出y-x曲线

注意

1．绘图是在一定的取值范围内进行

2．当自变量和函数都是向量时，它们的维数必须相同，而且必须同为行向量或同为列向量

3．plot生成的图形可以保存为.fig文件

例2：取步长为0.5，在[0，2π]区间画出正弦曲线

 x1=0:0.5:2*pi;  %在[0，2π]区间生成一个1维数组

y1=sin(x1);  %建立正弦函数

plot (x1, y1)  %画出y1-x1曲线

注意

对区间分割的越细，计算的点就越多，就能真实逼近函数的连续变化，但是计算时间就越长

如果自变量的采样点不够多，就可能没有真实反映原函数

例3：关闭图形窗口，分别将例1和例2中最后的语句改为

figure, plot (x, y)  %画出y-x曲线

figure, plot (x1, y1)  %画出y1-x1曲线

注意

figure可以.生成的图形窗口

例4：绘制y=sin(tgx)- tg (sinx)在x [-π,π]区间内的曲线

先以0.05为步长构造x向量

x=[-pi:0.05:pi];

y=sin(tan(x))- tan(sin(x));

figure ,plot(x,y)

在x [-1.8,-1.2]和x [1.2,1.8]两个子区间内的曲线比较粗糙

在这两个子区间增加取样点

x=[-pi:0.05:-1.81,-1.8:0.001:-1.2,-1.195:0.05:1.2, 1.201:0.001:1.8,1.81:0.05:pi];

y=sin(tan(x))- tan(sin(x));

figure ,plot(x,y)

例5：绘制饱和非线性特性曲线，取x [-2,2]区间，步长为0.02。

    符号函数 

x=[-2:0.02:2];

y=1.1* sign(x).*(abs(x)>1.1)+x.*(abs(x)<=1.1);

plot(x,y)

注意

在分段描述的函数中，不要将子区间重复表示

如上例，不能写成y=1.1* sign(x).*(abs(x)>=1.1)+x.*(abs(x)<=1.1);

这样，相加的两项中都在x=1.1取值，这在MATLAB中虽然是允许的，但它不符合题意

plot(x,y,’s’)形式

这里s表示曲线的色彩、线型和数据点型

在MATLAB中，对线型和色彩的设置值如下

曲线一律用“实线”线型

只有一条曲线时，色彩是蓝色；多条曲线存在时，色彩表中的次序给出

例6：将上例的曲线画成红色虚线

plot(x,y,’r:’)

数据点型

在MATLAB中，也可以用点来表示函数的图形

MATLAB的数据点型设置如下

x=0:0.1:2*pi;  %在[0，2π]区间生成一个1维数组

y=sin(x);  %建立正弦函数

plot (x, y,’-.rd’)  %画出y-x曲线

注意，s中色彩、线型和数据点型符号对次序不敏感

实际上，这些设置可以在.fig文件中，通过“edit”菜单→“Current Object Properties…”(或点击“edit plot” 工具，点击曲线)→“line style”、“line color”、“style”修改

在plot(x,y)函数形式中，x和y可以是向量，也可以是矩阵。

当x和y是矩阵时，它们必须同维同阶。

这时将得到多条曲线

其中一条曲线表示y的第1列向量是x第1列向量的函数关系、另一条曲线表示y的第2列向量是x第2列向量的函数关系…等等

曲线的条数等于矩阵的列数

例6：在同一坐标中同时绘制正弦和余弦两条曲线

t= linspace(0,2*pi,100);  

x=linspace(a,b,n)，a和b分别是数组的第1个和最后一个元素，n是采样总点数（包括a和b），步长＝(b-a)/(n-1))

x=[t; t]';         

y=[sin(t); cos(t)]';  

plot(x,y)

问题：如果不转置，会出现什么问题？

plot(x1,y1,x2,y2,…xn,yn)形式

当x1,y1,x2,y2,…xn,yn为向量时，x1和y1、x2和y2、…xn和yn分别组成向量对。每一组向量的长度可以不同。每一组向量可以绘制一条曲线，这样可以绘制多条曲线。

例9 用不同线型和颜色在同一坐标内绘制曲线y=2e-0.5xsin(2πx)及其包络线

x=(0:pi/100:2*pi)’; 

y1=2*exp(-0.5*x)*[1,-1];

y2=2*exp(-0.5*x).*sin(2*pi*x);

x1=(0:12)/2; y3=2*exp(-0.5*x1).*sin(2*pi*x1);  %其值为0

plot(x,y1,’k:’,x,y2,’b--’,x1,y3,’rp’);

双纵坐标函数plotyy

同时绘制具有不同纵坐标刻度的两个图形

plotyy(x1,y1,x2,y2)

x1,y1对应一条曲线，x2,y2对应另一条曲线，它们的横坐标刻度相同。纵坐标分左右两个，左边用于x1,y1，右边用于x2,y2

例10 用不同刻度在同一坐标内绘制曲线y1=2e-0.5xsin(2πx)及其包络线

x1=0:pi/100:2*pi;

x2=0:pi/100:3*pi;

y1= exp(-0.5*x1).*sin(2*pi*x1);

y2= 1.5*exp(-0.1*x2).*sin(x2);

plotyy(x1,y1,x2,y2);

注意，这时不能像plot函数那样对曲线属性进行设置，

如果要设置曲线的色彩、线型和数据点型符号，应使用句柄图形控制来完成

图形标识

坐标轴控制函数axis

基本形式：axis([xmin,xmax,ymin,ymax])

例11 用图形表示连续调制波形 及其包络线。

t=(0:pi/100:pi)';                

y1=sin(t)*[1,-1];                

y2=sin(t).*sin(9*t);               

t3=pi*(0:9)/9;                    

y3=sin(t3).*sin(9*t3);

figure, plot(t,y1,t,y2,t3,y3,'mo')    

然后再把最后的语句改成

figure, plot(t,y1,t,y2,t3,y3,'mo'); axis([0,pi,-0.8,0.8])             

观察区别

图形名称：title

基本形式：title(S)

S可以取字符串。

字符串是与数值不同的一种数据类型，它用单引号对括起来

例12 将上个语句改为

figure, plot(t,y1,t,y2,t3,y3,'mo');title('连续调制波形')

坐标轴名称：xlabel、ylabel

基本形式：xlabel(S)、ylabel(S)

例12 将上个语句改为

figure, plot(t,y1,t,y2,t3,y3,'mo'); axis([0,pi,-1,1]);title('连续调制波形'); xlabel('x坐标'), ylabel('y坐标')

曲线图例：legend

用于区分各条曲线

基本形式：legend(S1,S2…)

S1,S2…分别对应按先后次序生成的曲线

例12 将上个语句改为

figure, plot(t,y1,t,y2,t3,y3,'mo'); axis([0,pi,-1,1]);title('连续调制波形'); xlabel('x坐标'), ylabel('y坐标');legend('包络线1','包络线2','调制波','零点')

坐标注释：text

基本形式：text(xt,yt,S)

表示在(xt,yt)坐标处书写字符注释

例12 将上个语句改为

figure, plot(t,y1,t,y2,t3,y3,'mo'); axis([0,pi,-1,1]);title('连续调制波形'); xlabel('x坐标'), ylabel('y坐标');legend('包络线1','包络线2','调制波','零点');text(17*pi/100, sin(17*pi/100), 'y=sin(t)'),text(67*pi/100, sin(67*pi/100).*sin(9*67*pi/100), 'y=sin(t)*sin(2t)')

分格线：grid

grid on，画出分格线

grid off，不画出分格线

grid：在以上两个命令之间切换

例1：取步长为0.1，在[0，2π]区间画出正弦曲线，画出分格线

x=0:0.1:2*pi;  %在[0，2π]区间生成一个1维数组

y=sin(x);  %建立正弦函数

plot (x, y)  %画出y-x曲线

grid on

继续输入下面命令，观察图形窗口的变化

grid off

grid

grid

图形保持：hold

例1 在上例中，继续画出余弦曲线，观察图形变化

y1=cos(x);  %建立余弦函数

plot (x, y1)  %画出y1-x曲线

为了保持以存在的图形，应采用hold函数

hold on，启动图形保持功能

hold off，关闭图形保持功能

hold，在以上两个命令之间切换

例2 在上例中，启动图形保持功能，观察图形变化

plot (x, y)  %画出y-x曲线

hold on

plot (x, y1)  %画出y1-x曲线

继续输入下面命令，观察图形窗口的变化

hold off

plot (x, y1)  %画出y1-x曲线

hold

plot (x, y)  %画出y-x曲线

子图：subplopt

在绘图过程中，经常需要将几个图形画在同一个窗口中。

这些单个的图形称为子图。

调用格式：subplot(m,n,p)

它把一个图形窗口分割成m n个子绘图区，p表示子绘图区的编号，编号次序按行从左至右(这与数组和矩阵的编号不同)

例1 在4个子图中绘制不同的三角函数图

x=0:0.1*pi:2*pi;

subplot(2,2,1); plot(x,sin(x),'-*'); title('sin(x)');

subplot(2,2,2); plot(x,cos(x),'-o'); title('cos(x)'); axis([0,2*pi,-1.5,1.5]);

subplot(2,2,3); plot(x,sin(x).*cos(x),'-x'); title('sin(x).*cos(x)'); xlabel('x轴');

subplot(2,2,4); plot(x,sin(x)+ cos(x),'-h'); title('sin(x)+ cos(x)'); grid on;

注意，axis、hold、title、xlabel、ylabel、grid等函数是针对子图操作的

极坐标图：polar

基本形式：polar(theta,rho)或polar(theta,rho,s)

theta 为极角，rho为矢径，s为图形设置选项

例1 绘制ρ=sin(2θ)cos(2θ)的极坐标图

theta=0:0.01:2*pi; rho= sin(2*theta).*cos(2*theta);

polar(theta,rho,'k')

对数坐标图：loglog

x、y轴均采用为常用对数刻度

半对数坐标图：semilogx

x轴采用常用对数刻度，y轴保持线性刻度

半对数坐标图：semilogy

y轴采用常用对数刻度，x轴保持线性刻度

例1 绘制y=10x2的对数坐标图，并与直角线性坐标图进行比较

x=0:0.1:10; y=10*x.*x;

subplot(2,2,1),plot(x,y);title('plot(x,y)');grid on;

subplot(2,2,2); semilogx (x,y); title('semilogx (x,y)');grid on;

subplot(2,2,3); semilogy(x,y); title('semilogy(x,y)');grid on;

subplot(2,2,4); loglog (x,y); title(' loglog (x,y)');grid on;

饼状图：pie

用来表示各元素占总和的百分比

pie(X)

pie(X,explode)

X为一向量，一个饼图的某一部分对应向量X的某一个元素。explode有“特别引人注目”的意思，它是与X同长度的向量，它的元素取1或0。当某个元素取1时，与X对应的区域就突出

例1 某次考试，优秀、良好、中等、及格、不及格的人数分别为7、17、23、19、5，用饼图进行统计分析

X=[7,17,23,19,5];

figure,pie(X);

title('饼图'); legend('优秀', '良好', '中等', '及格', '不及格');

explode=[1,0,1,0,0];

figure,pie(X,explode);

隐函数绘制

隐函数就是满足方程f(x,y)=0的x和y之间的关系式。

当x和y之间的关系不能用显式表达时，就无法定义一个x向量，也就无法求出相应的y向量。从而不能用plot(x,y)绘制曲线。

ezplot可以直接绘制隐函数曲线

调用格式：ezplot(‘隐函数表达式')

例1 绘制隐函数f(x,y)=x2sin(x+y2)+y2ex+y+5cos(x2+y)=0的曲线

ezplot('x^2.*sin(x+y^2)+y^2.*exp(x+y)+5*cos(x^2+y)')

这是一个多值函数。

曲线的x取值范围(-6,6)由系统自动选取。

可以通过下面方式改变定义域

ezplot('x^2.*sin(x+y^2)+y^2.*exp(x+y)+5*cos(x^2+y)',[-10,10])

2．4．2 三维图形

三维曲线

三维曲线的基本绘图函数是plot3

调用格式：

plot3(x,y,z)

x,y,z为3个维数相同的向量。plot3(x,y,z)画出这些向量所表示的曲线。

plot3(X,Y,Z)

X,Y,Z为3个阶数相同的矩阵。plot3(X,Y,Z)这3个矩阵的列向量所表示的曲线

plot3(X,Y,Z,s)

s为线型、颜色、数据点型等字符串

plot3(x1,y1,z1,s1, x2,y2,z2,s2….)

组合绘图格式

plot3函数实际上是plot函数的3维扩展。与plot相比，只是增加了一个维数，其它都相同。

例1 绘制y=sin(x)，z=cos(x)的曲线

x=0:pi/50:10*pi; y=sin(x); z=cos(x);

plot3(x,y,z);

例2 绘制x=8cost，y=4sint，z=-4sint，()的曲线

t=0:pi/50:2*pi;

x=8*cos(t); y=4*sqrt(2)*sin(t); z=-4*sqrt(2)*sin(t);

plot3(x,y,z, 'p');

title('Line in 3-D Space'); text(0,0,0, 'oringin');

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');grid on;

三维曲面

函数z=f(x,y)表示3维曲面

在matlab中，z=f(x,y)不可能连续地取值

因此，所谓的曲面是由密集间隔的离散点构成。

或者说，曲面是由密集的间隔曲线构成，而曲线又是由一长串离散点构成

3维曲面函数

mesh(X,Y,Z,C)  

C是指定各点用色的矩阵。mesh用于绘制3维网格图

surf(X,Y,Z,C)

用于绘制3维曲面图

例2 用3维曲面表现函数z=sinycosx

1．用mesh函数画

x=0:0.1:2*pi;

[X,Y]=meshgrid(x);

Z=sin(Y).*cos(X);

figure,mesh(X,Y,Z);

xlabel('x-axis'), ylabel('y-axis'), zlabel('z-axis');

title('mesh');

2．用surf函数画

x=0:0.1:2*pi;

[X,Y]=meshgrid(x);

Z=sin(Y).*cos(X);

figure,surf(X,Y,Z);

xlabel('x-axis'), ylabel('y-axis'), zlabel('z-axis');

title('surf');

3．用plot3函数画

x=0:0.1:2*pi;

[X,Y]=meshgrid(x);

Z=sin(Y).*cos(X);

figure,plot3(X,Y,Z);

xlabel('x-axis'), ylabel('y-axis'), zlabel('z-axis');

title('plot3');

注意

在mesh(X,Y,Z,S)和surf(X,Y,Z,S)的函数中，一般情况下，X、Y、Z是维数相同的矩阵。C是指定各点用色的矩阵。当C缺省时，C＝Z。这时，颜色的设定正比于图形的高度，这样可以得到层次分明的3维图形。

在网格图(mesh)中，线条有颜色，线条间的补面无颜色

在曲面图(surf)中，线条和线条间的补面都有颜色

用plot3绘制的3维曲面实际上是由3维曲线组合而成。

与mesh函数相似的函数还有meshc和meshz

meshc：带等高线的3维网络曲面函数。

除具有mesh函数的功能外，还在xy平面上绘制曲面在z轴方向的等高线

meshz：带底座的3维网络曲面函数。

除具有mesh函数的功能外，还在xy平面上绘制曲面的底座

与surf函数相似的函数还有surfc和surfl

surfc：带等高线的曲面函数

surfl：具有光照效果的曲面函数

例3 在xy平面内选择区域[-8,8]  [-8,8]，绘制函数的上述4种3维曲面图

x=-8:0.5:8;

[X,Y]=meshgrid(x);

Z=sin(sqrt(X.^2+Y.^2))./ sqrt(X.^2+Y.^2+eps);  %为什么加eps？eps是机器零阈值(机器的浮点运算误差限)

figure;meshc(X,Y,Z);title(' meshc(X,Y,Z)')

figure;meshz(X,Y,Z);title(' meshz(X,Y,Z)')

figure;surfc(X,Y,Z);title('surfc(X,Y,Z)')

figure;surfl(X,Y,Z);title('surfl(X,Y,Z)')