考研专项练习 高等数学--习题集

一. 填空题

1. 已知定义域为___________.

2．设, 则a = ________.

3. =________.

4. 已知函数    , 则f[f(x)] _______.

5. =_______.

6. 设当的3阶无穷小, 则

7. =______.

8. 已知( 0  ), 则A = ______, k = _______.

二. 选择题

1. 设f(x)和(x)在(－, +)内有定义, f(x)为连续函数, 且f(x)  0, (x)有间断点, 则

(a) [f(x)]必有间断点 (b) [ (x)]2必有间断点 (c) f [(x)]必有间断点 (d)必有间断点

2. 设函数, 则f(x)是

(a) 偶函数   (b) 无界函数   (c) 周期函数   (d) 单调函数

3. 函数在下列哪个区间内有界

(a) (－1, 0)     (b) (0, 1)      (c) (1, 2)     (d) (2, 3)

4. 当的极限

(a) 等于2     (b) 等于0      (c) 为      (d) 不存在, 但不为

5. 极限的值是

(a) 0     (b) 1    (c) 2    (d) 不存在

6. 设, 则a的值为

(a) 1    (b) 2    (c)    (d) 均不对

7. 设, 则, 的数值为

(a)  = 1,  =    (b)  = 5,  =    (c)  = 5,  =    (d) 均不对

8. 设, 则当x0时

(a) f(x)是x的等价无穷小        (b) f(x)是x的同阶但非等价无穷小

(c) f(x)比x较低价无穷小        (d) f(x)比x较高价无穷小

9. 设, 则a的值为

(a) －1    (b) 1    (c) 2    (d) 3

10. 设, 则必有

(a) b = 4d    (b) b =－4d    (c) a = 4c    (d) a =－4c

三. 计算题

1. 求下列极限

(1) 

 (2) 

 (3) 

2. 求下列极限

(1) 

 (2) 

3. 求下列极限

(1) 

 (2) 

 (3), 其中a > 0, b > 0

4. 设

试讨论在处的连续性与可导性.

5. 求下列函数的间断点并判别类型

(1) 

 (2)   

6. 讨论函数   在x = 0处的连续性.

7. 设f(x)在[a, b]上连续, 且a < x1 < x2 < … < xn < b, ci (I = 1, 2, 3, …, n)为任意正数, 则在(a, b)内至少存在一个, 使  .

8. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个, 使f() = .

9. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且0  f(x)  1, 试证在[0, 1]内至少存在一个, 使f() = .

10. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个, 使

f() = g().

11. 证明方程x5－3x－2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根.

12. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且, 求及.

第二章  导数与微分

一. 填空题

1 . 设, 则k = ________.

2. 设函数y = y(x)由方程确定, 则______.

3. 已知f(－x) =－f(x), 且, 则______.

4. 设f(x)可导, 则_______.

5., 则= _______.

6. 已知, 则_______.

7. 设f为可导函数, , 则_______.

8. 设y = f(x)由方程所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______.

二. 选择题

1. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且, 则当n为大于2的正整数时, f(x)的n阶导数是

(a)   (b)   (c)   (d) 

2. 设函数对任意x均满足f(1 + x) = af(x), 且b, 其中a, b为非零常数, 则

(a) f(x)在x = 1处不可导      (b) f(x)在x = 1处可导, 且a

(c) f(x)在x = 1处可导, 且b  (d) f(x)在x = 1处可导, 且ab

3. 设, 则使存在的最高阶导数n为

(a) 0    (b) 1    (c) 2    (d) 3

4. 设函数y = f(x)在点x0处可导, 当自变量x由x0增加到x0 + x时, 记y为f(x)的增量, dy为f(x)的微分,等于

(a) －1    (b) 0    (c) 1    (d) 

5. 设   在x = 0处可导, 则

(a) a = 1, b = 0   (b) a = 0, b为任意常数   (c) a = 0, b = 0   (d) a = 1, b为任意常数

三. 计算题

1. 

2. 已知f(u)可导, 

3. 已知, 求.

4. 设y为x的函数是由方程确定的, 求.

四. 已知当x  0时, f(x)有定义且二阶可导, 问a, b, c为何值时

        二阶可导.

五. 已知.

六. 设, 求.

第三章  一元函数积分学(不定积分)

一. 求下列不定积分:

1. 

2. 

3. 

4. 

5． 

二. 求下列不定积分:

1. 

2. 

3. 

4. (a > 0)

5. 

6. 

7. 

三. 求下列不定积分:

1. 

2. 

四. 求下列不定积分:

1. 

2. 

五. 求下列不定积分:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

六. 求下列不定积分:

1. 

2. 

3. 

七. 设  , 求.

八. 设, (a, b为不同时为零的常数), 求f(x).

九. 求下列不定积分:

1. 

2. 

3. 

4. 

十. 求下列不定积分:

1. 

2. 

3. 

4. 

十一. 求下列不定积分:

1. 

2. 

3. 

4.  (a > 0)

十二. 求下列不定积分:

1. 

2. 

3. 

十三. 求下列不定积分:

1. 

2. 

3. 

第三章  一元函数积分学(定积分)

一．若f(x)在[a，b]上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数(x), 均有, 则f(x)  0.

二. 设为任意实数, 证明: =.

三．已知f(x)在[0，1]上连续, 对任意x, y都有|f(x)－f(y)| < M|x－y|, 证明

四. 设, n为大于1的正整数, 证明:.

五. 设f(x)在[0, 1]连续, 且单调减少, f(x) > 0, 证明: 对于满足0 < < < 1的任何 , , 有

六. 设f(x)在[a, b]上二阶可导, 且< 0, 证明: 

七. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且单调不增, 证明: 任给  (0, 1), 有

八. 设f(x)在[a, b]上连续,在[a, b]内存在而且可积, f(a) = f(b) = 0, 试证:

               , (a < x < b)

九. 设f(x)在[0, 1]上具有二阶连续导数, 且, 试证:

十. 设f(x)在[0, 1]上有一阶连续导数, 且f(1)－f(0) = 1, 试证:

十一. 设函数f(x)在[0, 2]上连续, 且= 0, = a > 0. 证明:    [0, 2], 使|f()|  a.

第三章  一元函数积分学(广义积分)

一. 计算下列广义积分:

(1)   

(2)   

(3) 

(4)     

 (5)        

 (6) 

第四章  微分中值定理

一. 设函数f(x)在闭区间[0, 1]上可微, 对于[0, 1]上每一个x, 函数f(x)的值都在开区间(0, 1)内, 且, 证明: 在(0, 1)内有且仅有一个x, 使f(x) = x.

二. 设函数f(x)在[0, 1]上连续, (0, 1)内可导, 且. 证明: 在(0, 1)内存在一个, 使.

三．设函数f(x)在[1, 2]上有二阶导数, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x－1)2f(x), 证明: 在(1, 2)内至少存在一个, 使  .

四. 设f(x)在[0, x](x > 0)上连续, 在(0, x)内可导, 且f(0) = 0, 试证: 在(0, x)内存在一个, 使   .

五. 设f(x)在[a, b]上可导, 且ab > 0, 试证: 存在一个  (a, b), 使

六. 设函数f(x), g(x), h(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 证明:存在一个  (a, b), 使

七. 设f(x)在[x1, x2]上二阶可导, 且0 < x1 < x2, 证明:在(x1, x2)内至少存在一个, 使

八. 若x1x2 > 0, 证明: 存在一个  (x1, x2)或(x2, x1), 使

九. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且f(a) = f(b) = 0, g(x)  0, 试证: 至少存在一个  (a, b), 使      

十. 设f(x) 在[a, b]上连续,在(a, b)内可导, 证明在(a, b) 存在.

第五章  一元微积分的应用

一. 选择题

1. 设f(x)在(－, +)内可导, 且对任意x1, x2, x1 > x2时, 都有f(x1) > f(x2), 则

(a) 对任意x,     (b) 对任意x, 

(c) 函数f(－x)单调增加      (d) 函数－f(－x)单调增加

2. 曲线的渐近线有

(a) 1条      (b) 2条       (c) 3条          (d) 4条

3. 设f(x)在[－, +]上连续, 当a为何值时,的值为极小值.

(a)          (b) 

(c)        (d) 

4. 函数y = f(x)具有下列特征:

f(0) = 1;, 当x  0时,;    , 则其图形

(a)                  (b)                    (c)                (d)

    1                 1                      1                  1

5. 设三次函数, 若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数, 则这个函数的图形是

(a) 关于y轴对称   (b) 关于原点对称   (c) 关于直线y = x轴对称  (d) 以上均错

6. 曲线与x轴所围图形面积可表示为

(a)     (b) 

(c)    (d) 

二. 填空题

1. 函数(x > 0)的单调减少区间______.

2. 曲线与其在处的切线所围成的部分被y轴分成两部分, 这两部分面积之比是________.

3. 二椭圆,  ( a > b > 0)之间的图形的面积______.

4. x2 + y2 = a2绕x =－b(b > a > 0)旋转所成旋转体体积_______.

(5) 求心脏线 = 4(1+cos)和直线 = 0,  =围成图形绕极轴旋转所成旋转体体积_____.

三. 证明题

1. 设f(x)为连续正值函数, 证明当x  0时函数单调增加.

2. 设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内, 证明在(a, b)内单增.

3. 设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导且, 求证: 

                在(a, b)内也.

4. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(x) > 0, 又. 证明:

   i. ii. F(x) = 0在(a, b)内有唯一实根.

5. 证明方程在(0, 1)内有唯一实根.

6. 设a1, a2, …, an为n个实数, 并满足. 证明: 方程

           在(0,)内至少有一实根.

四. 计算题

1. 在直线x－y + 1=0与抛物线的交点上引抛物线的法线, 试求由两法线及连接两交点的弦所围成的三角形的面积.

2. 求通过点(1, 1)的直线y = f(x)中, 使得为最小的直线方程.

3. 求函数的最大值与最小值.

4. 已知圆(x－b)2 + y2 = a2, 其中b > a > 0, 求此圆绕y轴旋转所构成的旋转体体积和表面积.

第六章  多元函数微分学

一. 考虑二元函数的下面4条性质

( I )在点处连续;     ( II )在点处的两个偏导数连续;

( I II)在点处可微;    ( IV )在点处的两个偏导数存在;

若用表示可由性质P推出性质Q, 则有

( A )            ( B ) 

( C )            ( D ) 

二. 二元函数在点(0, 0) 处

( A ) 连续, 偏导数存在;                ( B ) 连续, 偏导数不存在;

( C ) 不连续, 偏导数存在;              ( D ) 不连续, 偏导数不存在.

三. 设f, g为连续可微函数, , 求.

四. 设, 其中为可微函数, 求.

五. 设.

六. 求下列方程所确定函数的全微分:

1.;

2..

七. 设, 其中f具有二阶连续偏导数, 求.

八. 已知.

九. 已知.

十. 设确定, 求.

十一. 设

十二. 设, 其中f(u, v)具有二阶连续偏导数,二阶可导, 求.

十三. 设, 其中出现的函数都是连续可微的, 试计算.

第七章  二重积分

一. 比较积分值的大小:

1. 设其中, 则下列结论正确的是

( A )   ( B )   ( C )   ( D ) 

2. 设, 其中:, ,则下列结论正确的是

( A )   ( B )   ( C )   ( D ) 

3.设其中, 则下列结论正确的是

( A )   ( B )   ( C )   ( D ) 

二. 将二重积分化为累次积分(两种形式), 其中D给定如下:

1. D: 由与所围之区域.

2. D: 由x = 3, x = 5, x－2y + 1 = 0及x－2y + 7 = 0所围之区域.

3. D: 由, y  x及x > 0所围之区域.

4. D: 由|x| + |y|  1所围之区域.

三. 改变下列积分次序:

1.         

2. 

3. 

四. 将二重积分化为极坐标形式的累次积分, 其中:

1. D: a2  x2 +y2  b2, y  0, (b > a > 0)

2. D: x2 +y2 y, x  0

3. D: 0  x +y  1, 0  x  1

五. 求解下列二重积分:

1. 

2. 

3., D: 由y = x4－x3的上凸弧段部分与x轴所形成的曲边梯形

4., D: y  x及1  x2 + y2  2

六. 计算下列二重积分:

1., D:.

2., D:, 并求上述二重积分当时的极限.

3. 

 4.,  D: x2 + y2  1, x  0, y  0.

七. 求证:, 其中D是由xy = 1, xy = 2, y = x及y = 4x(x > 0, y > 0)所围成之区域.

八. 求证: 

九. 设f(t)是半径为t的圆周长, 试证:    

十. 设m, n均为正整数, 其中至少有一个是奇数, 证明     

十一. 设平面区域,是定义在上的任意连续函数试求: 

第八章  无穷级数

一. 填空题

(1) 设有级数, 若, 则该级数的收敛半径为______.

(2) 幂级数的收敛半径为______.

(3) 幂级数的收敛区间为______.

(4) 幂级数的收敛区间为______.

(5) 幂级数的和函数为______.

二. 单项选择题

(1) 设收敛, 常数, 则级数

(A) 绝对收敛   (B) 条件收敛   (C) 发散    (D) 收敛性与有关

(2) 设, 则

(A)与都收敛.   (B)与都发散.   (C)收敛, 而发散.   (D)发散,收敛.

(3) 下列各选项正确的是

(A) 若与都收敛, 则收敛   

(B) 若收敛, 则与都收敛   

(C) 若正项级数发散,则   

(D) 若级数收敛, 且, 则级数收敛.

 (4) 设为常数, 则级数

(A) 绝对收敛.   (B) 发散.  (C) 条件收敛.  (D) 敛散性与取值有关.  

三. 判断下列级数的敛散性:

(1) 

(2) 

(3) 

(4) 

(5) 

(6) 

四. 判断下列级数的敛散性

(1) 

(2) 

(3) 

(4) 

五. 求下列级数的收敛域:

(1) 

(2) 

(3) 

(4) 

六. 求下列级数的和:

 (1) 

(2) 

(3) 

七. 把下列级数展成x的幂级数:

(1) 

(2) 

第九章  常微分方程及差分方程简介

一. 填空题

1. 微分方程的通解为_________.

2. 微分方程的通解为________.

3. 微分方程的通解为________.

4. 微分方程的通解为________.

5. 已知曲线过点(0,), 且其上任一点(x, y)处的切线斜率为, 则=_______.

二. 单项选择题

1. 若函数满足关系式  , 则等于

(A)   (B)   (C)   (D) 

2. 微分方程的一个特解应具有形式(式中a、b为常数)

(A)   (B)   (C)   (D) 

三. 解下列微分方程:

1. 

2. 

3. 

四. 解下列微分方程:

1. 

2. 

3. 

五. 解下列微分方程:

1. 

2. 

3. 

4. 

六. 解下列微分方程:

1. 

2. 

3. 

七. 解下列方程:

1. 

2. 

3. 

八. 解下列方程:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

第十章  函数方程与不等式证明

一. 证明不等式. (a > 1, n  1)

二. 若a  0, b  0, 0 < p < 1, 证明 

三. 设函数f(x)在[0, 1]上有连续导数, 满足. 求证  

四. 求证  , (0 < p < 1).

五. 求证: 若x + y + z = 6, 则, (x  0, y  0, z  0).

六. 证明: 1 若f(x)在[a, b]上是增加的，且在其上，则

2 若f(x)在[a, b]上是增加的，且在其上，则

七. 证明: 1 

2  

八. 设, 且, 求证   

九. 若在[0, 2]上连续, 且 0, n(正整数)有  

十. 设在[a, b]上, a < x1 < x2 < b, 0 < < 1, 试证: 

第十一章  微积分在经济中的应用

一．生产某产品的固定成本为10, 而当产量为x时的边际成本函数为, 边际收益为, 试求: ( 1 )总利润函数; ( 2 ) 使总利润最大的产量.

二. 设某商品的需求量Q是单价P(单位: 元)的函数: Q = 12000－80P; 商品的总成本C是需求量Q的函数: C = 25000 + 50Q; 每单位商品需要纳税2元, 试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额.

三. 一商家销售某种商品的价格满足关系    P = 7－0.2x(万元/吨), x为销售量(单位:吨), 商品的成本函数(万元). (1) 若每销售一吨商品要征税t (万元), 求该商家获最大利润时的销售量; (2) t为何值时, 税收总额最大.

四. 设某企业每月需要使用某种零件2400件, 每件成本为150元, 每年库存费为成本的6, 每次订货费为100元, 试求每批订货量为多少时, 方使每月的库存费与订货费之和最少, 并求出这个最少费用(假设零件是均匀使用).