函数的奇偶性问题练习题(含答案)

　一、选择题

1．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax3＋bx2＋cx（）

　　A．奇函数　　　B．偶函数　　　C．既奇又偶函数　　　D．非奇非偶函数

　解析：f（x）＝ax2＋bx＋c为偶函数，为奇函数，

　　∴g（x）＝ax3＋bx2＋cx＝f（x）·满足奇函数的条件．　　答案：A

2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（）　

　A．，b＝0　　　B．a＝－1，b＝0  　C．a＝1，b＝0　　D．a＝3，b＝0

解析：由f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，得b＝0．

　　又定义域为［a－1，2a］，∴a－1＝2a，∴．故选A．

3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的表达式是（　　）

A．y＝x（x－2）B．y ＝x（｜x｜－1）C．y ＝｜x｜（x－2）D．y＝x（｜x｜－2）

解析：由x≥0时，f（x）＝x2－2x，f（x）为奇函数，

　　∴当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x）＝－x2－2x＝x（－x－2）．

　　∴即f（x）＝x（|x|－2）答案：D

4．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（　　）

　　A．－26　　　　B．－18　　　　C．－10　　　　D．10

解析：f（x）＋8＝x5＋ax3＋bx为奇函数，

f（－2）＋8＝18，∴f（2）＋8＝－18，∴f（2）＝－26．　　答案：A

5．函数是（　　）

　　A．偶函数　B．奇函数　　C．非奇非偶函数　　D．既是奇函数又是偶函数

解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f（－x）＋f（x）＝0．　　答案：B

6．若，g（x）都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，则f（x）在（－∞，0）上有（　　）

A．最小值－5　　　　B．最大值－5　　C．最小值－1　　D．最大值－3

解析：、g（x）为奇函数，∴为奇函数．

　　又f（x）在（0，＋∞）上有最大值5，　　∴f（x）－2有最大值3．

　　∴f（x）－2在（－∞，0）上有最小值－3，　∴f（x）在（－∞，0）上有最小值－1．　　答案：C

二、填空题

7．函数的奇偶性为____奇函数____（填奇函数或偶函数）　．

8．若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝____0_____．

   解析：因为函数y＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，

　　∴f（－x）＝f（x），即（m－1）（－x）2＋2m（－x）＋3＝（m—1）x2＋2mx＋3，整理，得m＝0．

9．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若，则f（x）的解析式为_______．

解析：由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，

　　可得，联立，∴．   

10．已知函数f（x）为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和为___0   _____．

三、解答题

11．设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．（）

12．已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（xR，yR），且f（0）≠0，试证f（x）是偶函数．

证明：令x＝y＝0，有f（0）＋f（0）＝2f（0）·f（0），又f（0）≠0，∴可证f（0）＝1．令x＝0，∴f（y）＋f（－y）＝2f（0）·f（y）f（－y）＝f（y），故f（x）为偶函数．

13.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表达式．

解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．

　　f（x）＝x3＋2x2－1．因f（x）为奇函数，∴f（0）＝0．

　　当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝（－x）3＋2（－x）2－1＝－x3＋2x2－1，

　　∴f（x）＝x3－2x2＋1．

　　因此，

　　点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力．

（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．

解析：任取x1＜x2≤－5，则－x1＞－x2≥－5．

　　因f（x）在［5，＋∞］上单调递减，所以f（－x1）＜f（－x2）f（x1）＜－f（x2）f（x1）＞f（x2），即单调减函数．

　　点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．

15.设函数y＝f（x）（xR且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），

求证f（x）是偶函数．

解析：由x1，x2R且不为0的任意性，令x1＝x2＝1代入可证，

　　f（1）＝2f（1），∴f（1）＝0．

　　又令x1＝x2＝－1，

　　∴f［－1×（－1）］＝2f（1）＝0，

　　∴（－1）＝0．又令x1＝－1，x2＝x，

　　∴f（－x）＝f（－1）＋f（x）＝0＋f（x）＝f（x），即f（x）为偶函数．

点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x1＝x2＝1，x1＝x2＝－1或x1＝x2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．