数据处理的基本方法

由实验测得的数据，必须经过科学的分析和处理，才能提示出各物理量之间的关系。我们把从获得原始数据起到结论为止的加工过程称为数据处理。物理实验中常用的数据处理方法有列表法、作图法、逐差法和最小二乘法等。

1、列表法

列表法是记录和处理实验数据的基本方法，也是其它实验数据处理方法的基础。将实验数据列成适当的表格，可以清楚地反映出有关物理量之间的一一对应关系，既有助于及时发现和检查实验中存在的问题，判断测量结果的合理性；又有助于分析实验结果，找出有关物理量之间存在的规律性。一个好的数据表可以提高数据处理的效率，减少或避免错误，所以一定要养成列表记录和处理数据的习惯。 

利用实验数据，将实验中物理量之间的函数关系用几何图线表示出来，这种方法称为作图法。作图法是一种被广泛用来处理实验数据的方法，它不仅能简明、直观、形象地显示物理量之间的关系，而且有助于我人研究物理量之间的变化规律，找出定量的函数关系或得到所求的参量。同时，所作的图线对测量数据起到取平均的作用，从而减小随机误差的影响。此外，还可以作出仪器的校正曲线，帮助发现实验中的某些测量错误等。因此，作图法不仅是一个数据处理方法，而且是实验方法中不可分割的部分。

3、逐差法

逐差法是物理实验中处理数据常用的一种方法。凡是自变量作等量变化，而引起应变量也作等量变化时，便可采用逐差法求出应变量的平均变化值。逐差法计算简便，特别是在检查数据时，可随测随检，及时发现差错和数据规律。更重要的是可充分地利用已测到的所有数据，并具有对数据取平均的效果。还可绕过一些具有定值的求知量，而求出所需要的实验结果，可减小系统误差和扩大测量范围。

4、最小二乘法

把实验的结果画成图表固然可以表示出物理规律，但是图表的表示往往不如用函数表示来得明确和方便，所以我们希望从实验的数据求经验方程，也称为方程的回归问题，变量之间的相关函数关系称为回归方程。

第一节  有效数字及其计算

一、有效数字

    对物理量进行测量，其结果总是要有数字表示出来的．正确而有效地表示出测量结果的数字称为有效数字．它是由测量结果中可靠的几位数字加上可疑的一位数字构成．有效数字中的最后一位虽然是有可疑的，即有误差，但读出来总比不读要精确．它在一定程度上反映了客观实际，因此它也是有效的．例如，用具有最小刻度为毫米的普通米尺测量某物体长度时，其毫米的以上部分是可以从刻度上准确地读出来的．我们称为准确数字．而毫米以下的部分，只能估读一下它是最小刻度的十分之几，其准确性是值得怀疑的．因此，我们称它为可疑数字，若测量长度=15.2mm，“15”这两位是准确的 ，而最后一位“2”是可疑的，但它也是有效的，因此，对测量结果15.2mm来说，这三位都是有效的，称为三位有效数字．

    为了正确有效地表示测量结果，使计算方便，对有效数字做如下的规定：

      1．物理实验中，任何物理量的数值均应写成有效数字的形式．

  ２．误差的有效数字一般只取一位，最多不超过两位．

   ３．任何测量数据中，其数值的最后一位在数值上应与误差最后一位对齐(相同单位、相同10次幂情况下)．如=(1．00±0．02)mm，是正确的，=(360±0．25)A或=(980.125±0.03)cm/S2都是错误的．

   ４．常数2,1/2,,π及C等有效数字位数是无限的．

   ５．当0不起定位作用，而是在数字中间或数字后面时，和其它数据具有相同的地位，都算有效数字，不能随意省略．如31.01、2.0、2.00中的0，均为有效数字．

   ６.有效数字的位数与单位变换无关，即与小数点位置无关．如=11.3mm=1.13cm=0.0113m=0.0000113Km均为三位有效数字．由此，也可以看出：用以表示小数点位置的“0”不是有效数字，或者说，从第一位非零数字算起的数字才是有效数字．

７．在记录较大或较小的测量量时，常用一位整数加上若干位小数再乘以10的幂的形式表示，称为有效数字的科学记数法．例测得光速为2.99×108m/s，有效数字为三位．电子质量为9.11×10-31Kg有效数字也是三位．

二、有效数字的运算法则

     由于测量结果的有效数字最终取决于误差的大小，所以先计算误差，就可以准确知道任何一种运算结果所应保留的有效数字，这应该作为有效数字运算的总法则．此外，当数字运算时参加运算的分量可能很多，各分量的有效数字也多少不一，而且在运算中，数字愈来愈多，除不尽时，位数也越写越多，很是繁杂，我们掌握了误差及有效数字的基本知识后，就可以找到数字计算规则，使得计算尽量简单化，减少徒劳的计算．同时也不会影响结果的精确度．

     1．舍入原则

    通常的法则是四舍五入，而对于大量尾数都是五的数据来讲，这样的舍入是很不合理的．因为总是入的机会大于舍的机会，现在通用的法则为：“尾数小于五舍去，大于五入，等于五则把尾数的前位凑成偶数”的法则（此处的尾数是指所有去掉部分）．这种舍入原则使尾数入与舍的机会均等．

例  1.545003取三位有效数字为1.55（去掉部分0.005003比0.005大）

   1.5486取三位有效数字为1.55

   1.5450取三位有效数字为1.54

    2．加减法

几个数相加减时，最后结果的有效数字尾数要和参加运算的各因子中尾数最靠前的因子取齐，即“尾数对齐”．

例  123.4+5.678=129.1

   215.6-82.624=133.0

具体计算时步骤如下

(1)  找出各分量中具有最大误差的量（也可按同等单位下，小数点后位数最少）；

(2)  以这个分量为标准，把其它的各分量的数值化简，使他们的末位与之对齐（仍按舍入法则取舍）；

(3)  进行结果的计算；

(4)  根据误差传递公式计算误差；

   （5）由绝对误差定结果的有效数字．

例 已知，式中=(38.206±0.001 )，=(13.24±0.0001) ， =(161.25±0.01 ) ， =(21.3±0.5 ) ．试求  

解：以D为标准化简，19.103,取19.1,B取13.2,C取161.2

=19.1-13.2+161.2-21.3=145.8 （）

由误差传递公式知

 =0.0005+0.0001+0.01+0.5=0.5506（）

误差取一位有效数字， =0.6

=（1.9±0.6）           

3．3．  乘除法

几个数相乘除，结果的有效数字位数与参与运算的诸因子中有效数字位数最少的一个相同，即“位数取齐”．

例　2.5800=2.0103

7880.2=4103

具体计算时步骤如下：

(1) 找出分量中具有最少有效数字的量；

(2) 以这个分量为标准，把其它各分量（包括常量如π等）的数

值化简，使它们的有效数字的位数与之相同（按舍入原则）；

(3) 进行计算，结果与有效数字最少的分量的位数相同或多一位；

(4) 由绝对误差定结果的有效数字；

(5) 对误差的计算要注意:凡参与计算误差的量，有效数字最多取两位．

例1  计算圆柱体的密度  ,各量测量结果如下

,,,

求密度,并写成的形式．

解  各量中H的有效数字最少为三位，D化简为2.34,M化简为236,

                 （g/cm3）

相对误差     

绝对误差     （g/cm3） 

故            g/cm3

如密度的结果与有效数字最少的位数相同是6.69g/cm3,有

 g/cm3

第二节  处理实验数据的方法

一、列表法

    对一个物理量进行多次测量，或者测量几个量之间的函数关系，往往借助于列表法把实验数据列成表格．列表法就是将一组实验数据中的自变量，因变量中的各个数值，依一定的形式和顺序一一对应的列出来．其优点是简单明了，便于比较．列表格没有统一的格式，一般应注意以下几点：

1．根据实验具体要求（如哪些量是单次测量量，数据间的关系以及实验条

件等）列出适当的表格，在表格上方简单扼要地写上表的名称．

2．表内标题栏内注明物理量的名称、符号和单位．不要把单位记在数字上．

3．数据要正确地反映测量的有效数字．

4．表格力求简单、清楚、分类明显．

二、作图法

    作图法是研究物理量的变化规律，找出物理量间的函数关系，求出经验公式的最常用的方法之一．它可以把一组数据之间的关系或其变化情况用图线直观地表示出来．利用作图法得出的曲线，能迅速地读出在一定范围内一个量所对应的另一个量，能从图中很简便地求出实验所需的某此数据，在一定条件下还可以从曲线的延伸部分读出测量数据以外的数据点．

作图要遵从以下的规则：

1．选用合适的坐标纸 

 坐标纸有直角坐标纸，对数坐标纸，半对数坐标纸和极坐标纸等几种. 在物理实验中常用的是直角坐标纸（又称毫米方格坐标纸）．

2．确定坐标轴并标度 

 通常用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量．在坐标轴的末端要注明物理量的符号和单位．坐标比例的选取，原则上做到数据中的可靠数字在图中是可靠的．坐标比例的选取应以便于读数为原则，一般情况，坐标轴的起点不一定从零开始，以使画出的图线能比较对称地充满整个图纸．

3．描点和连线 

 用一定的符号，如“+”、“×”、“☉”等将数据点准确地标明在坐标纸上．同一坐标纸上不同图线的数据点应用不同的符号以示区别．然后用直尺或曲线板把数据点连成直线或光滑的曲线．连线时要根据数据点的分布趋势，使其均匀分布在图线两侧，且使图线通过尽可能多的数据点．个别偏离图线很远的点要重新审核，进行分析后决定取舍．这样描绘出来的图线有“取平均”的效果．对于仪器仪表的校正曲线和定标曲线，连接时应将相邻的两点连成直线，整个图线呈折线形状．