江苏专升本高等数学真题(附答案)

一、函数、极限和连续

（一）函数

（1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。

（2）理解和把握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。

（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。

（4）把握函数的四则运算与复合运算。

（5）理解和把握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。

（6）了解初等函数的概念。

重点：函数的单调性、周期性、奇偶性，分段函数和隐函数

（二）极限

（1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

（2）了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，把握极限的四则运算法则。

（3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限。

（4）把握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。

（5）理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。

（6）熟练把握用两个重要极限求极限的方法。

重点：会用左、右极限求解分段函数的极限，把握极限的四则运算法则、利用两个重要极限求极限以及利用等价无穷小求解极限。

（三）连续

（1）理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的中断点及其分类。

（2）把握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的中断点及确定其类型。

（3）把握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题。

（4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。

重点：理解函数（左、右连续）性的概念，会判别函数的中断点。理解闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质（如介值定理、最值定理）用于不等式的证实。

二、一元函数微分学

（一）导数与微分

（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

（3）熟练把握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。

（4）把握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数。

（5）理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。

（6）理解函数的微分概念，把握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。

重点：会利用导数和微分的四则运算、复合函数求导法则和参数方程的求导，会求简单函数的高阶导数（尤其是二阶导数）。

（二）中值定理及导数的应用

（1）了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义。

（2）熟练把握洛必达法则求“0/0”、“∞/∞”、“0∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“∞0”型未定式的极限方法。

（3）把握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证实简单的不等式。

（4）理解函数极值的概念，把握求函数的极值和最大（小）值的方法，并且会解简单的应用题目。

（5）会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

（6）会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线。

重点：会用罗必达法则求极限，把握函数单调性的判别法，利用函数单调性证实不等式，把握函数极值、最大值和最小值的求法及其运用，会用导数判别函数图形的拐点和渐近线。

三、一元函数积分学

（一）不定积分

（1）理解原函数与不定积分概念及其关系，把握不定积分性质，了解原函数存在定理。

（2）熟练把握不定积分的基本公式。

（3）熟练把握不定积分第一换元法，把握第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）。

（4）熟练把握不定积分的分部积分法。

（二）定积分

（1）理解定积分的概念与几何意义，了解可积的条件。

（2）把握定积分的基本性质。

（3）理解变上限的定积分是变上限的函数，把握变上限定积分求导数的方法。

（4）把握牛顿―莱布尼茨公式。

（5）把握定积分的换元积分法与分部积分法。

（6）理解无穷区间广义积分的概念，把握其计算方法。

（7）把握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积。

重点：把握不定积分的基本性质和基本积分公式，把握不定积分的换元法与分部积分法，会求一般函数的不定积分；把握积分上限的函数并会求它的导数，把握牛顿―莱布尼兹公式以及定积分的换元积分法和分部积分法；会计算（被和谐）积分，会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积。

四、向量代数与空间解析几何

（一）向量代数

（1）理解向量的概念，把握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。

（2）把握向量的线性运算、向量的数目积与向量积的计算方法。

（3）把握二向量平行、垂直的条件。

（二）平面与直线

（1）会求平面的点法式方程、一般式方程。会判定两平面的垂直、平行。

（2）会求点到平面的间隔。

（3）了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程。会判定两直线平行、垂直。

（4）会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）。

重点：会求向量的数目积和向量积、两向量的夹角，会求平面方程和直线方程。

五、多元函数微积分

（一）多元函数微分学

（1）了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极值与连续概念（对计算不作要求）。会求二元函数的定义域。

（2）理解偏导数、全微分概念，知道全微分存在的必要条件与充分条件。

（3）把握二元函数的一、二阶偏导数计算方法。

（4）把握复合函数一阶偏导数的求法。

（5）会求二元函数的全微分。

（6）把握由方程F（x，y，z）=0所确定的隐函数z=z（x，y）的一阶偏导数的计算方法。

（7）会求二元函数的无条件极值。

重点：会求多元复合函数的一阶、二阶偏导数，会求多元隐函数的偏导数。

（二）二重积分

（1）理解二重积分的概念、性质及其几何意义。

（2）把握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法。

重点：把握二重积分的计算方法，会将二重积分化为累次积分以及会交换累次积分的次序

六、无穷级数

（一）数项级数

（1）理解级数收敛、发散的概念。把握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质。

（2）把握正项级数的比值数别法。会用正项级数的比较判别法。

(3)把握几何级数、调和级数与p级数的敛散性。

（4）了解级数尽对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法。

（二）幂级数

（1）了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间。

（2）了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）。

（3）把握求幂级数的收敛半径、收敛区间（不要求讨论端点）的方法。

重点：把握正项级数收敛性的判别法，几何级数与P级数及其收敛性，了解任意项级数尽对收敛与条件收敛的概念以及它们之间的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法，会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域。

八、常微分方程

（一）一阶微分方程

（1）理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。

（2）把握可分离变量方程的解法。

（3）把握一阶线性方程的解法。

（二）二阶线性微分方程

（1）了解二阶线性微分方程解的结构。

（2）把握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

重点：把握变量可分离微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法、会解二阶常系数齐次线性微分方程，会解自由项为多项式、指数函数的二阶常系数非齐次线性微分方程。

20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1、下列各极限正确的是                                                       （    ）

A、    B、    C、     D、

2、不定积分                                                    （    ）

A、    B、    C、    D、

3、若，且在内、，则在内必有     （    ）

A、,        B、,

C、,        D、,

4、                                                              （    ）

A、0    B、2    C、－1    D、1

5、方程在空间直角坐标系中表示                                    （    ）

A、圆柱面    B、点    C、圆    D、旋转抛物面

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

6、设，则            

7、的通解为             

8、交换积分次序              

9、函数的全微分                          

10、设为连续函数，则                 

三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

11、已知，求.

12、计算.

13、求的间断点，并说明其类型.

14、已知，求.

15、计算.

16、已知，求的值.

17、求满足的特解

.

18、计算，是、、围成的区域.

19、已知过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线，若，且在处取得极值，试确定、的值，并求出的表达式.

20、设，其中具有二阶连续偏导数，求、.

四、综合题（本大题共4小题，第21小题10分，第22小题8分，第23、24小题各6分，共30分）

21、过作抛物线的切线，求

  （1）切线方程；

  （2）由，切线及轴围成的平面图形面积；

  （3）该平面图形分别绕轴、轴旋转一周的体积。 

22、设，其中具有二阶连续导数，且.

  （1）求，使得在处连续；

  （2）求.

23、设在上具有严格单调递减的导数且；试证明：

对于满足不等式的、有.

24、一租赁公司有40套设备，若定金每月每套200元时可全租出，当租金每月每套增加10元时，租出设备就会减少一套，对于租出的设备每套每月需花20元的维护费。问每月一套的定金多少时公司可获得最大利润？

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高等数学

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1、下列极限中，正确的是                                                     （    ）

A、    B、

C、    D、

2、已知是可导的函数，则                              （    ）

A、    B、    C、    D、

3、设有连续的导函数，且、1，则下列命题正确的是                    （    ）

A、    B、

C、    D、

4、若，则                                                   （    ）

A、    B、      C、       D、

5、在空间坐标系下，下列为平面方程的是                                        （    ）

A、     B、    C、==    D、

6、微分方程的通解是                                           （    ）

A、   B、  C、  D、

7、已知在内是可导函数，则一定是                 （    ）

A、奇函数             B、偶函数         C、非奇非偶函数          D、不能确定奇偶性

8、设，则的范围是                                            （    ）

A、            B、             C、             D、

9、若广义积分收敛，则应满足                                    （    ）

A、    B、    C、    D、

10、若，则是的                                    （    ）

A、可去间断点    B、跳跃间断点    C、无穷间断点    D、连续点

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11、设函数是由方程确定，则               

12、函数的单调增加区间为            

13、                

14、设满足微分方程，且，则            

15、交换积分次序             

三、计算题（本大题共8小题，每小题4分，共32 分）

16、求极限

17、已知，求

18、已知，求， 

19、设，求

20、计算

21、求满足的解.

22、求积分

23、设  ，且在点连续，求：（1）的值（2）

四、综合题（本大题共3小题，第24小题7分，第25小题8分，第26小题8分，共23分）

24、从原点作抛物线的两条切线，由这两条切线与抛物线所围成的图形记为，求：（1）的面积；  （2）图形绕轴旋转一周所得的立体体积. 

25、证明：当时，成立. 

26、已知某厂生产件产品的成本为（元），产品产量与价格之间的关系为：（元）

求：(1) 要使平均成本最小，应生产多少件产品？

(2) 当企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润.

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高等数学

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1、已知，则                            （    ）

A、2    B、4    C、0    D、

2、若已知，且连续，则下列表达式正确的是                   （    ）

A、        B、

C、        D、

3、下列极限中，正确的是                                                     （    ）

A、    B、    C、    D、

4、已知，则下列正确的是                                   （    ）

A、        B、

C、        D、

5、在空间直角坐标系下，与平面垂直的直线方程为                   （    ）

A、        B、

C、        D、

6、下列说法正确的是                                                         （    ）

A、级数收敛        B、级数收敛

C、级数绝对收敛    D、级数收敛

7、微分方程满足，的解是

A、    B、

C、        D、

8、若函数为连续函数，则、满足

A、、为任何实数        B、

C、、        D、

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

9、设函数由方程所确定，则                   

10、曲线的凹区间为                  

11、                   

12、交换积分次序                   

三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

13、求极限

14、求函数的全微分

15、求不定积分

16、计算

17、求微分方程的通解.

18、已知，求、.

19、求函数的间断点并判断其类型.

20、计算二重积分，其中是第一象限内由圆及直线所围成的区域.

四、综合题（本大题共3小题，第21小题9分，第22小题7分，第23小题8分，共24分）

21、设有抛物线，求：

（i）、抛物线上哪一点处的切线平行于轴？写出该切线方程；

（ii）、求由抛物线与其水平切线及轴所围平面图形的面积；

（iii）、求该平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积.

22、证明方程在区间内有且仅有一个实根.

23、要设计一个容积为立方米的有盖圆形油桶,已知单位面积造价：侧面是底面的一半，而盖又是侧面的一半，问油桶的尺寸如何设计，可以使造价最低？

五、附加题（2000级考生必做，20XX级考生不做）

24、将函数展开为的幂级数，并指出收敛区间。（不考虑区间端点）（本小题4分）

25、求微分方程的通解。（本小题6分）

20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）

1、，是：                                        （    ）

A、有界函数    B、奇函数    C、偶函数          D、周期函数

2、当时，是关于的                                       （    ）

A、高阶无穷小    B、同阶但不是等价无穷小    C、低阶无穷小     D、等价无穷小

3、直线与轴平行且与曲线相切，则切点的坐标是                （    ）

A、    B、    C、    D、

4、设所围的面积为，则的值为             （    ）

A、    B、    C、    D、

5、设、，则下列等式成立的是          （    ）

A、    B、    C、    D、

6、微分方程的特解的形式应为                           （    ）

A、    B、    C、    D、

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

7、设，则               

8、过点且垂直于平面的直线方程为              

9、设，，则             

10、求不定积分                

11、交换二次积分的次序                  

12、幂级数的收敛区间为                 

三、解答题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）

13、求函数的间断点，并判断其类型.

14、求极限.

15、设函数由方程所确定，求的值.

16、设的一个原函数为，计算.

17、计算广义积分.

18、设，且具有二阶连续的偏导数，求、.

19、计算二重积分，其中由曲线及所围成.

20、把函数展开为的幂级数，并写出它的收敛区间.

四、综合题（本大题共3小题，每小题8分，满分24分）

21、证明：，并利用此式求.

22、设函数可导，且满足方程，求.

23、甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元。问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管道的费用最省？

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高等数学

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

1、是的                                                  （    ）

A、可去间断点    B、跳跃间断点    C、第二类间断点    D、连续点

2、若是函数的可导极值点，则常数                   （    ）

A、    B、    C、    D、

3、若，则                               （    ）

A、    B、     C、      D、

4、设区域是平面上以点、、为顶点的三角形区域，区域是在第一象限的部分，则：                               （    ）

A、        B、

C、    D、0

5、设，，则下列等式成立的是             （    ）

A、    B、        C、          D、

6、正项级数(1)、(2)，则下列说法正确的是                         （    ）

A、若（1）发散、则（2）必发散               B、若（2）收敛、则（1）必收敛

C、若（1）发散、则（2）可能发散也可能收敛   D、（1）、（2）敛散性相同

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

7、                ；

8、函数在区间上满足拉格郎日中值定理的              ；

9、                ；

10、设向量、；、互相垂直，则              ；

11、交换二次积分的次序                ；

12、幂级数的收敛区间为                ；

三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分分）

13、设函数在内连续，并满足：、，求.

14、设函数由方程所确定，求、.

15、计算.

16、计算

17、已知函数，其中有二阶连续偏导数，求、

18、求过点且通过直线的平面方程.

19、把函数展开为的幂级数，并写出它的收敛区间.

20、求微分方程满足的特解.

四、证明题（本题8分） 

21、证明方程：在上有且仅有一根.

五、综合题（本大题共4小题，每小题10分，满分30分）

22、设函数的图形上有一拐点，在拐点处的切线斜率为，又知该函数的二阶导数，求.

23、已知曲边三角形由、、所围成，求：

（1）、曲边三角形的面积；

（2）、曲边三角形饶轴旋转一周的旋转体体积.  

24、设为连续函数，且，， 

（1）、交换的积分次序；

（2）、求.

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高等数学

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

1、若，则                                          （    ）

A、    B、    C、    D、

2、函数在处                                    （    ）

A、连续但不可导    B、连续且可导    C、不连续也不可导    D、可导但不连续

3、下列函数在上满足罗尔定理条件的是                                  （    ）

A、    B、    C、       D、

4、已知，则                                 （    ）

A、    B、         C、     D、

5、设为正项级数，如下说法正确的是                                    （    ）

A、如果，则必收敛    B、如果，则必收敛

C、如果收敛，则必定收敛  D、如果收敛，则必定收敛

6、设对一切有，，

，则                    （    ）

A、0        B、        C、2      D、4

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

7、已知时，与是等级无穷小，则              

8、若，且在处有定义，则当         时，在处连续.

9、设在上有连续的导数且，，则                

10、设，，则            

11、设，               

12、           . 其中为以点、、为顶点的三角形区域.

三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分分）

13、计算.

14、若函数是由参数方程所确定，求、.

15、计算.

16、计算.

17、求微分方程的通解.

18、将函数展开为的幂函数（要求指出收敛区间）.

19、求过点且与二平面、都平行的直线方程.

20、设其中的二阶偏导数存在，求、.

四、证明题（本题满分8分）.

21、证明：当时，.

五、综合题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分）

22、已知曲线过原点且在点处的切线斜率等于，求此曲线方程.

23、已知一平面图形由抛物线、围成.

（1）求此平面图形的面积；

（2）求此平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积.

24、设，其中是由、以及坐标轴围成的正方形区域，函数连续.

（1）求的值使得连续；

（2）求.

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高等数学

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

1、若，则                                          （    ）

A、    B、    C、    D、

2、已知当时，是的高阶无穷小，而又是的高阶无穷小，则正整数                                                             （    ）

A、1    B、2    C、3    D、4

3、设函数，则方程的实根个数为             （    ）

A、1    B、2    C、3    D、4

4、设函数的一个原函数为，则                          （    ）

A、    B、    C、       D、

5、设，则                                           （    ）

A、           B、           C、          D、

6、下列级数收敛的是                                                          （    ）

A、    B、    C、    D、

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

7、设函数，在点处连续，则常数              

8、若直线是曲线的一条切线，则常数              

9、定积分的值为                   

10、已知，均为单位向量，且，则以向量为邻边的平行四边形的面积为            

11、设，则全微分                 

12、设为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为                 

三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分分）

13、求极限.

14、设函数由方程确定，求、.

15、求不定积分.

16、计算定积分.

17、设其中具有二阶连续偏导数，求.

18、求微分方程满足初始条件的特解.

19、求过点且垂直于直线的平面方程.

20、计算二重积分，其中.

四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

21、设平面图形由曲线（）及两坐标轴围成.

（1）求该平面图形绕轴旋转所形成的旋转体的体积；

（2）求常数的值，使直线将该平面图形分成面积相等的两部分.

22、设函数具有如下性质：

（1）在点的左侧临近单调减少；

（2）在点的右侧临近单调增加；

（3）其图形在点的两侧凹凸性发生改变.

试确定，，的值.

五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）

23、设，证明：.

24、求证：当时，.

20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

1、设函数在上有定义，下列函数中必为奇函数的是                 （    ）

A、    B、

C、    D、

2、设函数可导，则下列式子中正确的是                                     （    ）

A、    B、

C、    D、

3、设函数，则等于                                    （    ）

A、    B、    C、    D、

4、设向量，，则等于                               （    ）

A、（2，5，4）    B、（2，－5，－4）    C、（2，5，－4）    D、（－2，－5，4）

5、函数在点（2，2）处的全微分为                                  （    ）

A、    B、    C、    D、

6、微分方程的通解为                                         （    ）

A、        B、

C、        D、

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

7、设函数，则其第一类间断点为              .

8、设函数在点处连续，则＝            .

9、已知曲线，则其拐点为              .

10、设函数的导数为，且，则不定积分＝                .

11、定积分的值为                 .

12、幂函数的收敛域为                   .

三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分分）

13、求极限： 

14、设函数由参数方程所决定，求

15、求不定积分：.

16、求定积分：.

17、设平面经过点A（2，0，0），B（0，3，0），C（0，0，5），求经过点P（1，2，1）且与平面垂直的直线方程.

18、设函数，其中具有二阶连续偏导数，求.

19、计算二重积分，其中D是由曲线，直线及所围成的平面区域.

20、求微分方程的通解.

四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

21、求曲线的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值.

22、设平面图形由曲线，与直线所围成.

（1）求该平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积.

（2）求常数，使直线将该平面图形分成面积相等的两部分.

五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）

23、设函数在闭区间上连续，且，证明：在开区间上至少存在一点，使得.

24、对任意实数，证明不等式：.

20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

1、已知，则常数的取值分别为                            （     ）

A、     B、     C、     D、

2、已知函数，则为的

A、跳跃间断点    B、可去间断点         C、无穷间断点          D、震荡间断点

3、设函数在点处可导，则常数的取值范围为         （     ）

A、    B、    C、    D、

4、曲线的渐近线的条数为                                         （     ）

A、1    B、2    C、3    D、4

5、设是函数的一个原函数，则               （     ）

A、    B、    C、    D、

6、设为非零常数，则数项级数                                      （     ）

A、条件收敛    B、绝对收敛            C、发散           D、敛散性与有关

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

7、已知，则常数              .

8、设函数，则＝            .

9、已知向量，，则与的夹角为              .

10、设函数由方程所确定，则＝                .

11、若幂函数的收敛半径为，则常数                 .

12、微分方程的通解为                   .

三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分分）

13、求极限： 

14、设函数由参数方程所确定，求.

15、求不定积分：.

16、求定积分：.

17、求通过直线且垂直于平面的平面方程.

18、计算二重积分，其中.

19、设函数，其中具有二阶连续偏导数，求.

20、求微分方程的通解.

四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

21、已知函数，试求：

（1）函数的单调区间与极值；

（2）曲线的凹凸区间与拐点；

（3）函数在闭区间上的最大值与最小值.

22、设是由抛物线和直线所围成的平面区域，是由抛物线和直线及所围成的平面区域，其中.试求：

（1）绕轴旋转所成的旋转体的体积，以及绕轴旋转所成的旋转体的体积.

（2）求常数的值，使得的面积与的面积相等.

五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）

23、已知函数，证明函数在点处连续但不可导.

24、证明：当时，.

20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

1.设当时，函数与是等价无穷小，则常数的值为 (    )

A.       B.      C.      D. 

2.曲线的渐近线共有                                              (    ) 

A. 1条               B. 2条              C. 3条               D. 4条

3.设函数，则函数的导数等于                       (    ) 

A.      B.      C.      D. 

4.下列级数收敛的是                                                            (    )  

A.        B.        C.       D. 

5.二次积分交换积分次序后得                                  (    ) 

A.                   B. 

C.                   D. 

6.设，则在区间内                                           (    )

A. 函数单调增加且其图形是凹的     B. 函数单调增加且其图形是凸的  

C. 函数单调减少且其图形是凹的     D. 函数单调减少且其图形是凸的

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

7.                

8. 若，则             

9. 定积分的值为              

10. 设，若与垂直，则常数            

11. 设函数，则                      

12. 幂级数的收敛域为                      

三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分分）

13、求极限

14、设函数由方程所确定，求

15、求不定积分

16、计算定积分

17、求通过点，且与直线垂直，又与平面平行的直线的方程。

18、设，其中函数具有二阶连续偏导数，求

19、计算二重积分，其中D是由曲线，直线及轴所围成的闭区域。

20、已知函数和是二阶常系数齐次线性微分方程的两个解，试确定常数的值，并求微分方程的通解。

四、证明题（每小题9分，共18分）

21、证明：当时， 

22、设其中函数在处具有二阶连续导数，且

，证明：函数在处连续且可导。

五、综合题（每小题10分，共20分）

23、设由抛物线，直线与y轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为，由抛物线，直线与直线所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为，另，试求常数的值，使取得最小值。

24、设函数满足方程，且，记由曲线与直线及y轴所围平面图形的面积为，试求

20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参

1、C   2、D   3、B   4、D   5、A   6、2

7、，其中、为任意实数

8、    9、    10、

11、    12、

13、是第二类无穷间断点；是第一类跳跃间断点；是第一类可去间断点.

14、1     15、    16、

17、，

.

18、解：原式

19、解：“在原点的切线平行于直线” 即

又由在处取得极值，得，即，得

故，两边积分得，又因曲线过原点，

所以，所以

20、，

21、（1）；（2）；（3）， 

22、

.

23、由拉格朗日定理知：

  ，

由于在上严格单调递减，知，因，故

.

24、解：设每月每套租金为，则租出设备的总数为，每月的毛收入为：

，维护成本为：.于是利润为：

比较、、处的利润值，可得，

故租金为元时利润最大.

20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参

01－05、ACABD    06－10、CBABB     11、1    12、，    13、0

14、    15、    16、    17、1

18、， 

19、解：令，则时，时，，

所以

20、原式

21、          22、

23、（1）

（2）

24、（1）

（2）

25、证明：，因为，所以是偶函数，我们只需要考虑区间，则，.

在时，，即表明在内单调递增，所以函数在内严格单调递增；

在时，，即表明在内单调递减，又因为，说明在内单调递增.

综上所述，的最小值是当时，因为，所以在内满足.

26、（1）设生产件产品时，平均成本最小，则平均成本

，  （件）

（2）设生产件产品时，企业可获最大利润，则最大利润

，

.  此时利润（元）.

20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参

1、B  2、C  3、D  4、C  5、D  6、B  7、B  8、C  9、  10、  11、0

12、    13、原式

14、    15、

16、原式    

17、                     18、、

19、是的间断点，， 

是的第一类跳跃间断点.

20、

21、（i）切线方程：；    （ii）

（iii）

22、证明：令，，，因为在内连续，故在内至少存在一个实数，使得；又因为在内大于零，所以在内单调递增，所以在内犹且仅有一个实根.

23、解：设圆柱形底面半径为，高位，侧面单位面积造价为，则有

由（1）得代入（2）得： 

令，得：；此时圆柱高.

所以当圆柱底面半径，高为时造价最低.

24、解：，，，…

，

，，，…， 

，

收敛区间

25、解：对应特征方程，、，所以，因为不是特征方程的根，设特解方程为，代入原方程，解得：.

20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参

1、A   2、B   3、C   4、B   5、A   6、D   7、

8、    9、    10、

11、    12、

13、间断点为，，当时，，为可去间断点；当，，时，，为第二类间断点.

14、原式.

15、代入原方程得，对原方程求导得，对上式求导并将、代入，解得：.

16、因为的一个原函数为，所以，

17、

18、；

19、原式

20、， 

21、证明：令， 

故，证毕.

22、等式两边求导的即且，，，，，，

所以，由，

解得， 

23、设污水厂建在河岸离甲城公里处，则

，，

解得（公里），唯一驻点，即为所求.

20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参

1、A   2、C   3、D   4、A   5、A   6、C   7、2   8、   9、   10、5

11、     12、

13、因为在处连续，所以，

，

，故.

14、，.

15、原式

.

16、原式

17、， 

18、，， 

平面点法式方程为： 

，即.

19、

，收敛域为.

20、，通解为

因为，，所以，故特解为.

21、证明：令，，且，，，

由连续函数零点定理知，在上至少有一实根.

22、设所求函数为，则有，，.

由，得，即.

因为，故，由，解得.

故，由，解得.

所求函数为：.

23、（1）

（2）

24、解：积分区域为：， 

（1）；

（2），.

20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参

1、C   2、B   3、C   4、C   5、C   6、A   7、2   8、   9、   10、  

11、    12、1

13、原式

14、， 

15、原式

16、原式

17、方程变形为，令则，代入得：，分离变量得：

，故，.

18、令，，，

故，.

19、、， 

直线方程为.

20、，.

21、令，，，，，，

，；所以，，故，即.

22、， 

通解为，由得，故.

23、（1）

（2）

24、

（1），由的连续性可知

（2）当时，，

当时， 

综上，.

20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参

1、B   2、C   3、C   4、A   5、D   6、D   7、   8、1   9、   10、    

11、      12、

13、解：.

14、解：方程，两边对求导数得，故.

又当时，，故、.

15、解： 

.

16、解：令，则.

17、解：， 

18、解：原方程可化为，相应的齐次方程的通解为.可设原方程的通解为.将其代入方程得，所以，从而

，故原方程的通解为. 又，所以，于是所求特解为.（本题有多种解法，大家不妨尝试一下）

19、解：由题意，所求平面的法向量可取为

.

故所求平面方程为，即.

20、解：.

21、解：（1）；

（2）由题意得. 由此得. 解得.

22、解：，.

由题意得、、，解得、、

23、证明：积分域：，积分域又可表示成： 

.

24、证明：令，显然，在上连续. 由于，故在上单调递增，

于是，当时，，即，又，故；

当时，，即，又，故.

综上所述，当时，总有.

20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参

1、B  2、A  3、D  4、C  5、A  6、B  7、0  8、3  9、（2，17）  

10、      11、      12、

13、，令，那么

.

14、

15、

16、

＝

17、由题意得： ，那么法向量为

18、

19、

20、积分因子为

化简原方程为

在方程两边同乘以积分因子，得到

化简得： 

等式两边积分得到通解

故通解为

21、令，那么x和y的偏导分别为， 

所以过曲线上任一点的切线方程为： 

当X＝0时，y轴上的截距为.

当y＝o时，x轴上的截距为

令，那么即是求的最小值.

而，故当时，取到最小值4.

22、（1）.

（2）由题意得到等式： 

化简得： 

解出a，得到：，故

23、令，那么， 

由于，并且在上连续.

故存在，使得，即.

24、将用泰勒公式展开得到： 

代入不等式左边： 

20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参

1、A   2、B   3、C   4、B   5、D   6、C   7、   8、

9、     10、    11、2     12、

13、，.

14、，，

.

15、令， 

16、令，当；当.

17、已知直线的方向向量为，平面的法向量为.由题意，所求平面的法向量可取为.又显然点在所求平面上，故所求平面方程为，即.

18、

19、； 

20、积分因子为

化简原方程为

在方程两边同乘以积分因子，得到

化简得： 

等式两边积分得到通解

故通解为

21、（1）函数的定义域为，，令得，函数的单调增区间为，单调减区间为，极大值为，极小值为.

（2），令，得，曲线在上是凸的，在上是凹的，点为拐点.

（3）由于，，，故函数在闭区间上的最大值为，最小值为.

22、（1）..

（2）由得.

23、证（1）因为，，且，所以函数在处连续。

（2）因为，，所以. 由于，所以函数在处不可导.

24、证 令，则，，由于当时，，故函数在上单调增加，从而当时，于是函数在上单调增加，从而当时，，即当时， 

20XX年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参

1、A   2、C   3、B   4、D   5、D   6、C

7、   8、2    9、   10、   11、   12、

13、原式=.

14、

15、原式

16、变量替换：令，，，

原式

17、，，，

所求直线方程为

18、； 

19、

20、特征方程的两个根为，特征方程为，从而； 

是特征方程的单根，，可设，即设特解为，

，，，代入方程得

，，通解为

21、构造函数，，，在上单调递增，，，在上单调递增，，，即。

22、，连续性得证；

，可导性得证。

23、，

，

，

，令得，最小值为

24、，

，，，

，

从而