2015第二十届华杯初赛小学高年级组C卷(含解析)

初赛试卷（小学高年级C卷）

（时间:2014年3月14日10:00～11:00）

一、选择题     (每小题10分，满分60分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内)

1．(   )．

A．            B．            C．            D．

2．如图，有一排间距相同但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直线．这两条直线成度角．最高的小树高米，最低的小树高米，那么从左向右数第棵树的高度是(    )米．

A． B． C． D．

3．春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、  丙、丁位同学有如下的对话：

甲：“丙、丁之中至少有人捐了款”

乙：“丁、甲之中至多有人捐了款”

丙：“你们人中至少有人捐了款”

丁：“你们人中至多有人捐了款”

己知这位同学说的都是真话且其中恰有位同学捐了款，那么这位同学是(    )．

A．甲、乙            B．丙、丁        C．甲、丙        D．乙、丁

4．六位同学数学考试的平均成缋是分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的分，最低的分，那么按分数从高到低居第三位的同学的分数至少是(    )．

A．            B．             C．             D． 

5．如图，是直角梯形的高，为梯形对角线上一点；如果、、的面积依次为、、，那么的面积是(    )．

A．            B．             C．          D． 

6．—个由边长为的小正方形的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩形的个用上的小正方形不全同色，那么正整数的最大值是(    )．

A．            B．             C．             D． 

二、填空题(每小题10分，满分40分．)

7．在每个格子中填入1～6中的一个，使得每行、每列及每个长方形内（粗线框围成)数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和是质数，那么四位数相约华杯是          ．

8．整数一共有个约数，这些约数从小到大排列．笫个是．那么整数的最大值是          ．

9．在边长为厘米的正方形中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是          平方厘米，两块阴影部分的周长差是          厘米．（取)

10．地、地、地依次分布在同一条公路上，甲、乙、丙三人分别从地、地、地同时出发，匀速向地行进．当甲在地追上乙时，甲的速度减少；当甲追上丙时，甲的速度再次减少；甲追上丙后9分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少；如乙追上丙后再行米，三人同时到地．已知乙出发时的速度是每分钟米，那么甲出发时的速度是每分钟     米，、两地间的路程是          米．

第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛

初赛试卷（小学高年级C卷）

参

一、选择题     (每小题10分，满分60分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内)

1．(   )．

A．            B．            C．            D．

【考点】速算巧算

【难度】☆☆

【答案】

【解析】原式．

2．如图，有一排间距相同但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直线．这两条直线成度角．最高的小树高米，最低的小树高米，那么从左向右数第棵树的高度是(    )米．

A． B． C． D．

【考点】等差数列

【难度】☆☆

【答案】

【解析】如右图， (米)， (米)因此，第四高的小树为(米)．

3．春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、  丙、丁位同学有如下的对话：

甲：“丙、丁之中至少有人捐了款”

乙：“丁、甲之中至多有人捐了款”

丙：“你们人中至少有人捐了款”

丁：“你们人中至多有人捐了款”

己知这位同学说的都是真话且其中恰有位同学捐了款，那么这位同学是(    )．

A．甲、乙            B．丙、丁        C．甲、丙        D．乙、丁

【考点】逻辑推理

【难度】☆☆☆

【答案】

【解析】因为恰有位同学捐了款，据丙所说知甲、乙、丁就至少人捐款，所以丙没捐款；

再据甲所说知丙、丁之中至少有人捐了款，现在丙没捐款，所以丁一定捐款了；

再据乙所说知丁、甲之中至多有人捐了款，现在丁捐款了，所以甲一定没捐款；

恰有位同学捐了款，即恰有位同学没捐款，现在甲、丙都没捐款，所以乙、丁都捐款了．

4．六位同学数学考试的平均成缋是分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的分，最低的分，那么按分数从高到低居第三位的同学的分数至少是(    )．

A．            B．             C．             D． 

【考点】最值问题

【难度】☆☆☆

【答案】

【解析】“至少”的含义是:第三位同学的得分若低于这个分数，不论其它同学得多少分，平均分都不会达到分．要想使第三位同学的得分尽可能的少，应使第二位同学的得分尽可能的多；同时，第四位、第五位的同学得分与第位同学的得分尽可能的接近．由此，可先求出第三位、第四位、第五位同学的平均分，再对三位同学的分数进行调整即可解决问题．由己知，第三、四、五三位同学的平均分是 (分)，故第三位同学的得分至少是．

5．如图，是直角梯形的高，为梯形对角线上一点；如果、、的面积依次为、、，那么的面积是(    )．

A．            B．             C．          D． 

【考点】几何

【难度】☆☆☆

【答案】

【解析】因为所以；所以，．

6．—个由边长为的小正方形的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满 足在任意矩形的个用上的小正方形不全同色，那么正整数的最大值是(    )．

A．            B．            C．            D．

【考点】最值问题

【难度】☆☆☆☆

【答案】

【解析】假设，笫行中至少有个格子颜色相同，不妨设前格为黑色(如图)．

在这个黑格下方可以分割为个横着的的长方形,若其中有一个中有个黑格(如图2)，则存在巷图中的粗线长方形个角上的小正方形都是黑格；所以这个横着的的长方形中，每个至多个黑格．

假设这个横着的的长方形中，有两个对应格子颜色都一样（如图3)，则一样存在图中的粗线长方形个角上的小正方形都是白格．

而的长方形中至多个黑格的只有如图的这种．

如果这种都存在的话(如图5)，则同样存在图中的粗线长方形个角上的小正方形都是白格．矛盾！所以．而图给出了的一种构造．所以，正整数的最大值是．

二、填空题(每小题10分，满分40分．)

7．在每个格子中填入1～6中的一个，使得每行、每列及每个长方形内（粗线框围成)数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和是质数，那么四位数相约华杯是          ．

【考点】数阵图

【难度】☆☆☆☆

【答案】

【解析】如下左图，因为为质数且，所以；

因为“月”为质数且“月” 、，所以“月”；从而；

因为“杯”为质数且“杯” ，所以“杯”；从而；

因为为合数且或，所以；从而“华”；

因为“相”为质数且“相” ，所以“相”；

因为为合数且或，所以；从而“约”；

所以，相约华杯(如下中图)．实际上其它格子中的数也能唯一确定（如下右图）．

8．整数一共有个约数，这些约数从小到大排列．笫个是．那么整数的最大值是          ．

【考点】数论

【难度】☆☆☆

【答案】

【解析】有个约数，由于第个是，而第个必然是，所以第个只能是．所以有质因子和．所以可能是或者．而最大是．

9．在边长为厘米的正方形中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是          平方厘米，两块阴影部分的周长差是          厘米．（取)

【考点】几何基本概念

【难度】☆☆☆

【答案】①；②． 

【解析】①

②因为为等边三角形，所以，从而； 阴影；

阴影；

所以，．

10．地、地、地依次分布在同一条公路上，甲、乙、丙三人分别从地、地、地同时出发，匀速向地行进．当甲在地追上乙时，甲的速度减少；当甲追上丙时，甲的速度再次减少；甲追上丙后9分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少；如乙追上丙后再行米，三人同时到地．已知乙出发时的速度是每分钟米，那么甲出发时的速度是每分钟     米，、两地间的路程是          米．

【考点】行程问题

【难度】☆☆☆☆

【答案】①；②．

【解析】①因为三人同时到地，所以甲、乙最后的速度和丙相同；

所以丙速为(米/分)；

甲减速一次后的速度为(米/分)，

甲出发时的速度为(米/分)．

②如下图，设甲在地追上丙，乙在地追上丙，因为甲、乙出发时的速度比为，所以；

设为份，则为份；

因为乙、丙出发时的速度比为，所以，

从而为份，为份．

因为甲减速一次后与丙的速度比为，

而甲原速行这份时，相当于以米/分行份；

所以份，从而份；

而是丙分钟所行的路程，为(米），

所以每份(米)，

从而(米)，所以(米）．