2019年黑龙江齐齐哈尔中考数学试题(解析版)

{适用范围:3． 九年级}

{标题}齐齐哈尔市二〇一九年初中学业水平考试

考试时间：120分钟 满分：120分

{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．

{题目}1．（2019·齐齐哈尔市，1）3的相反数是(　　)

A．－3                   B．　　　        C．3              D．±3

{答案}A

{解析}本题考查了相反数的概念．因为只有符号不同的两个数叫做互为相反数．所以3的相反数是-3，因此本题选A．

{分值}3

{章节:[1-1-2-3]相反数}

{考点:相反数的定义}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}2．（2019·齐齐哈尔市，2）下面四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (　　)

{答案}D

{解析}本题考查了轴对称图形和中心对称图形．选项A是中心对称图形，选项B是中心对称图形，选项C是轴对称图形，选项D既是轴对称图形又是中心对称图形，因此本题选D．

{分值}3

{章节:[1-23-2-2]中心对称图形}

{考点:轴对称图形}

{考点:中心对称图形}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}3．（2019·齐齐哈尔市，3）下列计算不正确的是 (　　)

A．±=±3            B．2ab+3ba=5ab          C．(-1)0=1         D．(3ab2)2=6a2b4

{答案}D

{解析}本题考查了非负数的平方根，合并同类项，零指数幂，积的乘方．其中积的乘方，等于先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故(3ab2)2=9a2b4，因此本题选D．

{分值}3

{章节:[1-15-2-3]整数指数幂}

{考点:平方根的定义}

{考点:合并同类项}

{考点:零次幂}

{考点:积的乘方}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}4．（2019·齐齐哈尔市，4）小明和小强同学分别统计了自己最近10次“一分钟跳绳”的成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是(　　)

A．平均数　　           B．中位数               C．方差　　　        D．众数

{答案}C

{解析}本题考查了平均数，中位数，方差，众数的意义．根据它们各自的定义进行判断，其中要比较两人的成绩稳定程度，即比较两组数据的波动性大小，即选用统计量方差，因此本题选C．

{分值}3

{章节:[1-10-1]统计调查}

{考点:算术平均数}

{考点:中位数}

{考点:众数}

{考点:方差}

{考点:方差的实际应用}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}5．（2019·齐齐哈尔市，5）如图，直线a∥b，将一块含30°角（∠BAC=30°）的直角三角尺按图中方式放置，其中A和C两点分别落在直线a和b上．若∠1=20°，则∠2的度数为(　　)

A．20°　　　　        B. 30°                  C．40°　　　　     D．50°

（第5题图）

{答案}C

{解析}本题考查了平行线的性质和角的和差．在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∵a∥b，∴∠DAC+∠ECA=180°，其中∠ECA=∠1+∠ACB =20°+90°=110°，∴∠DAC=70°，∵∠BAC=30°，∴∠2=∠DAC -∠BAC=70°-30°=40°，因此本题选C．

（第5题解）

{分值}3

{章节:[1-5-3]平行线的性质}

{考点:平行线的性质与判定}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}6．（2019·齐齐哈尔市，6）如图是由几个相同大小的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数至少为 (　　)

A．5                   B．6                C．7                    D．8

                             主视图             俯视图

（第6题图）

{答案}B

{解析}本题考查了三视图中的主视图和俯视图．由俯视图可知小正方体至少为4个，再由主视图可知，俯视图的左边这列中至少有一行是两个小正方体叠加，同理右边这一列亦是如此，故小正方体至少为6个，因此本题选B．

{分值}3

{章节:[1-29-2]三视图}

{考点:由三视图判断几何体}

{类别:常考题}

{类别:易错题}

{难度:2-简单}

{题目}7．（2019·齐齐哈尔市，7）“六一”儿童节前夕，某战士到福利院慰问儿童，战士们从营地出发，匀速步行前往文具店选购礼物，停留一段时间后，继续按原速步行到达福利院（营地、文具店、福利院三地依次在同一直线上），到达后因接到紧急任务，立即按原路匀速跑步返回营地（赠送礼物的时间忽略不计）．下列图象能大致反映战士们离营地的距离S与时间t之间函数关系的是 (　　)

A．　　　　           B．　　　　         C．                  D．

{答案}B

{解析}本题考查了距离与时间的图象．由题意可得，刚开始，战士们去文具店选购礼物，S随t的增大而增大，在选购礼物时，S随t的增大而保持不变，从文具店继续前往福利院时，S随t的增大而增大，当战士们返回营地时，S随t的增大反而减小，且在相同时间内，S减小的程度比先前增大的程度要大，因此本题选B．

{分值}3

{章节:[1-19-1-2] 函数的图象}

{考点:距离时间图象}

{类别:易错题}

{难度:3-中等难度}

{题目}8．（2019·齐齐哈尔市，8）学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有 (　　)

A．3种                  B．4种              C．5种                  D．6种

{答案}B

{解析}本题考查了二元一次方程的实际应用．设A品牌足球买了x个，B品牌足球买了y个，根据题意可得：60x+75y=1500，即4x+5y=100，∴y=20-x，∵x、y均是正整数，∴符合题意的解有，，，，共有4种情况，因此本题选B．

{分值}3

{章节:[1-8-1]二元一次方程组}

{考点:二元一次方程（组）的定义}

{考点:二元一次方程的解}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}9．（2019·齐齐哈尔市，9）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为 (　　)

A．27                    B．23               C．22                 D．18

{答案}C

{解析}本题考查了概率．由题意得：红球是5个，且随机摸出一个红球的概率是，所以球的总数为：5÷=50个，故黑球的个数为：50-5-23=22个，因此本题选C．

{分值}3

{章节:[1-25-1-2]概率}

{考点:概率的意义}

{考点:一步事件的概率}

{类别:思想方法}

{类别:易错题}

{难度:4-较高难度}

{题目}10．（2019·齐齐哈尔市，10）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（-3，0），其对称轴为直线x=，结合图象分析下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=，x2=；⑤＜0；⑥若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x-2）+3=0的两个根，则m＜-3且n＞2．其中正确的结论有(　　)

A．3个                B．4个              C．5个                 D．6个

（第10题图）

{答案}C

{解析}本题考查了二次函数的图象与不等式，一元二次方程的关系．如图，由二次函数图象开口向下，可得a＜0，又∵抛物线与x轴的交点（-3，0）关于直线x=的对称点是（2，0），不妨设y=a（x+3）（x-2）=ax2+ax-6a，∴b=a＜0，c= -6a＞0，∴abc＞0，即①正确；∵3a+c=3a-6a= -3a＞0，即②正确；∵当x≤时，y随x的增大而增大，当＜x＜0时， y随x的增大而减小，故③错误；∵对于方程cx2+bx+a=0，即为-6ax2+ax+a=0，∵a＜0，∴原方程可化为：6x2-x-1=0，∴x1=，x2=，故④正确；因为抛物线的顶点在第二象限，所以顶点纵坐标＞0，∴＜0，故⑤正确；∵方程a（x+3）（x-2）+3=0的两个根可以看作直线y= -3与抛物线的交点的横坐标，显然两个交点在x轴的下方，在-3和2的两侧，∴m＜-3且n＞2，故⑥正确；综上所述，正确的有①，②，④，⑤，⑥共5个，因此本题选C．

{分值}3

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}

{考点:二次函数的定义}

{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}

{考点:二次函数的系数与图象的关系}

{考点:抛物线与一元二次方程的关系}

{考点:抛物线与不等式（组）}

{类别:思想方法}

{类别:常考题}

{类别:易错题}

{难度:5-高难度}

{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．

{题目}11．（2019·齐齐哈尔市，11）预计到2025年我国高铁运营里程将达到38000公里，将数据38000用科学记数法表示为                ．

{答案}3.8×104

{解析}本题考查了科学记数法，其中38000=3.8×104．

{分值}3

{章节:[1-1-5-2]科学计数法}

{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}12．（2019·齐齐哈尔市，12）如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，BF=CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是                （只填一个即可）．

（第12题图）

{答案}AB=DE（∠A=∠D或∠ACB=∠DFE或AC∥DF）

{解析}本题考查了三角形全等的判定．∵ BF=CE，∴BF+FC=CE+CF，即BC=EF，又∵∠B=∠E，要使△ABC≌△DEF，或是∠B与∠E的另一条夹边对应相等，或是另一对角对应相等．

{分值}3

{章节:[1-12-2]三角形全等的判定}

{考点:两直线平行内错角相等}

{考点:全等三角形的判定SAS}

{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}13．（2019·齐齐哈尔市，13）将圆心角为216°，半径为5cm的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥的高为                cm．

{答案}4

{解析}本题考查了圆锥的母线，底面半径与侧面展开图的圆心角、圆锥的高之间的数量关系．∵θ=×360°，其中θ=216°，l=5cm，∴r=3cm，∴h==4．

{分值}3

{章节:[1-29-2]三视图}

{考点:几何体的展开图}

{考点:几何体的三视图}

{考点:圆锥侧面展开图}

{类别:常考题}

{类别:易错题}

{难度:3-中等难度}

{题目}14．（2019·齐齐哈尔市，14）关于x的分式方程-=3的解为非负数，则a的取值范围为                ．

{答案}a≤4且a≠3

{解析}本题考查了分式方程的解．由-=3，得2x-a+1=3（x-1），得x=4-a，∵关于x的分式方程的解为非负数，∴x≥0，且1-x≠0，∴4-a≥0，1-（4-a）≠0，得a≤4且a≠3．

{分值}3

{章节:[1-15-3]分式方程}

{考点:分式方程的解}

{考点:解含两个分式的分式方程}

{考点:分式方程的检验}

{考点:分式方程的增根}

{考点:不等式的解集}

{类别:常考题}

{类别:易错题}

{难度:3-中等难度}

{题目}15．（2019·齐齐哈尔市，15）如图，矩形ABOC的顶点B，C分别在x轴、y轴上，顶点A在第二象限，点B的坐标为（-2，0），将线段OC绕点O逆时针旋转60°至线段OD．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过A、D两点，则k的值为                ．

（第15题图）

{答案}

{解析}本题考查了反比例函数与几何图形的结合．如图，作DE⊥x轴，垂足为点E．不妨设矩形ABOC的一边长OC=m（m＞0），∴A（-2，m），C（0，m），∵OC绕点O逆时针旋转60°至线段OD，∴∠COD=60°，OD=OC=m，∴∠DOE=30°，∴DE=OD·sin30°=m，OE=OD·cos30°=m，∴D（-m，m），∵点A、D均在反比例函数y=的图象上，∴-2m= -m×m，∵m＞0，∴m=，∴A（-2，），∴k= -2×= -．

                                    （第15题解）

{分值}3

{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}

{考点:矩形的性质}

{考点:双曲线与几何图形的综合}

{考点:旋转的性质}

{考点:解直角三角形}

{考点:方程的解}

{类别:易错题}

{难度:4-较高难度}

{题目}16．（2019·齐齐哈尔市，16）等腰△ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BD=AC，则等腰△ABC底角的度数为                ．

{答案}45°或75°或15°

{解析}本题考查了等腰三角形的性质．如图①，在等腰△ABC中，若AC是底边，AB=CB，∵BD⊥AC，∴BD平分AC，∴AD=CD=AC，∵BD=AC，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵∠BDC=90°=∠A +∠ABD，∴∠A=∠ABD =45°，即等腰△ABC底角的度数为45°；如图②，若BC是底边，AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵BD⊥AC，BD=AC，∴BD=AB，∴∠BAD=30°，∵∠BAD=∠ABC +∠C =2∠C，∴∠C=15°，即等腰△ABC底角的度数为15°；如图③，若BC是底边，如上同理可得∠BAD=30°，∵∠BAD +∠ABC +∠C =180°，∴∠ABC=∠C=75°，即等腰△ABC底角的度数为75°；若AB是底边，同理可得等腰△ABC底角的度数为15°或75°；综上可得：等腰△ABC底角的度数为45°或15°或75°．

         图①                        图②                           图③

                                 （第16题解）

{分值}3

{章节:[1-13-2-1]等腰三角形}

{考点:等边对等角}

{考点:三线合一}

{考点:等腰直角三角形}

{考点:含30度角的直角三角形}

{考点:三角形的外角}

{类别:思想方法}

{类别:易错题}

{难度:4-较高难度}

{题目}17．（2019·齐齐哈尔市，17）如图，直线l：y=x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3，依此规律…，若图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2 B1B2的面积为S2，阴影△A3 B2B3的面积为S3…，则Sn=                ．

（第17题图）

{答案}

{解析}本题考查了一次函数与几何图形的结合，含有30度的直角三角形的边长关系．如图，对于y=x+1，可得：A（-，0），A1（0，1），∴AO=，A1O=1，∵∠A1OA=90°，∴tan∠A1AO==，∴∠A1AO =30°，∵AnBn⊥l（n为正整数），∴∠AnBn A=60°，∴BnBn+1=An+1Bn（n为正整数），OB1=A1O，∴Sn=AnBn-1·Bn-1Bn=AnBn-1·AnBn-1= AnBn-12（n≥2，且n为正整数）．其中A1O=1，OB1=A1O=，∴AB1=AO+ OB1=+=，∴A2B1=AB1=，∴B1B2=A2B1=，∴AB2=AB1+B1B2=+=，∴A3B2=AB2==，依次规律，可得AnBn-1=（n≥2，且n为正整数），∴Sn=AnBn-12=×=，经检验，当n=1时，上述关系式仍成立；综上所述，Sn=（n为正整数）．

{分值}3

{章节:[1-28-2-1]特殊角}

{考点:一次函数的图象}

{考点:一次函数与几何图形综合}

{考点:含30度角的直角三角形}

{类别:思想方法}

{类别:易错题}

{类别:发现探究}

{难度:4-较高难度}

{题型:3-解答题}三、解答题：本大题有7小题，共69分．

{题目}18．（2019·齐齐哈尔市，18）（1）计算： + -6tan60°+

（2）因式分解：a2+1-2a+4（a -1）．

{解析}本题考查了实数的综合运算能力，如负整数指数幂，算术平方根，60°的正切值，绝对值，以及因式分解——完全平方公式和提取公因式．在计算中，对负整数指数幂，算术平方根，60°的正切值，绝对值分别进行计算，再根据实数的运算法则求得计算结果；在因式分解中，先运用公式法对部分进行因式分解，再运用整体思想进行提取公因式．

{答案}解：（1）原式=3+-+-2=1．

         （2）原式=（a -1）2+4（a -1）=（a -1）（a -1+4）=（a -1）（a +3）．

{分值}10（第（1）小题6分，第（2）小题4分）

{章节:[1-14-3]因式分解}

{难度:2-简单}

{类别:常考题}

{类别:易错题}

{考点:算术平方根的应用}

{考点:特殊角的三角函数值}

{考点:实数与绝对值、相反数}

{考点:因式分解－提公因式法}

{考点:因式分解－完全平方式}

{题目}19．（2019·齐齐哈尔市，19）解方程：x2+6x= -7．

{解析}本题考查了一元二次方程的解法．根据题意可以用配方法求解，也可以把原方程化为一般式，利用公式法求解．

{答案}解：x2+6x +9= -7+9

         （x+3）2=2

           x+3=

 ∴x1= -3+，x2= -3-．

{分值}5

{章节:[1-21-2-1] 配方法}

{难度:3-中等难度}

{类别:常考题}

{类别:易错题}

{考点:配方法解一元二次方程}

{题目}20．（2019·齐齐哈尔市，20）如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD=AB，∠D=30°．

（1）求证：直线AD是⊙O的切线；

（2）若直径BC=4，求图中阴影部分的面积．

        （第20题图）

{解析}本题考查了切线的判定，三角形和扇形的面积计算．根据△ABD是以∠D=30°为底角的等腰三角形，利用等边对等角，直径所对的圆周角是90°等性质，通过角的和差关系证明∠DAO=90°即可证明AD是⊙O的切线；阴影部分的面积可以看作△ADO的面积减去扇形AOC的面积．

{答案}证明：（1）如图，连接AO，

∵AD=AB，∠D=30°，∴∠B=∠D=30°，

                ∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴∠ACB=60°，

                ∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，

                ∴∠CAO=60°，

                ∵∠D=30°，∠ACB=60°，∴∠DAC=30°，

                ∴∠DAO=∠CAO +∠DAC=90°，

∴AD是⊙O的切线．

（2）∵BC=4，∴OA=2，OD=4，

     ∴AD=ODcos30°=，

 ∴S△ADO=AO·AD=，

  又∵S扇形AOC==，

∴阴影部分面积=-．

（第20题解）

{分值}8

{章节:[1-28-3]锐角三角函数}

{难度:3-中等难度}

{类别:常考题}

{类别:易错题}

{考点:等边对等角}

{考点:等边三角形的判定}

{考点:直径所对的圆周角}

{考点:切线的判定}

{考点:特殊角的三角函数值}

{考点:扇形的面积}

{题目}21．（2019·齐齐哈尔市，21）齐齐哈尔市教育局想知道某校学生对扎龙自然保护区的了解程度，在该校随机抽取了部分学生进行问卷，问卷有以下四个选项：A．十分了解；B．了解较多；C．了解较少；D．不了解（要求：每名被调查的学生必选且只能选择一项）．现将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

（1）本次被抽取的学生共有            名；

（2）请补全条形图；

（3）扇形图中的选项“C．了解较少”部分所占扇形的圆心角的大小为            °；

（4）若该校共有2000名学生，请你根据上述调查结果估计该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生共有多少名？

{解析}本题考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体．因为“了解较少”的人有30人，占问卷人数的30%，所以总数为：30÷30%=100（名）；根据条形统计图，可得选项A、C、D所对应的总人数为：20+30+10=60，∴B组人数：100-60=40（名）；选项C所占圆心角为：30%×360°=108°；在抽取的100名学生中“十分了解”和“了解较多”的学生共有20+40=60（名），所以在2000名学生中，“十分了解”和“了解较多”的学生的人数是：60÷100×2000=1200（名）．

{答案}解：（1）本次被抽取的学生共有100名．

         （2）补全图形如下：

         （3）108°．

         （4）解：由题意可知：2000×60%=1200（名）

              ∴“十分了解”和“了解较多”的学生共有1200名．

{分值}10

{章节:[1-10-1]统计调查}

{难度:3-中等难度}

{类别:常考题}

{类别:易错题}

{考点:抽样调查}

{考点:扇形统计图}

{考点:条形统计图}

{题目}22．（2019·齐齐哈尔市，22）甲、乙两地间的直线公路长为400千米，一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行．货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶，1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计），最后两车同时到达甲地．已知两车距各自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

（1）货车的速度是      千米/小时，轿车的速度是       千米/小时，t值为       ；

（2）求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米．

（第22题图）

{解析}本题考查了一次函数的解析式和图象．（1）由图象可得货车1小时行驶50千米，则速度即为50km/h，所以从乙地到甲地的总时间为400÷50=8h，所以点C对应的坐标为（7，0），轿车一来一去共行驶480千米，中途有1小时的故障排除，所以行驶时间为7-1=6小时，则速度为480÷6=80km/h，所以t所对应的数为：240÷80=3；（2）轿车距离出发地的距离y与时间x的图象是一条折线，故在此应用分类讨论思想，利用待定系数法进行求解即可；（3）货车和轿车一开始是相向而行，当轿车恰好发生故障时，两车一共行驶的路程：240+50×（3+1）=440＞400，说明此时两车已经相遇，且相距40km，当轿车经1小时排除故障时，货车恰行驶50千米，此时两车相距50+40=90千米，此时货车共行驶3+1+1=5小时；当两车未相遇时，不妨设货车出发x小时后，两车相距90km，则：50x+80（x-1）+90=400，可得：x=3；综上所述，货车出发3小时或5小时时两车相距90km．

{答案}解：（1）50；80；3；

         （2）解：由题意得：A（3，240），B（4，240），C（7，0），

                  设直线OA的解析式为y=k1x（k1≠0）

                  ∴y=80x（0≤x＜3）；

                  当3≤x＜4时，y=240；

                  设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）

                  将B（4，240），C（7，0）代入上式：

                  ，得，

 ∴y= -80x+560（4≤x≤7），

                  ∴

          （3）3小时或5小时．

{分值}10

{章节:[1-19-2-2]一次函数}

{难度:4-较高难度}

{类别:思想方法}

{类别:常考题}

{类别:易错题}

{考点:待定系数法求一次函数的解析式}

{题目}23．（2019·齐齐哈尔市，23）综合与实践．

折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．

折一折：把边长为4的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF，如图①；点M为CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，展开后连接DN，MN，AN，如图②．

图①                                  图②

（一）填一填，做一做：

（1）图②中，∠CMD=                 ；线段NF=                 ；

（2）图②中，试判断△AND的形状，并给出证明．

剪一剪，折一折：将图②中的△AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点处，分别得到图③、图④．

图③                            图④

（二）填一填：

（3）图③中阴影部分的周长为                 ；

（4）图③中，若∠GN=80°，则∠HD=                 °；

（5）图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有                 对；

（6）如图④点落在边ND上，若=，则=                 （用含m、n的代数式表示）．

{解析}本题综合考查了折叠的性质，正方形的性质，30°的特殊角，等边三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等．（1）由折叠可得A、D关于直线EF成轴对称，∴AN=DN，又由折叠可得DN=DC=AD，∠CDM=∠NDM，∠DMC=∠NMD，CM=NM，易证△ADN是等边三角形，∴∠ADN=60°，∴∠NDC=30°，∴∠CDM=∠NDC=15°，∵∠CDM +∠DMC =90°，∴∠DMC =75°=∠NMD，∴∠NMF=30°，不妨设CM=NM =x，∴FM=NM·cos∠NMF= NM·cos30°=x，NF= NM·sin∠NMF= NM·sin30°=x，易证四边形CDEF是矩形，所以CF=DE，则x+x =2，得x=8-4，则NF=x=×（8-4）=4-2；（2）欲证△AND是等边三角形，可说明AD=DN=AN相等得证，或是通过说明∠EDN=60°，利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”得证；（3）对于阴影部分周长可通过折叠进行线段的等量转化，即得阴影部分周长即为△ADN的周长；由∠GN=80°，可得其邻补角为100°，∴∠AGH=∠AG=×100°=50°，由“三角形内角和为180°”可得∠AHG=70°，∴∠AH=2∠AHG=140°，∴∠HD =180°-∠AH=180°-140°=40°；易得3个阴影三角形中均有一个角为60°，且分别有一对对顶角相等，易证它们均相似，此时有3对，又由折叠可知△AHG≌△HG，所以一共有4对相似三角形；根据一线三等角的基本图形，易证△GN∽△HD，其中△GN的周长=NG+G+N=NG+AG+N=AN+N=4+N，同理可得△HD的周长=4+D，∵=，又∵D + N=4，∴N=，D =，根据“相似三角形的周长之比等于相似比”，可得：

=====．

{答案}解：（一）填一填，做一做：

（1）图②中，∠CMD=       75°        ；线段NF=                 ； 

（2）△AND是等边三角形，证明如下：

     由折叠可得：DN=CD=AD，

     ∵DE=AD，∴DE=DN，

     ∵EF⊥AD，∴∠END=30°，

     ∴∠ADN=60°，∴△ADN是等边三角形．

（二）填一填：

（3）图③中阴影部分的周长为   12              ；

（4）图③中，若∠GN=80°，则∠HD=        40°         ；

（5）图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有       4          对；

（6）如图④点落在边ND上，若=，则=              （用含m、n的代数式表示）．

{分值}12

{章节:[1-27-1-3]相似三角形应用举例}

{难度:4-较高难度}

{类别:思想方法}

{类别:易错题}

{考点:等边三角形的性质}

{考点:等边三角形的判定}

{考点:正方形的性质}

{考点:轴对称的性质}

{考点:轴对称图形}

{考点:解一元一次方程（移项）}

{考点:矩形的性质}

{考点:相似三角形的性质}

{考点:相似三角形的判定（两角相等）}

{考点:相似三角形周长的性质}

{题目}24．（2019· 齐齐哈尔市，24）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连结AC和BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为                    ；

（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；

（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

                                                  （备用图）

{解析}本题综合考查了抛物线的解析式，抛物线的轴对称性，“将军饮马”问题，面积最值，菱形的判定．（1）根据点A，C坐标，利用待定系数法即可求出抛物线解析式；（2）∵△ACD的周长=AC+AD+CD，其中AC为定值，即原问题等价于对称轴上一动点D到两定点A、C的距离之和最短，即为“将军饮马”问题，利用轴对称性可得AD+CD=BD+CD≥BC，即当B、C、D三点共线时，AD+CD之和最小，此时点D在D1的位置（如图①所示），由抛物线解析式可求得点B（3，0），对称轴为直线x=，又由点C（0，-6），利用待定系数法可求得BC解析式：y=2x-6，令x=，y=2×-6= -5，则点D坐标（，-5）；（3）设点E（x，x2-x-6），用含x的代数式表示△BCE面积，进而求出△BCE面积的最大值；（4）根据AC、CM是菱形的对角线和边进行分类讨论．由A（-2，0），C（0，-6），易得AC==，AC解析式：y= -3x-6，AC中点坐标（-1，-3），若AC是对角线，CM是边（如图②所示），根据“菱形的对角线互相垂直且平分”，可得MN解析式：y=（x+1）-3=x-，则M（0，-），∵MN与AC互相平分，∴，得，∴N（-2，-）；若AC是边，CM是对角线（如图③），则点A关于y轴的对称点即为点N，此时N（2，0）；若AC为边，CM也为边（如图④），则AN∥CM，且AN=AC=，∴N（-2，），同理在图⑤中可求得N（-2，），即符合题意的点N共有四个．

图①                图②              图③              图④           图⑤

（第24题解）

{答案}解：（1）∵OA=2，OC=6，∴A（-2，0），C（0，-6），

∴，∴，

∴y=x2-x-6；

         （2）D（，-5）；

（3）如图，过点E作直线EG⊥x轴于点G，交直线BC于点F，

设点E坐标为（x，x2-x-6），则点F（x，2x-6），

∴EF=（2x-6）-（x2-x-6）= -x2+3x，

∵S△BCE=S△CEF+S△BEF=EF·OG+EF·BG，

∴S△BCE=EF·OB=（-x2+3x）×3=x2+x，

∵0＜x＜3，

∴当x=时，△BCE的面积最大为S△BCE= ×（）2+×（）=，

把x=代入y=x2-x-6得：y=，所以此时点E的坐标为（，）；

（第24题解）

（4）存在N1（2，0），N2（-2，），N3（-2，），N4（-2，）．

{分值}14

{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数}

{难度:5-高难度}

{类别:思想方法}

{类别:易错题}

{考点:二次函数的定义}

{考点:含参系数的二次函数问题}

{考点:抛物线与一元二次方程的关系}

{考点:最短路线问题}

{考点:几何图形最大面积问题}

{考点:二次函数与平行四边形综合}

{考点:菱形的性质}

{考点:菱形的判定}

{考点:几何综合}