第八章 多元函数的微积分

一、空间直角坐标

1．空间直角坐标系：过空间一定点，作三条互相垂直的数轴，它们都以点为原

点且具有相同的长度单位。这三条轴分别称为轴（横轴）、轴（纵轴）和轴（竖轴）；它们的正向符合右手规则，即以右手握住轴，当右手的四个手指从正向轴以角度转向正向轴时，大拇指的指向就是轴的正向。这样的三条坐标轴就组成一个空间点的直角坐标系，点叫做坐标原点。

2．空间点的直角坐标系的坐标面：任意两条坐标确定的平面统称为坐标面（共有三

个），轴与轴所确定的坐标面称为面，轴与轴所确定的坐标面称为面，轴与轴所确定的坐标面称为面。

3．空间点的直角坐标系的卦限：三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为卦限。

含有轴、轴和轴正半轴的那个卦限称为第一卦限，其它第二、三、四卦限在面的上方，按逆时针方向确定，第五卦限在第一卦限下方，其它第六、七、八卦限在面的下方，按逆时针方向确定。如图

4．空间点的直角坐标

设为空间中一已知点，过点作三个平面分别垂直于轴、轴和轴，它们依

次与轴、轴和轴的交点分别为，在轴、轴和轴的坐标分别为，则点的坐标为。

二、空间中两点间的距离

设为空间中两点。过各作三个分别垂直于轴、轴和轴的平面，

则

例1  求证：以点三点为顶点的三角形是等要三角形。

三、曲面与方程

定义  如果曲面上任意一点的坐标都满足方程，而不在曲面上的坐标都不满足方程，则称方程为曲面的方程，而曲面称为方程的图形。

空间曲面研究的两个基本问题是:

(1) 已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;

(2) 已知曲面方程，研究曲面的几何形状.

例2  一动点与二定点的距离相等，求此动点的轨迹方程。

平面

平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程

来表示，反之亦然. 其中、、、是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.

例3 建立球心在点、半径为R的球面方程.

柱面

定义2 平行于某定直线并沿定曲线C移动的直线所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲线C称为柱面的准线, 动直线称为柱面的母线.

二次曲面

在空间直角坐标系中，我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面，从而得到平面与曲面一系列的交线（即截痕），通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌. 这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法. 

例4 （1）作的图形。（2）作的图形（3）作的图形

课堂练习

1.给定两点: 在轴上有一点A, 满足求点A的坐标.

2.指出方程组表示什么曲线.

3. 指出方程所表示的曲线.

   《微积分学习与考试指导》，赵树嫄、胡显佑等编，中国人民大学出版社，2004年7月

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§8.3 二元函数的概念与连

一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域

多元函数的定义  设为非空的元有序数组的集合，如果对于每一个有序数组，按照某一法则，都有确定的实数与之对应，则称此法则为定义在上的元函数。记为

其中称为自变量，称为因变量，称为函数的定义域，集合

称为函数的值域。特别地，当时，为一元函数；当时，为二元函数。

二元及二元以上的函数统称为多元函数。

二、二元函数的定义域与二元函数的图形

1．二元函数的定义域在几何上表示一个平面区域。

2．二元函数的图形

空间点集称为二元函数的图形。它是一张曲面。

三、  二元函数的极限与连续

（一）、二元函数的极限及运算法则

1．二元函数的极限

定义8.3  设函数在区域内有定义，是的内点或边界点。如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式

的一切点，都有

成立。则称常数为函数当时的极限，记作

注意：1、函数在点可以无定义；

 、点以任何方式趋于点，而不是以某些特殊方式。

例1设，求证：

例2考察函数

（1）（2）

在点的极限是否存在。

2．二元函数的极限的运算法则：与一元函数的极限的运算法则类似。

例3 （1） 求        （2）证明不存在.

 （二）、二元函数的连续性与间断

1．连续与间断

 定义8.4  设函数在开区域（或闭区域）内有定义，是的内点或边界点且。如果

则称函数在点连续。

 如果函数在内每一点都连续，则称函数在内连续。

定义8.5  如果在点不连续，则称点为的间断点。

注意：二元函数的间断点可以形成一条曲线。例如在上无定义。

2．有界闭区域上二元连续函数的性质

性质1（最大值与最小值定理）在有界闭区域上连续的二元函数，在上一定有最大值与最小值定理。即在上至少有两点，使得对于一切，都有

性质2（介值定理）在有界闭区域上连续的二元函数，如果在上取得两个不同的函数值，则它在上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。

3．二元连续函数的运算：

（1）二元连续函数的和、差、积仍为连续函数；

（2）在分母不为零处，二元连续函数的商为连续函数；

（3）二元连续函数的复合函数是连续函数。

4．二元初等函数的连续性：一切二元初等函数在其定义区域内是连续的。定义区域：是指包含在定义域内的区域（或闭区域）。

注意：利用3、4可以求二元初等函数的极限。一般地，如果是初等函数，且

是的定义域的内点，则在处连续，因此。

例3求下列极限

（1） （2）

   《微积分学习与考试指导》，赵树嫄、胡显佑等编，中国人民大学出版社，2004年7月

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1、偏导数的定义及其计算法

定义1 设函数在点的某一邻域内有定义, 当y 固定在而x在处有增量时, 相应地函数有增量

如果存在, 则称此极限为函数在点处对x的偏导数, 记为

例如，有

.

类似地，函数在点处对y的偏导数为

,

记为

上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之.

例1求在点(1, 2)处的偏导数.

例2求的偏导数.

例3 求三元函数的偏导数.

例4 求的偏导数.

   注意：关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：

（1）对一元函数而言，导数可看作函数的微分与自变量的微分的商. 但偏导数的记号是一个整体.

 （2）与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.

（3）在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续. 但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续. 

例如，二元函数

在点的偏导数为

但已经知道这函数在点处不连续.

2、偏导数的几何意义

设曲面的方程为，是该曲面上一点，过点作平面，截此曲面得一条曲线，其方程为

则偏导数表示上述曲线在点处的切线对轴正向的斜率。 同理，偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对y轴正向的斜率.

   3、高阶偏导数

设函数在区域内具有偏导数

则在内和都是、的函数. 如果这两个函数的偏导数存在，则称它们是函数的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的不同，共有下列四个二阶偏导数：

其中第二、第三两个偏导称为混合偏导数. 

 类似地，可以定义三阶、四阶、阶偏导数. 我们把二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

定理1 如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续, 则在该区域内有.

例5 设, 求

  例6 设, 求二阶偏导数.

例7 求的二阶偏导数.

练习：求二阶偏导数（1） （2）

   《微积分学习与考试指导》，赵树嫄、胡显佑等编，中国人民大学出版社，2004年7月

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引入问题：我们已经知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当其中一个自变量固定时，因变量对另一个自变量的变化率. 根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得

上面两式左端分别称为二元函数对x和对y的偏增量，而右端分别称为二元函数对x和对y的偏微分.

 在实际问题中，有时需要研究多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量，即所谓全增量的问题. 下面以二元函数为例进行讨论.

如果函数在点的某邻域内有定义，并设为这邻域内的任意一点，则称

为函数在点P对应于自变量增量的全增量，记为，即

一般来说，计算全增量比较复杂. 与一元函数的情形类似，我们也希望利用关于自变量增量的线性函数来近似地代替函数的全增量，由此引入关于二元函数全微分的定义.

    一、 全微分的定义

定义1 如果函数在点的全增量

可以表示为

其中A,B不依赖于而仅与x, y有关,则称函数在点可微分, 称为函数在点的全微分, 记为 即

.

若函数在区域D内各点处可微分，则称这函数在D内可微分.

二、二元函数可微的条件

定理1 (必要条件) 如果函数在点处可微分, 则该函数在点的偏导数必存在, 且在点处的全微分

.

我们知道，一元函数在某点可导是在该点可微的充分必要条件. 但对于多元函数则不然. 定理1 的结论表明，二元函数的各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件.

 由此可见，对于多元函数而言，偏导数存在并不一定可微.因为函数的偏导数仅描述了函数在一点处沿坐标轴的变化率，而全微分描述了函数沿各个方向的变化情况. 但如果对偏导数再加些条件，就可以保证函数的可微性. 一般地，我们有：

定理2 (充分条件) 如果函数的偏导数在点连续, 则函数在该点处可微分.

    三、 微分的计算

习惯上，常将自变量的增量、分别记为、，并分别称为自变量的微分. 这样，函数的全微分就表为

上述关于二元函数全微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元及三元以上的多元函数中去. 例如，三元函数的全微分可表为

例1求函数的全微分.

    例2 计算函数在点（2, 1）处的全微分.

例3求函数的全微分.

例4  求的全微分

 四、全微分在近似计算中的应用

设二元函数在点的两个偏导数 连续, 且都较小时, 则根据全微分定义，有

即 

由，即可得到二元函数的全微分近似计算公式

 (4.7)

例5 计算的近似值.

例6 测得矩形盒的边长为75cm、60cm、以及40cm, 且可能的最大测量误差为0.2cm. 试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差.

   《微积分学习与考试指导》，赵树嫄、胡显佑等编，中国人民大学出版社，2004年7月

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§8.7 隐函数的微分法

一、复合函数的微分法

1、定理  如果在点处的偏导数都存在，函数在对应点处的偏导数连续。则复合函数在点处的偏导数都存在，且

类似地，设在点处的偏导数都存在，函数在对应点处的偏导数连续。则复合函数在点处的偏导数都存在，且

特别地

 （1）如果，而函数。则复合函数有

 （2）如果，而函数。则复合函数有

 （3）如果，则复合函数有

 （4）如果，则复合函数有

 （5）如果，则复合函数有

例1 设，求。

例2设，求。

例3设，求。

例4设，具有二阶连续偏导数，求。

二、全微分形式不变性  设具有连续偏导数，则

如果，且这两个函数也具有连续偏导数，则复合函数

的全微分为：

即无论是自变量的函数还是中间变量的函数，它的全微分形式都是一样的。这一性质叫做全微分形式不变性。

例4  设，求。（利用全微分形式不变性求解）

三、隐函数的求导公式

 定理：（隐函数存在定理）  设函数在点的某邻域内具有连续偏导数。且 ，则方程在点的某邻域内能唯一确一单值连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有

  （8.4）

公式（1）就是隐函数的求导公式。

如果二阶偏导仍连续，则

例1  验证方程在点 某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数，当时的隐函数 ，并求这个函数的一阶与二阶导数在处值。

隐函数存在定理8.6 设函数在点的某邻域内具有连续偏导，且，则方程在点 的某邻域内恒能唯确定一个单值连续函数且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有

 （8.5）

例2  设 ，求。

例3 求由方程所确定的隐函数的偏导数

例4 设 求 

   《微积分学习与考试指导》，赵树嫄、胡显佑等编，中国人民大学出版社，2004年7月

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一、二元函数极值的概念

定义1 设函数在点的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于的任意一点, 如果

则称函数在有极大值；如果

则称函数在有极小值; 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.

定理1 (必要条件) 设函数在点具有偏导数, 且在点处有极值, 则它在该点的偏导数必然为零，即

与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.

定理2 (充分条件) 设函数在点的某邻域内有直到二阶的连续偏导数，又令

(1) 当时，函数在处有极值，

且当时有极小值；时有极大值；

(2) 当时，函数在处没有极值;

(3) 当时，函数在处可能有极值，也可能没有极值.

根据定理1与定理2，如果函数具有二阶连续偏导数，则求的极值的一般步骤为：

第一步 解方程组 求出的所有驻点；

第二步 求出函数的二阶偏导数，依次确定各驻点处A、 B、 C的值，并根据的符号判定驻点是否为极值点. 最后求出函数在极值点处的极值.

例1 求的极值

例2 求函数的极值. 

二、二元函数的最大值与最小值

求函数的最大值和最小值的一般步骤为:

 （1）求函数在内所有驻点处的函数值;

 （2）求在的边界上的最大值和最小值;

 （3）将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值.

在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，可以判断出函数的最大值（最小值）一定在的内部取得，而函数在内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数在上的最大值（最小值）.

三、条件极值 拉格朗日乘数法

前面所讨论的极值问题，对于函数的自变量一般只要求落在定义域内，并无其它条件，这类极值我们称为无条件极值. 但在实际问题中，常会遇到对函数的自变量还有附加条件的的极值问题. 对自变量有附加条件的极值称为条件极值.

拉格朗日乘数法

函数

在条件

下取得极值的必要条件为：

  设二元函数和在区域内有一阶连续偏导数，则求在内满足条件的极值问题，可以转化为求拉格朗日函数

（其中为某一常数）的无条件极值问题

拉格朗日乘数法：求函数在条件下取得极值的步骤：

（1）构造辅助函数；

（2）求出，并令

，解方程组

得出可能的极值点，若是实际问题，则符合实际要求的点（一般只有一个）就是极值点。.

注：拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件, 因此按照这种方法求出来的点是否为极值点, 还需要加以讨论. 不过在实际问题中, 往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点.

拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形:

例1 求点到平面的距离。

例2

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一、二重积分的概念

1，引例  求曲顶柱体的体积

曲顶柱体 ：设有一立体，它的底是面上的有界闭区域，它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面，它的顶是曲面，在有界闭区域上连续，且。

求曲顶柱体的体积

（1）将区域任意分成个小区域

且以表示第个小区域的面积，分别以这些小区域的边界曲线为准线，作母线平行于轴的柱面，这些小柱面把曲顶柱体分成个小曲顶柱体。以表示第个小曲顶柱体的体积。曲顶柱体的体积为：

（2）在每个小区域上任意取一点，作乘积，则

作和式

（3）用表示第个小区域的直径，记，当时，和式的极限就定义为曲顶柱体的体积，即

    2．二重积分的定义和在直角坐标系中的表示

定义8.8   设是有界闭区域上的有界函数。将区域任意分成个小区域

且以表示第个小区域的面积，在每个小区域上任意取一点，作乘积， 并作和式。用表示第个小区域的直径，记，如果无论对怎样分法，也无论点怎样取法，只要当时，和式的极限总存在，则称此极限为在上的二重积分，记作，即

其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分区域， 叫做积分和，叫做面积元素。

      注意

   （1）存在时，其极限与的分法，点的取法无关；

   （2）存在时，其极限与积分变量无关；

 二重积分在直角坐标系中可表示为：

其中叫做直角坐标系中面积元素。      

    二、二重积分的性质

 性质1  常数因子可以提到积分号前，即

性质2 代数和的积分等于积分的代数和，即

性质3 （对于区域的可加性）如果积分区域分成两个区域，则

性质4 如果，则

性质5如果，则

其中为的面积。

性质6 如果在上的最大值与最小值分别为与，则

性质7 （积分中值定理） 如果在上连续，则在上至少存在一点使得

成立。

    三、二重积分的计算

    1．利用直角坐标计算二重积分

 （1）设积分区域可表示为

此类区域的特点为：用平行于轴的直线穿过区域的内部时与的边界曲线相交恰好两个交点，称为—型区域。

则

 （2）设积分区域可表示为

 此类区域的特点为：用平行于轴的直线穿过区域的内部时与的边界曲线相交恰好两个交点，称为—型区域。

则

      (8.7)

注意 在计算时，把看成常数；在计算时，把看成常数。

（3）若区域既不是—型区域，也不是—型区域，则可用平行于坐标轴的直线把它分成几个部分区域，使每个部分区域是—型区域或—型区域，然后利用公式(8.6)或(8.7)计算。

计算二重积分的步骤：

（1）画出积分区域图，并确定积分区域的类型；

（2）若积分区域只是—型区域，则用公式(8.6)，若积分区域只是—型区域，则用公式(8.7)，积分区域既是—型区域又是—型区域，则要根据被积函数的特点确定用(8.6)还是用(8.7)计算。

例1计算二重积分  ，其中由围成。

例2计算二重积分  ，其中由围成。

例3计算二重积分  ，其中由围成。

例4计算二重积分  ，其中由围成。

例5计算二重积分  ，其中由围成。

2．利用极坐标计算二重积分

设通过原点的射线与区域的边界曲线的交点不多余两点，则二重积分在极坐标系下可表示为：

  （8.8）

其中叫做极坐标系中面积元素。

在极坐标系下的二重积分，也要化为二次积分计算：

（1）极点在区域之外，此时积分区域可表示为

则

 （8.9）

（2）极点在区域的边界上，此时积分区域可表示为

则

 (8.10)

（3）极点在区域的内部，此时积分区域可表示为

则

例6计算二重积分  ，其中由围成。

例7计算二重积分  ，其中由所确定的圆域。

例8计算积分

   《微积分学习与考试指导》，赵树嫄、胡显佑等编，中国人民大学出版社，2004年7月

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