高中二次函数专题

2015届文科数学高三复习

备课老师：梁老师 学生：               学号：                              

额外专题：高中二次函数（1课时）

1、分考点练习

1、熟练掌握二次函数的图象和性质。

A．b≥0      B．b≤0      C．b>0      D．b<0

〖分析〗二次函数的单调性受二次项系数（决定左增右减还是左减右增）和对称轴方程（决定单调性分界位置）共同制约。因函数的图象开口方向向上，对称轴方程为，则区间应是的子区间，，故选A。

【例题2】已知函数，如果a>b>c，且a+b+c=0，则它的图象可能是（    ）

〖分析〗即图象开口向上，与轴交点在原点下方，故应选D。

【例题3】集合={}，={}，，求实数的取值集合。

〖解答〗

2、合理选择二次函数的解析式

*三种常用表达式：

①（定义式）；

②（顶点式）；

③（两根式）。

【例题1】例2.根据下列条件，求二次函数的解析式．

（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；            

（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；

（3）函数图象与x轴交于两点(1－，0)和(1＋，0)，并与y轴交于(0，－2)．

3、透彻领悟“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的内在联系。

①二次函数的图象与轴的交点的横坐标即二次方程的根，且对称轴方程为；

②不等式（或）的解集为图象上方（或下方）的点的横坐标的集合。

【例题】已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集。

*一种应用：不等式恒成立的条件，令。

【例题1】若关于的不等式对一切实数都成立，求实数的取值范围。

〖解答〗

【例题2】已知函数对任意，恒成立，求满足的条件。

〖解答〗由已知只需

二、基础检验

A类练习：

（1）函数y＝－(x＋1)2＋2的顶点坐标是           

（2）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点有    个。

（3）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为       

（4）二次函数y＝－x2+2x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为         ．

    B类练习

1、二次函数f(x)=-x2+2x+8,。求其在以下各区间上的最大值及最小值：

⑴、[-2,0]     ⑵、[3,5]      ⑶、[-2,3]      ⑷、[-2,5] 

2、 不等式(x+2)(1-x)>0的解集是（    ）

A．{x|x<-2或x>1}  B．{x|-22}  D．{x|-13、已知集合，则集合=（    ）

A．{x|x<2}    B．{x|x>3}    C．{x|-14、.二次函数在y<0时x的取值范围是            。 

四 课后作业

1．(2008年高考辽宁卷)若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于(　　)

A．－2                     B．－1

C．1                       D．2

解析：选C.∵y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a是偶函数

∴1－a＝0，∴a＝1，故选C.

2．若f(x)＝x2－ax＋1有负值，则实数a的取值范围是(　　)

A．a>2或a<－2            B．－2C．a≠±2                  D．1解析：选A.f(x)有负值，则必须满足f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，其充要条件是：Δ＝(－a)2－4>0，a2>4即a>2或a<－2.

3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是(　　)

解析：选D.∵a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，得a＞0，c＜0(用反证法可得)，∴f(0)＝c＜0，∴只能是D.

4．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b＝________.

解析：∵f(x)＝(x－1)2＋1，∴f(x)在[1，b]上是增函数，

f(x)max＝f(b)，∴f(b)＝b，∴b2－2b＋2＝b，

∴b2－3b＋2＝0，∴b＝2或1(舍)．

答案：2

5．求下列二次函数的解析式：

(1)图象顶点坐标为(2，－1)，与y轴交点坐标为(0,11)；

(2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，且f(x＋1)－f(x)＝2x.

解：(1)法一：(一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

由题意，得解得

所以y＝3x2－12x＋11.

法二：(顶点式)设y＝a(x－2)2－1.

将(0,11)代入可得：11＝4a－1，于是a＝3，

所以y＝3(x－2)2－1＝3x2－12x＋11.

(2)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

由f(0)＝1，可知c＝1.

而f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b，

由f(x＋1)－f(x)＝2x，可得2a＝2，a＋b＝0.

因而a＝1，b＝－1，

所以f(x)＝x2－x＋1.

6．已知函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋6(a∈R)．

(1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a的值；

(2)若函数值为非负数，求函数f(a)＝2－a|a＋3|的值域．

解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，

∴Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0

⇒2a2－a－3＝0⇒a＝－1或a＝.

(2)∵对一切x∈R函数值均为非负数，

∴Δ＝8(2a2－a－3)≤0⇒－1≤a≤，

∴a＋3>0，

∵f(a)＝2－a|a＋3|＝－a2－3a＋2

＝－2＋，

∴二次函数f(a)在上单调递减．

∴f≤f(a)≤f(－1)，即－≤f(a)≤4，

∴f(a)的值域为.

7．已知函数f(x)＝ax2＋2x＋c(a、c∈N*)满足：①f(1)＝5；②6＜f(2)＜11.

求a、c的值；

解：(1)∵f(1)＝a＋2＋c＝5，

∴c＝3－a.①

又∵6＜f(2)＜11，即6＜4a＋c＋4＜11，②

将①式代入②式，得－＜a＜，

又∵a、c∈N*，∴a＝1，c＝2.