中考数学压轴题专题复习—二次函数的综合及详细答案

1．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

(1)求点A、B、C的坐标；

(2)点M(m，0)为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；

(3)当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；

(4)在(3)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方)．若FG＝22DQ，求点F的坐标．

【答案】(1)A(﹣3，0)，B(1，0)；C(0，3) ；(2)矩形PMNQ的周长＝﹣2m2﹣8m+2；(3) m＝

﹣2；S＝1

2

；(4)F(﹣4，﹣5)或(1，0)．

【解析】

【分析】

（1）利用函数图象与坐标轴的交点的求法，求出点A，B，C的坐标；

（2）先确定出抛物线对称轴，用m表示出PM，MN即可；

（3）由（2）得到的结论判断出矩形周长最大时，确定出m，进而求出直线AC解析式，即可；

（4）在（3）的基础上，判断出N应与原点重合，Q点与C点重合，求出DQ＝DC＝2，再建立方程（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4即可．

【详解】

(1)由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，C(0，3)．

令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，

解得，x＝﹣3或x＝l，

∴A(﹣3，0)，B(1，0)．

(2)由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x＝﹣1．

∵M(m，0)，

∴PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝(﹣m﹣1)×2＝﹣2m﹣2，∴矩形PMNQ的周长＝2(PM+MN)＝(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2＝﹣2m2﹣8m+2．(3)∵﹣2m2﹣8m+2＝﹣2(m+2)2+10，

∴矩形的周长最大时，m＝﹣2．

∵A(﹣3，0)，C(0，3)，

设直线AC的解析式y＝kx+b，

∴

30

3

k b

b

-+=⎧

⎨

=

⎩

解得k＝l，b＝3，∴解析式y＝x+3，令x＝﹣2，则y＝1，∴E(﹣2，1)，

∴EM＝1，AM＝1，

∴S＝1

2AM×EM＝

1

2

．

(4)∵M(﹣2，0)，抛物线的对称轴为x＝﹣l，

∴N应与原点重合，Q点与C点重合，

∴DQ＝DC，

把x＝﹣1代入y＝﹣x2﹣2x+3，解得y＝4，

∴D(﹣1，4)，

∴DQ＝DC

∵FG＝

，

∴FG＝4．

设F(n，﹣n2﹣2n+3)，则G(n，n+3)，

∵点G在点F的上方且FG＝4，

∴(n+3)﹣(﹣n2﹣2n+3)＝4．

解得n＝﹣4或n＝1，

∴F(﹣4，﹣5)或(1，0)．

【点睛】

此题是二次函数综合题，主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，解本题的关键是用m表示出矩形PMNQ的周长．

2．如图，直线y＝-1

2

x-3与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线y＝ax2+bx

﹣3与x轴的另一个交点为点B(2，0)，点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AD，DC．设点D的横坐标为m．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点D在第三象限，设△DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；

(3)连接BC，若∠EAD＝∠OBC，请直接写出此时点D的坐标．

【答案】(1)y ＝

14x 2+x ﹣3；(2)S △ADC =﹣34(m+3)2+274；△ADC 的面积最大值为274；此时D(﹣3，﹣

154

)；(3)满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21). 【解析】

【分析】 （1）求出A 坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE 与AC 的交点为点F.设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12

m ﹣3)，根据S △ADC ＝S △ADF +S △DFC 求出解析式，再求最值；（3）①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ．

②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y ＝

32

x+9，解方程组求出函数图像交点坐标.

【详解】 解：(1)在y ＝﹣

12

x ﹣3中，当y ＝0时，x ＝﹣6， 即点A 的坐标为：(﹣6，0)，

将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y ＝ax 2+bx ﹣3得： 366304230a b a b --=⎧⎨+-=⎩

， 解得：141

a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，

∴抛物线的解析式为：y ＝

14x 2+x ﹣3； (2)设点D 的坐标为：(m ，

14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)， 设DE 与AC 的交点为点F.

∴DF ＝﹣12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)＝﹣14m 2﹣32

m ，

∴S △ADC ＝S △ADF +S △DFC ＝12DF•AE+12•DF•OE ＝12DF•OA ＝1

2×(﹣14m 2﹣32

m)×6 ＝﹣

34m 2﹣92m ＝﹣34

(m+3)2+274， ∵a ＝﹣34

＜0， ∴抛物线开口向下，

∴当m ＝﹣3时，S △ADC 存在最大值

274， 又∵当m ＝﹣3时，

14m 2+m ﹣3＝﹣154， ∴存在点D(﹣3，﹣154)，使得△ADC 的面积最大，最大值为274

； (3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ． ②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，

直线AD′的解析式为y ＝32

x+9， 由2392134

y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得60x y =-⎧⎨=⎩或821x y =⎧⎨=⎩， 此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件，

综上所述，满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)

【点睛】

3．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C （0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP为等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x 轴一个动点，若∠MNC＝90°，请求出m的取值范围．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣

2,23）

5

5 4

m

-≤≤

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；

（2）由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（t，3﹣t），即可得D（t，﹣t2+2t+3），即可求得PD的长，然后分三种情况讨论，求点P的坐标；

（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m＝（n﹣3

2

）2﹣

5

4

，然后根

据n的取值得到最小值．

【详解】

解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3），

∴

10

3

b c

c

--+=

⎧

⎨

=

⎩

，解得b＝2，c＝3．

故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）令﹣x2+2x+3＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝3，

即B（3，0），

设直线BC的解析式为y＝kx+b′，

则330b k b ''=⎧⎨+=⎩

， 解得：k=-1,b’=3

故直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3；

∴设P （t ，3﹣t ），

∴D （t ，﹣t 2+2t +3），

∴PD ＝（﹣t 2+2t +3）﹣（3﹣t ）＝﹣t 2+3t ，

∵OB ＝OC ＝3，

∴△BOC 是等腰直角三角形，

∴∠OCB ＝45°，

当CD ＝PC 时，则∠CPD ＝∠CDP ，

∵PD ∥y 轴，

∴∠CPD ＝∠OCB ＝45°，

∴∠CDP ＝45°，

∴∠PCD ＝90°，

∴直线CD 的解析式为y ＝x +3，

解2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩得03x y =⎧⎨=⎩或14x y =⎧⎨=⎩

∴D （1，4），

此时P （1，2）；

当CD ＝PD 时，则∠DCP ＝∠CPD ＝45°，

∴∠CDP ＝90°，

∴CD ∥x 轴，

∴D 点的纵坐标为3，

代入y ＝﹣x 2+2x +3得，3＝﹣x 2+2x +3，

解得x ＝0或x ＝2，

此时P （2，1）；

当PC ＝PD 时，∵PC t ， ∴

＝﹣t 2+3t ，

解得t ＝0或t ＝3，

此时P （3）；

综上，当△CDP 为等腰三角形时，点P 的坐标为（1，2）或（2，1）或（3） （3）如图2，由（1）y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，

∴E （1，4），

设N （1，n ），则0≤n ≤4，

取CM 的中点Q （

2m ，32）， ∵∠MNC ＝90°，

∴NQ ＝12CM ， ∴4NQ 2＝CM 2， ∵NQ 2＝（1﹣

2m ）2+（n ﹣32）2， ∴4[（1﹣2m ）2+（n ﹣32

）2]＝m 2+9， 整理得，m ＝（n ﹣

32）2﹣54， ∵0≤n ≤4，

当n ＝32时，m 最小值＝﹣54

，n ＝4时，m ＝5， 综上，m 的取值范围为：﹣

54≤m ≤5．

【点睛】

此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．

4．如图，抛物线y=ax 2+6x+c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线y=x ﹣5经过点B ，C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．

②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为45+41

或

5-41

②点M的坐标为（13

6

，﹣

17

6

）或（

23

6

，﹣

7

6

）．

【解析】

分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到

∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以2，接着根据平行四边形的性质得到2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到2PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；

②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），

AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（1

2

，-

5

2

），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的

解析式为y=-1

5

x+b，把E（

1

2

，-

5

2

）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-

1

5

x-

12

5

，则

解方程组

5

112

55

y x

y x

-

⎧

⎪

⎨

--

⎪⎩

＝

＝

得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，

如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式得到3=13

+ 6

2

x

，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．

详解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5），

当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0），

把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得

25300

5

a c

c

++=

⎧

⎨

=-

⎩

，解得

1

5

a

b

=-

⎧

⎨

=-

⎩

，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；

（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0），

∵B（5，0），C（0，﹣5），

∴△OCB为等腰直角三角形，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∵AM⊥BC，

∴△AMB为等腰直角三角形，

∴AM=2

2

AB=

2

2

×4=22，

∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，

∴PQ=AM=22，PQ⊥BC，

作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，

∴222=4，

设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），

当P点在直线BC上方时，

PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，

当P点在直线BC下方时，

PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=

5+41

2

，m2=

5-41

2

，综上所述，P点的横坐标为4或

5+

41

2

或

5-41

2

；

②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，

∵M1A=M1C，

∴∠ACM1=∠CAM1，

∴∠AM1B=2∠ACB，

∵△ANB为等腰直角三角形，

∴AH=BH=NH=2，

∴N（3，﹣2），

易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（1

2

，﹣

5

2

，

设直线EM1的解析式为y=﹣1

5

x+b，

把E（1

2

，﹣

5

2

）代入得﹣

1

10

+b=﹣

5

2

，解得b=﹣

12

5

，

∴直线EM1的解析式为y=﹣1

5x﹣

12

5

解方程组

5

112

55

y x

y x

=-

⎧

⎪

⎨

=--

⎪⎩

得

13

6

17

6

x

y

⎧

=

⎪⎪

⎨

⎪=-

⎪⎩

，则M1（

13

6

，﹣

17

6

）；

作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），

∵3=13

+ 6

2

x

∴x=23

6

，

∴M 2（236，﹣76

）. 综上所述，点M 的坐标为（

136，﹣176）或（236，﹣76）． 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

5．如图1，二次函数234y ax ax a =--的图像与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点()0,3C -.

（1）求二次函数的表达式及点A 、点B 的坐标;

（2）若点D 在二次函数图像上，且45

DBC ABC S S =△△，求点D 的横坐标; （3）将直线BC 向下平移，与二次函数图像交于,M N 两点(M 在N 左侧)，如图2，过M 作ME y ∥轴，与直线BC 交于点E ，过N 作NF y ∥轴，与直线BC 交于点F ，当MN ME +的值最大时，求点M 的坐标.

【答案】（1）y ＝239344

x x --，A （﹣1，0），B （4，0）；（2）D 点的横坐标为22﹣2，2；（3）M （

13，﹣113） 【解析】

【分析】

（1）求出a ，即可求解；

（2）求出直线BC 的解析式，过点D 作DH ∥y 轴，与直线BC 交于点H ，根据三角形面积的关系求解；

（3）过点M 作MG ∥x 轴，交FN 的延长线于点G ，设M （m ，

34m 2﹣94m ﹣3），N （n ，34

n 2﹣94n ﹣3），判断四边形MNFE 是平行四边形，根据ME ＝NF ，求出m +n ＝4，

4

m2+3m+5﹣

5

2

m＝﹣

3

4

（m﹣

1

3

）2+

61

12

，即可求M；【详解】

（1）y＝ax2﹣3ax﹣4a与y轴交于点C（0，﹣3），

∴a＝

3

4

，

∴y＝

3

4

x2﹣

9

4

x﹣3，

与x轴交点A（﹣1，0），B（4，0）；

（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，

∴

40

3

k b

b

+=

⎧

⎨

=-

⎩

，

∴

3

4

3

k

b

⎧

=-

⎪

⎨

⎪=-

⎩

，

∴y＝

3

4

x﹣3；

过点D作DH∥y轴，与直线BC交于点H，

设H（x，

3

4

x﹣3），D（x，

3

4

x2﹣

9

4

x﹣3），

∴DH＝|

3

4

x2﹣3x|，

∵S△ABC＝115

53

23

⨯⨯=，

∴S△DBC＝415

52

⨯＝6，

∴S△DBC＝2×|

3

4

x2﹣3x|＝6，

∴x＝2+22，x＝2﹣22，x＝2；

∴D点的横坐标为2+22，2﹣22，2；

（3）过点M作MG∥x轴，交FN的延长线于点G，

设M（m，3

4

m2﹣

9

4

m﹣3），N（n，

3

4

n2﹣

9

4

n﹣3），

则E（m，3

4

m﹣3），F（n，

3

4

n﹣3），

∴ME＝﹣3

4

m2+3m，NF＝﹣

3

4

n2+3n，

∵EF∥MN，ME∥NF，

∴四边形MNFE是平行四边形，∴ME＝NF，

∴﹣3

4

m2+3m＝﹣

3

4

n2+3n，

∴m+n＝4，

∴MG＝n﹣m＝4﹣2m，

∴∠NMG＝∠OBC，

∴cos∠NMG＝cos∠OBC＝MG OB

MN BC

,∵B（4，0），C（0，﹣3），

∴OB＝4，OC＝3，

在Rt△BOC中，BC＝5，

∴MN＝5

4（n﹣m）＝

5

4

（4﹣2m）＝5﹣

5

2

m，

∴ME+MN＝﹣3

4

m2+3m+5﹣

5

2

m＝﹣

3

4

（m﹣

1

3

）2+

61

12

，

∵﹣3

4

＜0，

∴当m＝1

3

时，ME+MN有最大值，

∴M（1

3，﹣

11

3

）

【点睛】

本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，结合三角形的性质解题.

6．如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线

y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．

【解析】

试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC 的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；

（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．

试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，

∴B（3，0），C（0，3），

把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，

∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；

（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），

设M（2，t），且C（0，3），

∴MC=，MP=|t+1|，PC=，

∵△CPM为等腰三角形，

∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，

①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；

②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；

③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣

1+2）或（2，﹣1﹣2）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；

（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，

设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），

∵0＜x＜3，

∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，

∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），

即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．

考点：二次函数综合题．

7．如图，已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）。

（1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；

（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为

S2，且S1=6S2，求点P的坐标。

【答案】（1）

（2）

（3）P的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）

【解析】

【分析】

（1）由B（5，0），C（0，5），应用待定系数法即可求直线BC与抛物线的解析式。（2）构造MN关于点M横坐标的函数关系式，应用二次函数最值原理求解。

（3）根据S1=6S2求得BC与PQ的距离h，从而求得PQ由BC平移的距离，根据平移的性质求得PQ的解析式，与抛物线联立，即可求得点P的坐标。

【详解】

解：（1）设直线BC的解析式为，

将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。

∴直线BC的解析式为。

将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。

∴抛物线的解析式。

（2）∵点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，∴设M。

∵点N是直线BC上与点M横坐标相同的点，∴N。

∵当点M在抛物线在x轴下方时，N的纵坐标总大于M的纵坐标。

∴。

∴MN的最大值是。

（3）当MN取得最大值时，N。

∵的对称轴是，B（5，0），∴A（1，0）。∴AB=4。

∴。

由勾股定理可得。

设BC与PQ的距离为h，则由S1=6S2得：，即。

如图，过点B作平行四边形CBPQ的高BH，过点H作x轴的垂线交点E ，则

BH=，EH是直线BC沿y轴方向平移的距离。

易得，△BEH 是等腰直角三角形， ∴EH=

。

∴直线BC 沿y 轴方向平移6个单位得PQ 的解析式：

或

。

当

时，与联立，得

，解得

或

。此时，点P 的坐标为（－1，12）或（6，5）。

当

时，与

联立，得 ，解得

或

。此时，点P 的坐标为（2，－3）或（3，－

4）。

综上所述，点P 的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）。

8．当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． （1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y （本）与销售单价x （元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．

（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠(06)a a <≤元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a 的值．

【答案】（1）10500(3038)y x x =-+；（2）2a =． 【解析】 【分析】

（1）根据题意列函数关系式即可；

（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．根据题意得到w=（x-20-a ）（-10x+500）=-10x 2+（10a+700）x-500a-10000（30≤x≤38）求得对称轴为x ＝35+1

2

a ，且0＜a ≤6，则30＜35+

12a ≤38，则当1

352x a =+时，w 取得最大值，解方程得到a 1=2，a 2=58，于是得到a=2．

【详解】

解：（1）根据题意得，()()2501025105003038y x x x =--=-+； （2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．

()()()()220105001010700500100003038w x a x x a x a x =---+=-++--

对称轴为x ＝35+12a ，且0＜a ≤6，则30＜35+1

2

a ≤38， 则当1

352

x a =+时，w 取得最大值， ∴1135201035500196022a a x a ⎡⎤⎛⎫⎛

⎫+

---++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝

⎭⎝⎭⎣⎦

∴122,58a a ==（不合题意舍去），

∴2a =． 【点睛】

本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型．

9．抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A （1，0），B （m ，0），与y 轴交于C ．

（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；

（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x 轴于D ，在对称轴左侧的抛物线上有一点E ，使S △ACE =

S △ACD ，求点E 的坐标；

（3）如图2，设F （﹣1，﹣4），FG ⊥y 于G ，在线段OG 上是否存在点P ，使∠OBP=∠FPG ？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x 2+2x ﹣3=（x+1）2﹣4；对称轴是：直线x=﹣1；（2）点E 的坐标为E （﹣4，5）（3）当﹣4≤m ＜0或m=3时，在线段OG 上存在点P ，使∠OBP=∠FPG. 【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，并配方求对称轴；（2）如图1，

设E（m，m2+2m﹣3），先根据已知条件求S△ACE=10，根据不规则三角形面积等于铅直高度与水平宽度的积列式可求得m的值，并根据在对称轴左侧的抛物线上有一点E，则点E 的横坐标小于﹣1，对m的值进行取舍，得到E的坐标；

（3）分两种情况：①当B在原点的左侧时，构建辅助圆，根据直径所对的圆周角是直角，只要满足∠BPF=90°就可以构成∠OBP=∠FPG，如图2，求出圆E与y轴有一个交点时的m值，则可得取值范围；②当B在原点的右侧时，只有△OBP是等腰直角三角形，

△FPG也是等腰直角三角形时满足条件，直接计算即可．

试题解析：（1）当m=﹣3时，B（﹣3，0），

把A（1，0），B（﹣3，0）代入到抛物线y=x2+bx+c中得：，解得，

∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；对称轴是：直线x=﹣1；

（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），

由题意得：AD=1+1=2，OC=3，

S△ACE=S△ACD=×ADOC=×2×3=10，

设直线AE的解析式为：y=kx+b，

把A（1，0）和E（m，m2+2m﹣3）代入得，

，解得：，

∴直线AE的解析式为：y=（m+3）x﹣m﹣3，∴F（0，﹣m﹣3），

∵C（0，﹣3），∴FC=﹣m﹣3+3=﹣m，∴S△ACE=FC（1﹣m）=10，

﹣m（1﹣m）=20，m2﹣m﹣20=0，

（m+4）（m﹣5）=0，

m1=﹣4，m2=5（舍），

∴E（﹣4，5）；

（3）如图2，当B在原点的左侧时，连接BF，以BF为直径作圆E，当⊙E与y轴相切时，设切点为P，

∴∠BPF=90°，∴∠FPG+∠OPB=90°，∵∠OPB+∠OBP=90°，∴∠OBP=∠FPG，

连接EP，则EP⊥OG，

∵BE=EF，∴EP是梯形的中位线，∴OP=PG=2，

∵FG=1，tan∠FPG=tan∠OBP=，

∴，∴m=﹣4，

∴当﹣4≤m＜0时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG；如图3，当B在原点的右侧时，要想满足∠OBP=∠FPG，

则∠OBP=∠OPB=∠FPG，∴OB=OP，

∴△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形，

∴FG=PG=1，∴OB=OP=3，∴m=3，

综上所述，当﹣4≤m＜0或m=3时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG．

考点：二次函数的综合题.

10．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求证：AO=AM；

（3）探究：

①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；

②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．

【答案】解：（1）y=x2﹣1

（2）详见解析

（3）详见解析

【解析】

【分析】

（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解。

（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证。

（3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入计算即可得解；

②设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出，再联立抛物线与

直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出

x1+x2，x1•2，并求出x12+x22，x12•x22，然后代入进行计算即可得解。

【详解】

解：（1）∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），

∴，解得。

∴抛物线的解析式为y=x2﹣1。

（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），则。

∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2。∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1。

∴AO=AM。

（3）①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，

∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，

∴。

②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），则。联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，

由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，x12•x22=16。

∴。

∴无论k取何值，的值都等于同一个常数1。