函数对称性、周期性和奇偶性规律总结

关岭民中数学组

(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：〔奇偶性是一种特殊的对称性〕

1、奇偶性:〔1〕 奇函数关于〔0，0〕对称，奇函数有关系式

〔2〕偶函数关于y〔即x=0〕轴对称，偶函数有关系式 

 2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性     

〔1〕函数的轴对称：

函数关于对称

也可以写成 或 

假设写成：，那么函数关于直线 对称

     证明：设点在上，通过可知，，即点上，而点与点关于x=a对称。得证。

说明：关于对称要求横坐标之和为，纵坐标相等。

∵ 关于对称，∴函数关于对称

       ∵关于对称，∴函数关于对称

       ∵关于对称，∴函数关于对称

〔2〕函数的点对称：

函数关于点对称

 或 

假设写成：，函数关于点 对称

    证明：设点在上，即，通过

可知，，所以，所以点

也在上，而点与关于对称

得证。

 说明: 关于点对称要求横坐标之和为,纵坐标之和为,如 之和为 。

〔3〕函数关于点对称:假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0，那么有可能会出现关于对称，比方圆它会关于y=0对称。

〔4〕复合函数的奇偶性的性质定理：

性质1、复数函数y＝f[g(x)]为偶函数，那么f[g(－x)]＝f[g(x)]。

　　复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，那么f[g(－x)]＝－f[g(x)]。

性质2、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，那么f(x＋a)＝f(－x＋a)；

　　复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，那么f(－x＋a)＝－f(a＋x)。

性质3、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，那么y＝f(x)关于直线x＝a轴对称。

　　复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，那么y＝f(x)关于点(a,0)中心对称。

总结：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程

总结：x的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。

总结：x的系数同为为1，具有周期性。

(二)、两个函数的图象对称性

1、与关于X轴对称。

证明：设上任一点为 那么，所以经过点

∵与关于X轴对称，∴与关于X轴对称.

注：换种说法：与假设满足，即它们关于对称。

2、与关于Y轴对称。

证明：设上任一点为那么，所以经过点

       ∵与关于Y轴对称，∴与关于Y轴对称。

注：因为代入得所以经过点

换种说法：与假设满足，即它们关于对称。

3、与关于直线 对称。

证明：设上任一点为那么，所以经过点

∵与关于轴对称，∴与关

于直线 对称。

注：换种说法：与假设满足，即它们关于对称。

4、与关于直线对称。

证明：设上任一点为那么，所以经过点

∵与关于轴对称，∴与关于直线对称.

注：换种说法：与假设满足，即它们关于对称。

5、关于点(a,b)对称。

证明：设上任一点为那么，所以经过点

∵与关于点(a,b)对称，∴关于点(a,b)对称.

注：换种说法：与假设满足，即它们关于点(a,b)对称。

6、与关于直线对称。

证明：设上任一点为那么，所以经过点,经过点,∵与关于直线对称，

∴与关于直线对称。

三、总规律：定义在Ｒ上的函数，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，那么第三条一定存在。

一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)

(一)、函数的周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

1、周期性：

 〔1〕函数满足如下关系式，那么

   A、  B、

   C、或〔等式右边加负号亦成立〕

   D、其他情形

   〔2〕函数满足且，那么可推出

即可以

得到的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x

轴两条直线对称，那么函数一定是周期函数〞

〔3〕如果奇函数满足那么可以推出其周期是2T，且可以推出对称

轴为，根据可以找出其对称中心为

〔以上〕

 如果偶函数满足那么亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为 〔以上〕

〔4〕如果奇函数满足〔〕，那么函数是

以4T为周期的周期性函数。如果偶函数满足

〔〕，那么函数是以2T为周期的周期性函数。

定理1：假设函数在R上满足，且〔其

中〕，那么函数以为周期.

 定理2：假设函数在R上满足，且

〔其中〕，那么函数以为周期.

定理3：假设函数在R上满足，且〔其

中〕，那么函数以为周期.

定理4：假设函数f(x)的图像关于直线x=a和x=b都对称，那么f(x)是周期函数，2〔b-a〕是它的一个周期〔未必是最小正周期〕。

定理5：假设函数f(x)的图像关于点〔a,c〕和(b,c)都成中心对称，那么f(x)是周期函数，2〔b-a〕是它的一个周期〔未必是最小正周期〕。

定理6：假设函数f(x)关于点〔a,c〕和x=b都对称，那么f(x)是周期，4〔b-a〕是它的一个周期〔未必是最小正周期〕。

定理7：假设函数f(x)满足f(x-a)=f(x+a)(a>0),那么f(x)是周期函数，2a是它的一个周期。

定理8：假设函数f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0)(或f(x+a)=或f(x+a)=－)那么f(x)周期函数，2a是它的一个周期。

定理9：假设函数,那么f(x)是周期函数，4a是它的一个周期。

假设f(x)满足,那么f(x)是周期函数，2a是它的一个周期。