初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式

完全平方公式与平方差公式

一．知识要点

1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式

完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2

平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2

立方和（差）公式：(a±b)(a2ab+b2)=a3±b3

3．公式的推广

（1）多项式平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

（2）二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3

(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4

（a±b)5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5

…………

注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律

4．公式的变形及其逆运算

由（a+b）2=a2+2ab+b2   得 a2+b2=(a+b)2－2ab

由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)  得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)

5．由平方差、立方和（差）公式引伸的公式

（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4  

  (a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5

(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6

…………

注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律

在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数

(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n

(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1

类似地：

（a－b）(an－1+an－2b+an－3b2+…＋abn－2+bn－1)=an－bn　

由公式的推广③可知：当n为正整数时

an－bn能被a－b整除,

  a2n+1+b2n+1能被a+b整除,

a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

二．例题精选

例1．已知x、y满足x2+y2+=2x+y,求代数式的值。

例2．整数x,y满足不等式x2+y2+1≤2x+2y,求x+y的值。

例3．同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.

甲商场:第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b;

乙商场:两次提价的百分率都是  (a>0,b>0);

丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,

则哪个商场提价最多?说明理由.

例4．计算:

(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1；

(2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452.

例5．已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为(     )

A.0       B.1      C.2        D.3

例6．已知（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（     ）

A.      B.       C.       D.不能确定

例7．若x2-13x+1=0,则x4+的个位数字是(     )

    A.1       B.3      C.5       D.7

例8．有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场),用x1,y1顺次表示第一号选手胜与负的场数;用x2,y2顺次表示第二号选手胜与负的场数,……;用x10,y10顺次表示十号选手胜与负的场数.求证:x12+x22+……+x102=y12+y22+……+y102。

三．同步练习

1．乘积(1-)(1-)……(1-)(1-)等于(     )

A.        B.       C.       D. 

2．已知a、b满足等式x=a2+b2+20,y=4(2b-a),则x、y的大小关系是(     )

   A.x≤y      B.x≥y C.xy

3．已知，则a2－b2－2b的值为（     ）

A．4              B．3             C．1                D．0

4．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z=________。

5．计算:(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655=_______；

(2)19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________。

6．已知a+=5,则==_____。

7．已知两个连续奇数的平方差为2000,则这两个连续奇数可以是______.

8．已知a2+b2+4a-2b+5=0,则=_____.

9．若代数式可化为，则b﹣a的值是       ．

10．已知a、b、c均为正整数,且满足a2+b2=c2,又a为质数. 证明:

(1)b与c两数必为一奇一偶；

(2)2(a+b+1)是完全平方数.

参：

一．例题精选

例1．提示:由已知得(x-1)2+(y-)2=0,得x=1,y=,原式=

例2．原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x、y为整数,

(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,

所以可能有的结果是或或,

解得或 或 或 ,x+y=1或2或3

例3．甲、乙、丙三个商场两次提价后,价格分别为

(1+a)(1+b)=1+a+b+ab;

(1+)·(1+)=1+(a+b)+( )2;

(1+b)(1+a)=1+a+b+ab;

因()2-ab>0,所以()2>ab,

故乙商场两次提价后,价格最高.

例4．(1)原式=(7-1)(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1=716

    (2)设1.345=x,则原式=x(x-1)·2x-x3-x(x-1)2=-x=-1.345

例5．

例6．【分析】可用特殊值法或差值法．特殊值法：取m=15，分别代入得P=6，Q=217，故P＜Q；差值法：P-Q===＜0，故P＜Q．【答案】C

例7．

例8．提示:由题意知:xi+yi=9(i=1,2,…,10)且x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10

    因(x12+x22+…+x102)-(y12+y22…+y102)=(x12-y12)+(x22-y22)+…+(x102-y102)

    =(x1+y1)(x1-y1)+(x2+y2)(x2-y2)+…+(x10+y10)(x10-y10)

    =9[(x1+x2+…+x10)-(y1+y1+…+y10)]=0

二．同步练习

9．，这个代数式于相等，因此对应的系数相等，即﹣2a＝﹣6，解得a＝3，，将a＝3代入得b＝8，因此b﹣a＝5．

10．解:(1)因(c+b)(c-b)=a2,又c+b与c-b同奇同偶,c+b>c-b,

故a不可能为偶质数2,a应为奇质数,c+b与c-b同奇同偶,b与c必为一奇一偶.

(2)c+b=a2,c-b=1,两式相减,得2b=a2-1,

于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.