2005常州中考数学试题及答案

一、填空题（本大题每个空格1分，共18分，把答案填在题中横线上）

1．的相反数是       ，的绝对值是       ，的倒数是       ．

2．          ，           ．

3．将1300000000用科学记数法表示为           ．

4．用计算器计算:sin35°≈         ，         . (保留4个有效数字)

5．小明五次测试成绩如下:91、、88、90、92，则这五次测试成绩的平均数是           ，方差是           

6．如图，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于        cm，四边形EFGH的面积等于   　    cm2. 

7.10张卡片分别写有0至9十个数字,将它们放入纸箱后,任意摸出一张,则P(摸到数字2)=        ,P(摸到奇数)=         .

8.已知抛物线的部分图象如图,则抛物线的对称轴为直线x=        ,满足y＜0的x的取值范围是        ,将抛物线向    平移    个单位,则得到抛物线.

二、选择题（每题2分，共18分）

9.在下列实数中，无理数是 

A、5        B、0        C、        D、

10．将100个数据分成8个组，如下表：

A、12       B、13        C、14         D、15

11．如果某物体的三视图是如图所示的三个图形，

那么该物体的形状是

A、正方体       B、长方体        C、三棱柱        D、圆锥

12．下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子：

将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是

A、③④②①        B、②④③①        C、③④①②        D、③①②④

13．如图，已知AB∥CD，直线分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，若∠EFG=40°，则∠EGF的度数是 

A、60°        B、70°        C、80°        D、90°

14．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于

A、44°      B、68°    C、46°      D、22°

15．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6，则梯形ABCD的面积是                                                         

A、    B、    C、    D、

16．若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积超过7，则正方体的个数至少是 

A、2             B、3             C、4              D、5

17．某水电站的蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示.已知某天0点到6点,进行机组试运行,试机时至少打开一个水口,且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示:

给出以下3个判断:

①0点到3点只进水不出水；②3点到4点,不进水只出水；③4点到6点不进水不出水. 则上述判断中一定正确的是

A、①        B、②        C、②③        D、①②③

三、解答题（本大题共2小题，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18．（本小题满分10分）化简：

（1）；             （2）

19．（本小题满分8分）解方程（组）：

（1）；                   （2）

三、解答题（本大题共2小题，共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20．（本小题满分5分）

如图，在中，点、、分别在、、上，，，且是的中点．

求证： 

21．（本小题满分7分）

如图，已知为等边三角形，、、分别在边、、上，且也是等边三角形．

（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；

（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．

五、解答题（本大题共2小题，共15分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

22．（本小题满分8分）

有100名学生参加两次科技知识测试，条形图显示两次测试的分数分布情况．

请你根据条形图提供的信息，回答下列问题（把答案填在题中横线上）；

（1）两次测试最低分在第            次测试中；

（2）第           次测试较容易；

（3）第一次测试中，中位数在               分数段，第二次测试中，中位数在               分数段．

23．（本小题满分７分）

某中学七年级有6个班，要从中选出2个班代表学校参加某项活动，七（1）班必须参加，另外再从七（2）至七（6）班选出1个班．七（4）班有学生建议用如下的方法：从装有编号为1、2、3的三个白球袋中摸出1个球，再从装有编号为1、2、3的三个红球袋中摸出1个球（两袋中球的大小、形状与质量完全一样），摸出的两个球上的数字和是几，就选几班，你人为这种方法公平吗？请说明理由．

六、画图与说理（本大题共2小题，共12分）

24．（本小题满分6分）

如图，在中，，，．

（1）在方格纸①中，画，使∽，且相似比为2︰1；

（2）若将（1）中称为“基本图形”，请你利用“基本图形”，借助旋转、平移或轴对称变换，在方格纸②中设计一个以点为对称中心，并且以直线为对称轴的图案．

25．（本小题满分6分）

如图，有一木制圆形脸谱工艺品，、两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．

理由是：

七、解答题（本大题共3小题，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

26．（本小题满分７分）

七（２）班共有50名学生，老师安排每人制作一件型或型的陶艺品，学校现有甲种制作材料36，乙种制作材料29，制作、两种型号的陶艺品用料情况如下表：

（2）请你根据学校现有材料，分别写出七（2）班制作型和型陶艺品的件数．

26．（本小题满分8分）

有一个，，，，将它放在直角坐标系中，使斜边在轴上，直角顶点在反比例函数的图象上，求点的坐标．

26．（本小题满分12分）

已知⊙的半径为1，以为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形，顶点的坐标为（，0），顶点在轴上方，顶点在⊙上运动．

（1）当点运动到与点、在一条直线上时，与⊙相切吗？如果相切，请说明理由，并求出所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；

（2）设点的横坐标为，正方形的面积为，求出与的函数关系式，并求出的最大值和最小值．

参及评分标准

一、填空题（每个空格1分，共18分）

1、;    2、1   ，4 ；    3、1.3×109 ;    4、0.5736 ,    6.403;

5、90，2 ；      6、，8 ；  7、     8、x=3 ， 1＜x＜5 ，上 ，4

二、选择题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）

18、解：（1）原式=……………………………………4分

                = ………………………………………………5分

（2）原式=…………………………………2分

         =…………………………………………4分

         =………………………………………………5分

19、解：（1）去分母，得  x=3（x-2）……………………………………1分

解得， x=3…………………………………………2分

经检验： x=3是原方程的根.……………………3分

∴原方程的根是x=3                        4分

（2）

      ②－①，得x=3………………………………………………2分

      把x=3代入①，得3＋y=5 ， ∴y=2………………………3分

     ∴方程组的解为………………………………………4分

四、解答题（第20题5分，第21题7分，共12分）

20、证明：∵DE∥BC,EF∥AB,

          ∴四边形BDEF是平行四边形                           2分

          ∴DE=BF                                             3分

          ∵F是BC的中点

          ∴BF=CF                                             4分

          ∴DE=CF                                             5分

21、解：（1）图中还有相等的线段是：AE=BF=CD，AF=BD=CE          2分

事实上，∵△ABC与△DEF都是等边三角形，

        ∴∠A=∠B=∠C=60°，∠EDF=∠DEF=∠EFD=60°,DE=EF=FD          3分

        又∵∠CED+∠AEF=120°，∠CDE+∠CED=120°

          ∴∠AEF=∠CDE，同理，得∠CDE=∠BFD，                       4分

          ∴△AEF≌△BFD≌△CDE（AAS），

          所以AE=BF=CD，AF=BD=CE                                     5分

（2）线段AE、BF、CD它们绕△ABC的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120°，可互相得到，线段AF、BD、CE它们绕△ABC的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120°,可互相得到。                                                            7分

注：其他解法，按以上标准相应给分。

五、解答题（第22题8分，第23题7分，共15分）

22、答：（1）第一次；                                                  2分

（2）第二次；                                                  4分

（3） 第一次分数的中位数在20~39分数段                         6分

第二次分数的中位数在40~59分数段                         8分 

23、解：方法不公平。

说理方法一：用表格来说明，

所以，七（2）班被选中的概率为，七（3）班被选中的概率为，七（4）班被选中的概率为，七（5）班被选中的概率为，七（6）班被选中的概率为，     5分

所以，这种方法不公平                                                    7分

六、画图与说理（第24题6分，第25题6分，共12分）

24、解：图不唯一 ，略 。第（1）题2分；第（2）题4分。

25、解：

画图正确                                                              4分

方法一：如图①，画TH的垂线L交TH于D，则点D就是TH的中点。

依据是垂径定理。                                              5分

方法二：如图②，分别过点T、H画HC⊥TO，TE⊥HO，HC与TE相交于点F，过点O、F画直线L交HT于点D，则点D就是HT的中点。

由画图知，Rt△HOC≌Rt△TOE，易得HF=TF，又OH=OT

所以点O、F在HT的中垂线上，所以HD=TD                                 6分

方法三：如图③，（原理同方法二）                                        6分

注：其它解法，按以上标准相应给分

七、解答题（第26题7分，第27题8分，第28题12分，共27分）

26、解：（1）由题意得：

                                    2分

由①得，x≥18，由②得，x≤20，

所以x的取值得范围是18≤x≤20（x为正整数）                         4分

（2）制作A型和B型陶艺品的件数为：

①制作A型陶艺品32件，制作B型陶艺品18件；                        5分

②制作A型陶艺品31件，制作B型陶艺品19件；                        6分

③制作A型陶艺品30件，制作B型陶艺品20件；                        7分

27、解：本题共有4种情况。

如图①，过点A做AD⊥BC于D

则AD=ABsin60°=，∴点A的纵坐标为                           1分

将其代入y=，得x=2，即OD=2                                      2分

在Rt△ADC中，DC=，所以OC=，

即点C1的坐标为（）                                              3分

（2）如图②，过点A作AE⊥BC于E

则AE=，OE=2，CE=，所以OC=                                  4分

即点C2的坐标为（，0）                                             5分

根据双曲线的对称性，得点C3的坐标为（）                        6分

点C4的坐标为（）                        7分

所以点C的坐标分别为：（）、（，0）、（）、（）

28、（1）CD与⊙O相切。                                              1分

因为A、D、O在一直线上，∠ADC=90°，

所以∠COD=90°，所以CD是⊙O的切线                                  3分

CD与⊙O相切时，有两种情况：①切点在第二象限时（如图①），

设正方形ABCD的边长为a，则a2＋（a＋1）2=13，

解得a=2，或a=-3（舍去）                                             4分

过点D作DE⊥OB于E，则Rt△ODE≌Rt△OBA，所以，所以DE=，

OE=，所以点D1的坐标是（-，）                       5分

所以OD所在直线对应的函数表达式为y=                            6分

②切点在第四象限时（如图②），

设正方形ABCD的边长为b，则b2＋（b－1）2=13，

解得b=-2（舍去），或b=3                                             7分

过点D作DF⊥OB于F，则Rt△ODF∽Rt△OBA，所以，所以OF=，DF=，所以点D2的坐标是（，-）                         8分

所以OD所在直线对应的函数表达式为y=                             9分

（2）如图③，

过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，则BD2=BG2＋DG2=（BO－OG）2＋OD2-OG2=                              10分

所以S=AB2=                                          11分

因为-1≤x≤1，所以S的最大值为，

S的最小值为                                                   12分