2023年山东省菏泽市中考数学试卷及其答案

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.

1．（3分）剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．

C．D．

2．（3分）下列运算正确的是（）

A．a6÷a3＝a2B．a2•a3＝a5

C．（2a3）2＝2a6D．（a+b）2＝a2+b2

3．（3分）一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1＝20°，则∠2＝（）

A．30°B．40°C．50°D．60°

4．（3分）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（）

A．c（b﹣a）＜0B．b（c﹣a）＜0C．a（b﹣c）＞0D．a（c+b）＞0

5．（3分）如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是（）

A．B．

C．D．

6．（3分）一元二次方程x 2+3x ﹣1＝0的两根为x 1，x 2，则的值为（

）A．B．﹣3C．3D．

7．（3分）△ABC 的三边长a ，b ，c 满足（a ﹣b ）2+

+|c ﹣3|＝0，则△ABC 是（）A．等腰三角形

B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形

8．（3分）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A （1，3），B （﹣2，﹣6），C （0，0）等都是“三倍点”．在﹣3＜x ＜1的范围内，若二次函数y ＝﹣x 2﹣x +c 的图象上至少存在一个“三倍点”，则c 的取值范围是（

）

A．﹣≤c ＜1B．﹣4≤c ＜﹣3C．﹣≤x ＜6

D．﹣4≤c ＜5二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内.）

9．（3分）因式分解：m 3﹣4m ＝

．10．（3分）计算：|﹣2|+2sin60°﹣20230＝．

11．（3分）用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为．

12．（3分）如图，正八边形ABCDEFGH 的边长为4，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则阴影部分的面积为（结果保留π）．

13．（3分）如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，将△ABE 绕点B 按顺时针方向旋转90°，得到△CBF ．若∠ABE ＝55°，则∠EGC ＝度．

三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区城内.）

15．（6分）解不等式组．

16．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x，y满足2x+y﹣3＝0．

17．（6分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：AE＝CF．

18．（6分）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度BC（结果保留根号）．

19．（7分）某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷．在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分钟），分为如下五组：A组：50≤x＜75，B组：75≤x＜100，C组100≤x＜125，D组：125≤x＜150，E组：150≤x＜175．其中A组数据为：73，65，74，68，74，70，66，56．

根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：

（1）A组数据的中位数是，众数是；在统计图中B组所对应的扇形圆心角是度；

（2）补全学生心率频数分布直方图；

（3）一般运动的适宜心率为100≤x＜150（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？

20．（7分）如图，已知坐标轴上两点A（0，4），B（2，0），连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y＝在第一象限的图象于点C（a，1）．

（1）求反比例函数y＝和直线OC的表达式；

（2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．

21．（10分）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．

（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；

（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？

22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F．（1）求证：BC＝DE；

（2）P是上一点，AC＝6，BF＝2，求tan∠BPC；

（3）在（2）的条件下，当CP是∠ACB的平分线时，求CP的长．

23．（10分）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．

【问题解决】

（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】

（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．

24．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），其对称轴为x＝﹣．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图1，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，当点B'恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；

（3）如图2，动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC，线段BC于点E，F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G，求FG+FP的最大值．

2023年山东省菏泽市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.

1．（3分）剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．

C．D．

【解答】解：A．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；

B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．

故选：A．

2．（3分）下列运算正确的是（）

A．a6÷a3＝a2B．a2•a3＝a5

C．（2a3）2＝2a6D．（a+b）2＝a2+b2

【解答】解：A、原式＝a3，故本选项计算错误，不符合题意；

B、原式＝a5，故本选项计算正确，符合题意；

C、原式＝4a6，故本选项计算错误，不符合题意；

D、原式＝a2+2ab+b2，故本选项计算错误，不符合题意；

故选：B．

3．（3分）一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1＝20°，则∠2＝（）

A．30°B．40°C．50°D．60°

【解答】解：如图，

由题意得：∠CAD ＝60°，

∵AB ∥DE ，∠1＝20°，

∴∠3＝∠1＝20°，

∴∠2＝∠CAD ﹣∠3＝40°．

故选：B ．

4．（3分）实数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（）

A．c （b ﹣a ）＜0B．b （c ﹣a ）＜0C．a （b ﹣c ）＞0D．a （c +b ）＞0

【解答】解：由数轴可得a ＜0＜b ＜c ，

则b ﹣a ＞0，c ﹣a ＞0，b ﹣c ＜0，c +b ＞0，

那么c （b ﹣a ）＞0，b （c ﹣a ）＞0，a （b ﹣c ）＞0，a （c +b ）＜0，

则A ，B ，D 均不符合题意，C 符合题意，

故选：C ．

5．（3分）如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是（）

A．B．

C．D．

【解答】解：从正面看有三列，从左到右小正方形的个数分别为2、1、1．

故选：A ．

6．（3分）一元二次方程x 2+3x ﹣1＝0的两根为x 1，x 2，则的值为（）

【解答】解：∵一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x

1，x

2

，

∴x

1+x

2

＝﹣3；x

1

x

2

＝﹣1．

∴

＝

＝

＝3．

故选：C．

7．（3分）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形

C．锐角三角形D．等腰直角三角形

【解答】解：由题意得，

解得，

∵a2+b2＝c2，且a＝b，

∴△ABC为等腰直角三角形，

故选：D．

8．（3分）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（）

A．﹣≤c＜1B．﹣4≤c＜﹣3C．﹣≤x＜6D．﹣4≤c＜5

【解答】解：由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，

在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，

即在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y和y＝3x至少有一个交点，

令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得，x2+4x﹣c＝0，

则Δ＝b2﹣4ac＝16+4c≥0，解得c≥﹣4，

把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣12+c，代入y＝3x得y＝﹣9，∴﹣9＞﹣12+c，解得c＜3；

把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝3x得y＝3，

∴3＞﹣2+c，解得c＜5，

综上，c的取值范围为：﹣4≤c＜5．

故选：D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内.）

9．（3分）因式分解：m3﹣4m＝m（m+2）（m﹣2）．

【解答】解：原式＝m（m2﹣4）＝m（m+2）（m﹣2），

故答案为：m（m+2）（m﹣2）

10．（3分）计算：|﹣2|+2sin60°﹣20230＝1．

【解答】解：|﹣2|+2sin60°﹣20230

＝2﹣+2×﹣1

＝2﹣+﹣1

＝1．

故答案为：1．

11．（3分）用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为．【解答】解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中是偶数的结果有5种，

∴是偶数的概率为，

故答案为：．

12．（3分）如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的面积为6π（结果保留π）．

【解答】解：由题意得，∠HAB＝＝135°，AH＝AB＝4，

＝＝6π，

∴S

阴影部分

故答案为：6π．

13．（3分）如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF．若∠ABE＝55°，则∠EGC＝80度．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，

∵∠ABE＝55°，

∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝35°，

由旋转得：BE＝BF，∠EBF＝90°，

∴∠BEF＝∠BFE＝45°，

∵∠EGC是△BEG的一个外角，

∴∠EGC＝∠BEF+∠EBC＝80°，

故答案为：80．

14．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC 上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为﹣2．

【解答】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，

∵∠ABC＝∠BAD＝90°，∴AD∥BC，

∴∠DAE＝∠AEB，

∵∠ADF＝∠BAE，

∴∠DFA＝∠ABE＝90°，

∴点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，∵AD＝4，

∴，

∴，

∴线段BF的最小值为﹣2，

故答案为：﹣2．

三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区城内.）

15．（6分）解不等式组．

【解答】解：，

解不等式①，得：x＜2.5，

解不等式②，得：x≤，

∴该不等式组的解集是x≤．

16．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x，y满足2x+y﹣3＝0．【解答】解：（+）÷

＝

＝

＝2（2x+y），

∵2x+y﹣3＝0，

∴2x+y＝3，

∴原式＝2×3＝6．

17．（6分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：AE＝CF．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，∠A＝∠D，∠BAD＝∠BCD，

∵AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F，

∴∠BAE＝∠FCD，

在△ABE与△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（ASA），

∴AE＝CF．

18．（6分）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度BC（结果保留根号）．

【解答】解：如图所示：

过P作PH⊥AB于H，过C作CG⊥PH于Q，而CB⊥AB，

则四边形CQHB是矩形，

∴QH＝BC，BH＝CQ，

由题意可得：AP＝80，∠PAH＝60°，∠PCQ＝30°，AB＝70，

∴PH＝AP sin60°＝80×＝40，AH＝AP cos60°＝40，

∴CQ＝BH＝70﹣40＝30，

∴PQ＝CQ•tan30°＝10，

∴BC＝QH＝40﹣10＝30，

∴大楼的高度BC为30m．

19．（7分）某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷．在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分钟），分为如下五组：A组：50≤x＜75，B组：75≤x＜100，C组100≤x＜125，D组：125≤x＜150，E组：150≤x＜175．其中A组数据为：73，65，74，68，74，70，66，56．

根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：

（1）A组数据的中位数是69，众数是74；在统计图中B组所对应的扇形圆心角是54度；

（2）补全学生心率频数分布直方图；

（3）一般运动的适宜心率为100≤x＜150（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？【解答】解：（1）把A组数据从小到大排列为：56，65，66，68，70，73，74，74，

故A组数据的中位数是：＝69，众数是74；

由题意得，样本容量为：8÷8%＝100，

在统计图中B组所对应的扇形圆心角是：360°×＝54°．

故答案为：69，74，54；

（2）C组频数为：100﹣8﹣15﹣45﹣2＝30，

补全学生心率频数分布直方图如下：

（3）2300×（30%+）＝1725（名），

答：估计大约有1725名学生达到适宜心率．

20．（7分）如图，已知坐标轴上两点A（0，4），B（2，0），连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y＝在第一象限的图象于点C（a，1）．

（1）求反比例函数y＝和直线OC的表达式；

（2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．

【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥x轴于点D，

∴∠BDC＝90°，

∵∠AOB＝90°，∴∠BDC＝∠AOB，

∵BC⊥AB，

∴∠ABC＝90°，

∴∠ABO+∠CBD＝90°，

∵∠AOB＝90°，

∴∠ABO+∠BAO＝90°，

∴∠CBD＝∠BAO，

∴△CBD∽△BAO，

∴，

∵A（0，4），B（2，0），C（a，1），

∴AO＝4，BO＝2，CD＝1，

∴，

∴BD＝2，

∴OD＝BO+BD＝4，

∴a＝4，

∴点C的坐标是（4，1），

∵反比例函数过点C，

∴k＝4×1＝4，

∴反比例函数的解析式为；

设直线OC的解析式为y＝mx，

∵其图象经过点C（4，1），

∴4m＝1，

解得，

∴直线OC的解析式为；

（2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l，∴直线l的解析式为，

由题意得，

解得，

∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为或（2，2）．

21．（10分）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．

（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；

（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？

【解答】解：（1）设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为S平方米，则平行于墙的边为（120﹣3x）米，

根据题意得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，

∵﹣3＜0，

∴当x＝20时，S取最大值1200，

∴120﹣3x＝120﹣3×20＝60，

∴垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1200平方米；

（2）设购买牡丹m株，则购买芍药1200×2﹣m＝（2400﹣m）株，

∵学校计划购买费用不超过5万元，

∴25m+15（2400﹣m）≤50000，

解得m≤1400，∴最多可以购买1400株牡丹．

22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F．（1）求证：BC＝DE；

（2）P是上一点，AC＝6，BF＝2，求tan∠BPC；

（3）在（2）的条件下，当CP是∠ACB的平分线时，求CP的长．

【解答】（1）证明：∵D是的中点，

∴，

∵DE⊥AB且AB为⊙O的直径，

∴，

∴，

∴BC＝DE；

（2）解：连接OD，

∵，

∴∠CAB＝∠DOB，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵DE⊥AB，

∴∠DFO＝90°，

∴△ACB∽△OFD，

∴，

设⊙O的半径为r，

则，

解得r＝5，经检验，r＝5是方程的根，

∴AB＝2r＝10，

∴，

∴，

∵∠BPC＝∠CAB，

∴；

（3）解：如图，过点B作BG⊥CP交CP于点G，

∴∠BGC＝∠BGP＝90°，

∵∠ACB＝90°，CP是∠ACB的平分线，

∴∠ACP＝∠BCP＝45°，

∴∠CBG＝45°，

∴，

∴，

∴，

∴．

23．（10分）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．

【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．

【类比迁移】

（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C＝∠ADE＝90°，

∴∠CDF+∠DFC＝90°，

∵AE⊥DF，

∴∠DGE＝90°，

∴∠CDF+∠AED＝90°，

∴∠AED＝∠DFC，

∴△ADE∽△DCF；

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，

∵AE＝DF，

∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），

∴DE＝CF，

∵CH＝DE，

∴CF＝CH，

∵点H在BC的延长线上，

∴∠DCH＝∠DCF＝90°，

又∵DC＝DC，

∴△DCF≌△DCH（SAS），

∴∠DFC＝∠H，

∵AD∥BC，

∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H；

（3）解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝DC，AD∥BC，

∴∠ADE＝∠DCG，

∴△ADE≌△DCG（SAS），

∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，

∵AE＝DF，

∴DG＝DF，

∴△DFG是等边三角形，

∴FG＝DF＝11，

∵CF+CG＝FG，

∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，

即CF的长为3．

24．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），其对称轴为x＝﹣．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图1，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，当点B'恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；

（3）如图2，动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC，线段BC于点E，F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G，求FG+FP的最大值．

【解答】解：（1）抛物线与y 轴交于点C （0，4），∴c ＝4，

∵对称轴为

，∴，b ＝﹣3，

∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣3x +4；

（2）如图，过B '作x 轴的垂线，垂足为H ，

令﹣x 2﹣3x +4＝0，

解得：x 1＝1，x 2＝﹣4，

∴A （﹣4，0），B （1，0），

∴AB ＝1﹣（﹣4）＝5，

由翻折可得AB ′＝AB ＝5，

∵对称轴为

，∴，

∴AB '＝AB ＝5＝2AH ，

∴∠AB 'H ＝30°，∠B 'AB ＝60°，∴，

在Rt△AOD中，∴；

（3）设BC所在直线的解析式为y

1＝k

1

x+b

1

，

把B、C坐标代入得：，解得：，

∴y

1

＝﹣4x+4，

∵OA＝OC，

∴∠CAO＝45°，

∵∠AEB＝90°，

∴直线PE与x轴所成夹角为45°，设P（m，﹣m2﹣3m+4），

设PE所在直线的解析式为：y

2＝﹣x+b

2

，

把点P代入得，∴，

令y

1＝y

2

，则﹣4x+4＝﹣x﹣m2﹣2m+4，

解得，

∴FG＝，

，

∴，

∵点P在直线AC上方，

∴﹣4＜m＜0，

∴当m＝时，FG+FP的最大值为．