2020-2021学年天津市河东区九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析

一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

2．（3分）在一个不透明的袋子装有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中有3个红球，5个黄球，若随机摸出一个红球的概率为，则这个袋子中蓝球的个数是（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．12个

3．（3分）关于圆的性质有以下四个判断：①垂直于弦的直径平分弦，②平分弦的直径垂直于弦，③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，④在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，则四个判断中正确的是（　　）

A．①③ B．②③ C．①④ D．②④

4．（3分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE＝1.2m．测得AB＝1.6m．BC＝18.4m．则建筑物的高CD＝（　　）

A．13.8m B．15m C．18.4m D．20m

5．（3分）不论m取何值时，抛物线y＝x2﹣mx﹣1与x轴的交点有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

6．（3分）下列判断中，不正确的有（　　）

A．三边对应成比例的两个三角形相似    

B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似    

C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似    

D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似

7．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　）

A．（﹣3，﹣2） B．（﹣12，﹣8）    

C．（﹣3，﹣2）或（3，2） D．（﹣12，﹣8）或（12，8）

8．（3分）如图，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转35°，得到正方形AEFG，DB的延长线交EF于点H，则∠DHE的大小为（　　）

A．90° B．95° C．100° D．105°

9．（3分）如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F，则∠1与∠2的大小关系为（　　）

A．∠1＞∠2 B．∠1＜∠2 C．∠1＝∠2 D．无法确定

10．（3分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用yx2+bx+c表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是（　　）

A．2m B．4m C．4 m D．4m

11．（3分）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx＝﹣m有实数根，则m最大值为（　　）

A．3 B．﹣3 C．﹣6 D．9

12．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：①抛物线y＝ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；②x＞0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）的函数值都随x的增大而增大；③AB的长度可以等于5；④当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b．其中正确的结论是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

13．（3分）正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为　   　．

14．（3分）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车先后经过这个十字路口，则至少有一辆汽车向左转的概率是　   　．

15．（3分）已知，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC＝CD．连接BC，BD．如图，若∠CBD＝20°，则∠A的大小为　   　（度）．

16．（3分）一个扇形的弧长是cm，半径是6cm，则此扇形的圆心角是　   　度．

17．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：

18．（3分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上．

（1）边AC的长等于　   　．

（2）以点C为旋转中心，把△ABC顺时针旋转，得到△A'B'C'，使点B的对应点B'恰好落在边AC上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，作出旋转后的图形，并简要说明作图的方法（不要求证明）．

三．解答题（共7小题，满分66分）

19．（8分）已知关于x的一元二次方程：x2+ax﹣5＝0的一个根是1，求a的值及该方程的另一根．

20．（8分）已知AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点．连接AC，DO．

（Ⅰ）如图①，求∠BOD及∠A的大小；

（Ⅱ）如图②，过点C作CF⊥AB于点F，交⊙O于点H，若⊙O的半径为2．求CH的长．

21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，直线AT切⊙O于点A，BT交⊙O于C，已知∠B＝30°，AT，求⊙O的直径AB和弦BC的长．

22．（10分）小明妈妈在春节期间以160元/件的价格购进了一批商品，如果按标价200元/件出售，那么每天可以销售20件．为了尽快减少库存，小明妈妈决定采取降价促销措施，经试销发现，每件商品每降价1元，平均每天可多售出2件，若平均每天要盈利1200元，每件商品应降价多少元？为了满足降价要求，小明妈妈应打几折出售？

23．（10分）如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位是AB宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这是水面宽度为10m．

（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式．

（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？

24．（10分）如图1．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE．连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．

（1）图1中，线段PM与PN的数量关系是　   　，位置关系是　   　；

（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，判断△PMN的形状，并说明理由；

（3）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝2，BC＝6，请直接写出△PMN面积的最大值．

25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（4，0），C（0，﹣2），对称轴为直线x＝1，与x轴的另一个交点为点A．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M从点A出发，沿AC向点C运动，速度为1个单位长度/秒，同时点N从点B出发，沿BA向点A运动，速度为2个单位长度/秒，当点M、N有一点到达终点时，运动停止，连接MN，设运动时间为t秒，当t为何值时，AMN的面积S最大，并求出S的最大值；

（3）点P在x轴上，点Q在抛物线上，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．

2020-2021学年天津市河东区九年级上学期期末考试数学试卷

参与试题解析

一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；

B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

故选：A．

2．（3分）在一个不透明的袋子装有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中有3个红球，5个黄球，若随机摸出一个红球的概率为，则这个袋子中蓝球的个数是（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．12个

【解答】解：设袋子中蓝球有x个，

根据题意，得：，

解得：x＝4，

即袋中蓝球有4个，

故选：B．

3．（3分）关于圆的性质有以下四个判断：①垂直于弦的直径平分弦，②平分弦的直径垂直于弦，③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，④在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，则四个判断中正确的是（　　）

A．①③ B．②③ C．①④ D．②④

【解答】解：垂直于弦的直径平分弦，所以①正确；

平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②错误；

在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，所以③错误；

在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，所以④正确．

故选：C．

4．（3分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE＝1.2m．测得AB＝1.6m．BC＝18.4m．则建筑物的高CD＝（　　）

A．13.8m B．15m C．18.4m D．20m

【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，

∴EB∥DC，

∴△ABE∽△ACD，

∴，

∵BE＝1.2，AB＝1.6，BC＝18.4，

∴AC＝20，

∴，

∴CD＝15．

故选：B．

5．（3分）不论m取何值时，抛物线y＝x2﹣mx﹣1与x轴的交点有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣mx﹣1，

∴△＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4≥4＞0，

∴不论m取何值时，抛物线y＝x2﹣mx﹣1与x轴的交点有2个，

故选：C．

6．（3分）下列判断中，不正确的有（　　）

A．三边对应成比例的两个三角形相似    

B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似    

C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似    

D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似

【解答】解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故A选项不合题意；

B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意；

C、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故C选项不合题意；

D、有一个角是100°的两个等腰三角形，则他们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D选项不合题意；

故选：B．

7．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　）

A．（﹣3，﹣2） B．（﹣12，﹣8）    

C．（﹣3，﹣2）或（3，2） D．（﹣12，﹣8）或（12，8）

【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点B的坐标为（﹣6，﹣4），

∴点B的对应点B′的坐标为（﹣6，﹣4）或（6，4），即（﹣3，﹣2）或（3，2），

故选：C．

8．（3分）如图，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转35°，得到正方形AEFG，DB的延长线交EF于点H，则∠DHE的大小为（　　）

A．90° B．95° C．100° D．105°

【解答】解：∵将正方形ABCD绕点A顺时针旋转35°，得到正方形AEFG，

∴∠BAE＝35°，∠E＝90°，∠ABD＝45°，

∴∠ABH＝135°，

∴∠DHE＝360°﹣∠E﹣∠BAE﹣∠ABH＝360°﹣135°﹣35°﹣90°＝100°，

故选：C．

9．（3分）如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F，则∠1与∠2的大小关系为（　　）

A．∠1＞∠2 B．∠1＜∠2 C．∠1＝∠2 D．无法确定

【解答】解：∵∠AED+∠CEF＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，

∴∠DAE＝∠CEF，

∵∠ADE＝∠ECF＝90°，

∴△ADE∽△ECF，且相似比为2，

∴AE＝2EF，AD＝2DE，

又∵∠ADE＝∠AEF，

∴△ADE∽△AEF，

∴∠1＝∠2．

10．（3分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用yx2+bx+c表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是（　　）

A．2m B．4m C．4 m D．4m

【解答】解：根据题意，得

OA＝12，OC＝4．

所以抛物线的顶点横坐标为6，

即6，

∴b＝2，

∵C（0，4），

∴c＝4，

所以抛物线解析式为：

yx2+2x+4

（x﹣6）2+10

当y＝8时，

8（x﹣6）2+10，

解得x1＝6+2，x2＝6﹣2．

则x1﹣x2＝4．

所以两排灯的水平距离最小是4．

故选：D．

11．（3分）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx＝﹣m有实数根，则m最大值为（　　）

A．3 B．﹣3 C．﹣6 D．9

【解答】解：由图象可得，

二次函数y＝ax2+bx的最小值是y＝﹣3，

∵一元二次方程ax2+bx＝﹣m有实数根，

∴﹣m≥﹣3，

解得，m≤3，

∴m的最大值是3，

故选：A．

12．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：①抛物线y＝ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；②x＞0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）的函数值都随x的增大而增大；③AB的长度可以等于5；④当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b．其中正确的结论是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

【解答】解：①抛物线y＝ax2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0，0），本选项正确；

②根据图象得：直线y＝kx+b（k≠0）为增函数；抛物线y＝ax2（a≠0）当x＞0时为增函数，则x＞0时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，本选项正确；

③由A、B横坐标分别为﹣2，3，若AB＝5，可得出直线AB与x轴平行，即k＝0，

与已知k≠0矛盾，故AB不可能为5，本选项错误；

④直线y＝﹣kx+b与y＝kx+b关于y轴对称，如图所示：

可得出直线y＝﹣kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为﹣3，2，

由图象可得：当﹣3＜x＜2时，ax2＜﹣kx+b，即ax2+kx＜b，本选项正确；

则正确的结论有①②④．

故选：B．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

13．（3分）正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为　2：　．

【解答】解：设正六边形的半径是r，

则外接圆的半径r，

内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是r，

因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2：．

故答案为：2：．

14．（3分）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车先后经过这个十字路口，则至少有一辆汽车向左转的概率是　　．

【解答】解：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，至少有一辆汽车向左转的有5种情况，

∴至少有一辆汽车向左转的概率是：．

故答案为：．

15．（3分）已知，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC＝CD．连接BC，BD．如图，若∠CBD＝20°，则∠A的大小为　70　（度）．

【解答】解：∵AC＝CD，

∴，

∴∠ABC＝∠CBD＝20°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠A＝90°﹣20°＝70°．

故答案为70．

16．（3分）一个扇形的弧长是cm，半径是6cm，则此扇形的圆心角是　36　度．

【解答】解：设扇形的圆心角为n．

由题意：π，

解得n＝36°，

故答案为36．

17．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：

【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，﹣2），（0，﹣2），

∴此抛物线的对称轴为：直线x，

∵此抛物线过点（1，0），

∴此抛物线与x轴的另一个交点为：（﹣2，0），

∴ax2+bx+c＝0的解为：x＝﹣2或1．

故答案为：x＝﹣2或1．

18．（3分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上．

（1）边AC的长等于　5　．

（2）以点C为旋转中心，把△ABC顺时针旋转，得到△A'B'C'，使点B的对应点B'恰好落在边AC上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，作出旋转后的图形，并简要说明作图的方法（不要求证明）．

【解答】解：（1）根据网格可知：

AB＝4，BC＝3，

∴AC5，

故答案为：5；

（2）取格点E，F，M，N，作直线EF，直线MN，

MN与EF交于点A′，

EF与AC交于点B′，

连接CA′．

△A'B'C即为所求．

三．解答题（共7小题，满分66分）

19．（8分）已知关于x的一元二次方程：x2+ax﹣5＝0的一个根是1，求a的值及该方程的另一根．

【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+ax﹣5＝0的一个根是1，

∴12+a﹣5＝0，

解得 a＝4；

（2）设方程的另一个根为x2，

则x2+1＝﹣4，

解得：x2＝﹣5．

故方程的另一根为﹣5．

20．（8分）已知AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点．连接AC，DO．

（Ⅰ）如图①，求∠BOD及∠A的大小；

（Ⅱ）如图②，过点C作CF⊥AB于点F，交⊙O于点H，若⊙O的半径为2．求CH的长．

【解答】解：（Ⅰ）如图①，连接OC，

∵点C，D是半圆O的三等分点，

∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD，

∵AB为直径，

∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD180°＝60°，

∵OC＝OA，

∴△AOC为等边三角形，

∴∠A＝60°；

即∠BOD及∠A的大小为60°，60°；

（Ⅱ）如图②，连接OC，

∵CF⊥AB，

∴CF＝HF，

在Rt△OCF中，∵∠COF＝60°，

∴OFOC＝1，

∴CFOF，

∴CH＝2CF＝2．

21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，直线AT切⊙O于点A，BT交⊙O于C，已知∠B＝30°，AT，求⊙O的直径AB和弦BC的长．

【解答】解：连接AC，如图所示：

∵直线AT切⊙O于点A，

∴∠BAT＝90°，

在Rt△ABT中，∠B＝30°，AT，

∴tan30°，即AB3；

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝3，

∴cos30°，

则BC＝AB•cos30°．

22．（10分）小明妈妈在春节期间以160元/件的价格购进了一批商品，如果按标价200元/件出售，那么每天可以销售20件．为了尽快减少库存，小明妈妈决定采取降价促销措施，经试销发现，每件商品每降价1元，平均每天可多售出2件，若平均每天要盈利1200元，每件商品应降价多少元？为了满足降价要求，小明妈妈应打几折出售？

【解答】解：设每件商品降价x元，则平均每天可以销售（20+2x）件，

依题意，得：（200﹣x﹣160）（20+2x）＝1200，

整理，得：x2﹣30x+200＝0，

解得：x1＝10，x2＝20，

又∵尽快减少库存，

∴x＝20，

∴10＝9．

答：每件商品应降价20元，为了满足降价要求，小明妈妈应打9折出售．

23．（10分）如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位是AB宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这是水面宽度为10m．

（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式．

（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？

【解答】解：（1）解：设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0），

由CD＝10m，可设D（5，b），

由AB＝20m，水位上升3m就达到警戒线CD，

则B（10，b﹣3），

把D、B的坐标分别代入y＝ax2得：

，

解得．

∴yx2；

（2）∵b＝﹣1，

∴拱桥顶O到CD的距离为1m，

∴5（小时）．

所以再持续5小时到达拱桥顶．

24．（10分）如图1．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE．连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．

（1）图1中，线段PM与PN的数量关系是　PM＝PN　，位置关系是　PM⊥PN　；

（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，判断△PMN的形状，并说明理由；

（3）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝2，BC＝6，请直接写出△PMN面积的最大值．

【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，

∴PN∥BD，PNBD，

∵点P，M是CD，DE的中点，

∴PM∥CE，PMCE，

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴BD＝CE，

∴PM＝PN，

∵PN∥BD，

∴∠DPN＝∠ADC，

∵PM∥CE，

∴∠DPM＝∠DCA，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ADC+∠ACD＝90°，

∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，

∴PM⊥PN，

故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；

（2）△PMN是等腰直角三角形．

理由：如图2，连接CE，BD，

由旋转知，∠BAD＝∠CAE，

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，

利用三角形的中位线得，PNBD，PMCE，

∴PM＝PN，

∴△PMN是等腰三角形，

同（1）的方法得，PM∥CE，

∴∠DPM＝∠DCE，

同（1）的方法得，PN∥BD，

∴∠PNC＝∠DBC，

∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，

∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC

＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC

＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ACB+∠ABC＝90°，

∴∠MPN＝90°，

∴△PMN是等腰直角三角形；

（3）若DE＝2，BC＝6，

在Rt△ABC中，AB＝AC，BC＝6，

∴ABBC＝3，

同理：AD

由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PNBD，

∴PM最大时，△PMN面积最大，

∴点D在BA的延长线上，

∴BD＝AB+AD＝4，

∴PM＝2，

∴S△PMN最大PM2（2）2＝4．

25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（4，0），C（0，﹣2），对称轴为直线x＝1，与x轴的另一个交点为点A．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M从点A出发，沿AC向点C运动，速度为1个单位长度/秒，同时点N从点B出发，沿BA向点A运动，速度为2个单位长度/秒，当点M、N有一点到达终点时，运动停止，连接MN，设运动时间为t秒，当t为何值时，AMN的面积S最大，并求出S的最大值；

（3）点P在x轴上，点Q在抛物线上，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）依题意，将B（4，0），C（0，﹣2），对称轴为直线x＝1，代入抛物线解析式，

得，

解得：，

∴抛物线的解析式为：；

（2）∵对称轴为直线x＝1，B（4，0）．

∴A（﹣2，0），则AB＝6，

当点N运动t秒时，BN＝2t，则AN＝6﹣2t，

如图1，过点M作MD⊥x轴于点D．

∵OA＝OC＝2，

∴△OAC是等腰直角三角形，

∴∠OAC＝45°．

又∵DM⊥OA，

∴△DAM是等腰直角三角形，AD＝DM，

当点M运动t秒时，AM＝t，

∴MD2+AD2＝AM2＝t2，

∴DMt，

∴，

∴由二次函数的图象及性质可知，当时，S最大值为；

（3）存在，理由如下：

①当四边形CBQP为平行四边形时，CB与PQ平行且相等，

∵B（4，0），C（0，﹣2），

∴yB﹣yC＝yQ﹣yP＝2，xB﹣xC＝xQ﹣xP＝4，

∵yP＝0，

∴yQ＝2，

将y＝2代入，

得 x1＝1，x2＝1，

∴当xQ＝1时，xP＝﹣3；当xQ＝1时，xP＝﹣3，

∴P1（﹣3，0），P2（﹣3，0）；

②当四边形CQPB为平行四边形时，BP与CQ平行且相等，

∵yP＝yB＝0，

∴yQ＝yC＝﹣2，

将y＝﹣2代入，

得 x1＝0（舍去），x2＝2，

∴xQ＝2时，

∴xP﹣xB＝xQ﹣xC＝2，

∴xP＝6，

∴P3（6，0）；

③当四边形CQBP为平行四边形时，BP与CQ平行且相等，

由②知，xQ＝2，

∴xB﹣xP＝xQ﹣xC＝2，

∴xP＝2，

∴P4（2，0）；

综上所述，存在满足条件的点P有4个，分别是P1（﹣3，0），P2（﹣3，0），P3（6，0），P4（2，0）．