第三章 有限差分法

1.7 波动方程式的差分法（线性双曲线方程）

即前进波波动方程（又称为移动方程或传递方程：convection equation）

                            （ 31 ）

                  （ 32 ）

从此方程的差分求解方式分析常用的差分形式和稳定性条件。

理论解：

物理意义：波形保守不变，位置随时间以速度c前进。（前进波）

         f(x)         c       f(x-ct)

                     ct

 （ 33 ）

 （ 34 ）

其中：

 （ 35 ）

例：

  （ 36 ）

即  （ 37 ）

其解为：  （ 38 ）

3.1.1 显式法

对于发展型问题而言，当某一程度上的数值解已知，求解下一程度的数值解时，如未知的相只要一个，称为显式法（explicit time integration method）。

i.FTCS（Forward in Time and Central Difference in Space）方法

                        （ 39 ）

则能产生：

                        （ 310 ）

变形后:

                           （ 311 ）

这儿，  为Courant 数。

                             （ 312 ）

Courant 数表示物理的传播速度c和数值传播速度( x/ t)的比值。

该解的特性如图的三角形所示，的值由和所确定。当比值 x/ t保持一致时，不管 x和 t取多小，其影响的范围是一样的。

当物理传播速度c比数值传播速度大的话，用此方法无法得到下一步长的物理特性。(如图绿线所示)，也即，当数值的影响领域无法包括物理特性领域，数值方法将不安定。1928年Courant、Friedrich、Lewy因此而提出了所谓Courant条件。

FTCS法的解的发展

即Courant 条件为（CFL条件）

                          （ 313 ）

但是波动方程不能由此方法判别的例子有：

                （ 314 ）

此问题有理论解，如图。例如， ＝0.5时，时间步长为1/2 x。

解析解                     FTCS的解

表1  FTCS的解 （ ＝0.5）

设FTCS格式的解的展开的某一分项为：

                        （ 315 ）

gj表示幅度，  为与波数有关的相位角。定义一个时间步长前后的解的幅度比为振幅，用 表示。则令它可用振幅   和相位差 来表示：

                               （ 316 ）

但   偏离真实解时，振幅产生误差。 偏离真实解时表示该波数代表的波不能以正确的速度移动。

对于线性双曲波动问题，其理论解的振幅和某一波段上的相位差为

                             （ 317 ）

且u可空间时间分离变量：即g为时间的变量。代入FTCS格式：

                       （ 318 ）

其振幅为：

                      （ 319 ）

可见，无论是振幅还是相位都偏离真实解。尤其是振幅，它始终保持   >1，这说明随时间的发展，差分方程的解的幅度会无变大。这种不稳定称为Von Neumann不稳定。

FTCS方法的不稳定也可从物理上理解。此差分的Tayor展开为

                    （ 320 ）

代入波动方程

               （ 321 ）

可见其截断误差的第一项为负的扩散值。负的扩散项从物理上是不稳定的。

ii.Lax差分格式（Lax-Friedrich方法）

FTCS式中的unj项用两边的平均值来代替:

                  （ 322 ）

其：

                           （ 323 ）

   在 的一定范围内小于1。－1< <1的范围内收敛。

该方法使数值安定，但代价是解的扩散性增强。即耗散误差大。

      Lax 格式                         Leap-Frog格式

iii.Leap-Frog 格式(蛙跳法)

空间时间都用中心差分：

                          （ 324 ）

                            （ 325 ）

当 2 1时：

                        （ 326 ）

因此，无论对什么信号，振幅都不变。因此无振幅误差。称为中立稳定。但当 很小时，存在延迟相位误差（Lagging phase error）。即波的位置在真的波后发生。

当 2 >1时：   为纯虚数。

                         （ 327 ）

即当sin >1/ 时不稳定。

此方法分散误差大。

iv.Lax-Wendroff格式

∙原始Lax-Wendroff格式

二阶Tayor 展开，空间中心差分：

为FTCS格式的修正。此方法由于有附加的扩散项，使得格式稳定。附加项包括空间和时间的2阶精度。在的条件下，除了很大波数，主要含有延迟相位误差。

∙Lax-Wendroff两步格式

第一步（前1/2 t）：

第二步（后1/2 t）：

v.MacCormack的方法

∙为航天领域应用最广的格式，为Lax-Wendroff两步格式

∙的一种，但不计算j+1/2点的值。适用于非线性问题。对于线性问题。采用预测修正因子法(predictor-corrector)。

预测阶段：

修正阶段

∙结果同Lax-Wendroff两步格式。

vi.1阶精度上风法

时间向前，空间向后：

Taylor 展开

右为截断误差。utt、uttt用uxx、uxxx表示：

时间空间都为1阶精度。当 ＝0时，截断误差为零。

1.5<  <1.0时：向前相位误差

 <0.5时，延迟相位误差

3.1.2 显式法的小结

1.粘性的附加

i.FTCS格式

                      ( 1 )

ii.Lax格式

                      ( 2 )

iii.Lax-Wendroff格式

                     ( 3 )

iv.1次精度上风法

                    ( 4 )

上述所有的格式都可认为对FTCS的格式的修正，而且都是2阶微分方程utt的差分格式，为扩散项。其中Lax格式扩散最严重，Lax-Wedroff扩散最小，同2次精度中心差分接近。

2.有限差分法的一般格式

线性波动微分格式可写成：             ( 5 )

一般的单纯的Eular显示法为：

                    ( 6 )

称为数值流束(numerical flux)

         j-1/2     j+1/2    j+3/2

图x. 通过界面的流束

i.FTCS格式

                           ( 7 )

ii.Lax格式

                    ( 8 )

iii.Lax-Wendroff格式

                      ( 9 )

iv.1次精度上风法

                          ( 10 )

上式可表示为：

                      ( 11 )

此式在后面的高精度上风法的讨论中非常有用。

3.1.3 隐式法（implicit time integration method）

i.Grank-Nicolson格式

               ( 12 )

它可化成：

               ( 13 )

它符合对三角型法则（trapezoidal rule）

它的解同Leap-Frog格式一样振荡。

隐式法的特点是，n时刻的任意坐标上的解的变化会影响n+1点上所有的点的解。情报无的快速传递。这是由于方法稳定，无CFL条件的缘故。事实上，隐式法也有不稳定的时候。

ii.Beam-Warming 格式：

对上方法更一般化：

         ( 14)

3.2 扩散方程的差分法（抛物型方程）

3.2.1 一般形式

∙1维波动方程？？（抛物性方程）的一般形式：

                              ( 15 )

∙流动和传热中常用形式稳态形式：1维稳定对流/扩散问题

                              ( 16 )

Dirichlet边界条件：             时， 其解为

                            ( 17

Pe 为Peclet数，定义为：

                                        ( 18

由于此问题很简单，常被用于检验离散和求解方法。物理上，它代表了在流线方向对流与扩散间的平衡。事实上，很少有这种平衡起重要作用的流动。通常，对流与压力梯度或垂直流动方向的流动平衡。

假定：u   0 and  o<  L, 

∙u   0 或大 值，Pe 0, 对流项可以忽略。解是线性的。

∙Pe 是大的，解在缓慢变化了一段后，在x=L附近很快变到 L。此 的突然变化往往成为对离散方法的考验。

3.2.2 差分方法

i.Euler 显式法

显式差分格式：（空间中心差分）

                     ( 19 )

简化成：

                          ( 20

其中                                        ( 21 )

形式同波动方程一样，可利用Von Neumann稳定性条件，得到：

                                  ( 22 )

ii.通用Crank-Nicolson 法

           ( 23 

iii.边值问题

3点计算分子方法，最后的代数方程形式：

                          ( 24 )

扩散项，采用中心差分〔CDS〕：

                         ( 25

；                    ( 26

                             ( 27

对流项

-采用上风法（UDS）：

                       （28

                     ( 29

AEc 或AWc有一个为零，取决于流动方向。

-CDS法

                                     ( 30

                            ( 31

                 （图: CDS和UDS对流项的比）

结果表明，当网格数小的时候，UDS的数值扩散严重，假扩散大于真扩散。相反的，CDS出现振荡严重。振荡是由于 值的梯度在最后二点突然变化的缘故。当网格数增加，CDS比UDS更接近真正解。采取非均匀网格，CDS也可比UDS精度高。

CDS 的振荡取决于局部 Peclet数的大小。它定义为

                                   ( 32

当满足Pe 2 时，CDS没振荡。振荡仅发生在变化很激烈的地方。

3.3 椭圆型方程的差分方法（Laplance方程，抛物线性的稳态问题）

3.4 边值问题：

                                 ( 33 )

椭圆型方程为满足适合性条件，必须给出所有边界的边界条件。差分形式：

                   ( 34 )

直接求解法

考虑等格式的条件： x= y，则：

                        ( 35 )

此方程的联合求解，需要解一个大的矩阵，需要很大的计算机内存。因此，往往采用结合缓和法（relaxation method）的迭代求解方法（iterative method）.

点迭代法 (Point Jacobi Method)

例如利用下面迭代求解方法：

                        ( 36 )

这儿，n为迭代次数。

松弛法(relaxation method)

Gauss-Seidal 法

SOR法