2018年山东临沂中考数学试卷(答案解析版)

一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（3分）（2018•临沂）在实数﹣3，﹣1，0，1中，最小的数是（　　）

A．﹣3    B．﹣1    C．0    D．1

2．（3分）（2018•临沂）自2013年10月总提出“精准扶贫”的重要思想以来．各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度．全国脱贫人口数不断增加．仅2017年我国减少的贫困人口就接近1100万人．将1100万人用科学记数法表示为（　　）

A．1.1×103人    B．1.1×107人    C．1.1×108人    D．11×106人

3．（3分）（2018•临沂）如图，AB∥CD，∠D=42°，∠CBA=°，则∠CBD的度数是（　　）

A．42°    B．°    C．74°    D．106°

4．（3分）（2018•临沂）一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（　　）

A．（y+）2=1    B．（y﹣）2=1    C．（y+）2=    D．（y﹣）2=

5．（3分）（2018•临沂）不等式组的正整数解的个数是（　　）

A．5    B．4    C．3    D．2

6．（3分）（2018•临沂）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（　　）

A．9.3m    B．10.5m    C．12.4m    D．14m

7．（3分）（2018•临沂）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（　　）

A．12cm2    B．（12+π）cm2    C．6πcm2    D．8πcm2

8．（3分）（2018•临沂）2018年某市初中学业水平实验操作考试．要求每名学生从物理、化学、生物三个学科中随机抽取一科参加测试，小华和小强都抽到物理学科的概率是（　　）

A．    B．    C．    D．

9．（3分）（2018•临沂）如表是某公司员工月收入的资料．

A．平均数和众数    B．平均数和中位数

C．中位数和众数    D．平均数和方差

10．（3分）（2018•临沂）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1﹣5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（　　）

A．=    B．=

C．=    D．=

11．（3分）（2018•临沂）如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（　　）

A．    B．2    C．2    D．

12．（3分）（2018•临沂）如图，正比例函y1=k1x与反比例函数y2=的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为1．当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣1或x＞1    B．﹣1＜x＜0或x＞1

C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1    D．x＜﹣1或0＜x＜l

13．（3分）（2018•临沂）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：

①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；

②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；

③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；

④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．

其中正确的个数是（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

14．（3分）（2018•临沂）一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（　　）

A．原数与对应新数的差不可能等于零

B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大

C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30

D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分)

15．（3分）（2018•襄阳）计算：|1﹣|=　   　．

16．（3分）（2018•临沂）已知m+n=mn，则（m﹣1）（n﹣1）=　   　．

17．（3分）（2018•临沂）如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=6，AC⊥BC．则BD=　   　．

18．（3分）（2018•临沂）如图．在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是　   　cm．

19．（3分）（2018•临沂）任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.为例进行说明：设0.=x，由0.=0.7777…可知，l0x=7.7777…，所以l0x﹣x=7，解方程，得x=，于是．得0.=．将0.写成分数的形式是　   　．

三、解答题（本大题共7小题，共63分）

20．（7分）（2018•临沂）计算：（﹣）．

21．（7分）（2018•临沂）某地某月1～20日中午12时的气温（单位：℃）如下：

22  31  25 15  18  23  21  20  27  17

20  12  18  21  21  16  20  24  26  19

（1）将下列频数分布表补充完整：

（3）根据频数分布表或频数分布直方图，分析数据的分布情况．

22．（7分）（2018•临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？

23．（9分）（2018•临沂）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．

24．（9分）（2018•临沂）甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，匀速相向而行．甲的速度大于乙的速度，甲到达B地后，乙继续前行．设出发x h后，两人相距y km，图中折线表示从两人出发至乙到达A地的过程中y与x之间的函数关系．

根据图中信息，求：

（1）点Q的坐标，并说明它的实际意义；

（2）甲、乙两人的速度．

25．（11分）（2018•临沂）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．

（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD=CD；

（2）当α为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由．

26．（13分）（2018•临沂）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．

①求点P的坐标；

②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2018年山东省临沂市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（3分）（2018•临沂）在实数﹣3，﹣1，0，1中，最小的数是（　　）

A．﹣3    B．﹣1    C．0    D．1

【考点】2A：实数大小比较．

【专题】1  ：常规题型．

【分析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数直接进行比较大小，再找出最小的数．

【解答】解：∵﹣3＜﹣1＜0＜1，

∴最小的是﹣3．

故选：A．

【点评】此题主要考查了有理数的比较大小，根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小的原则解答．

2．（3分）（2018•临沂）自2013年10月总提出“精准扶贫”的重要思想以来．各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度．全国脱贫人口数不断增加．仅2017年我国减少的贫困人口就接近1100万人．将1100万人用科学记数法表示为（　　）

A．1.1×103人    B．1.1×107人    C．1.1×108人    D．11×106人

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【专题】1  ：常规题型．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：1100万=1.1×107，

故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（3分）（2018•临沂）如图，AB∥CD，∠D=42°，∠CBA=°，则∠CBD的度数是（　　）

A．42°    B．°    C．74°    D．106°

【考点】JA：平行线的性质．

【专题】551：线段、角、相交线与平行线．

【分析】利用平行线的性质、三角形的内角和定理计算即可；

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠ABC=∠C=°，

在△BCD中，∠CBD=180°﹣∠C﹣∠D=180°﹣°﹣42°=74°，

故选：C．

【点评】本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．

4．（3分）（2018•临沂）一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（　　）

A．（y+）2=1    B．（y﹣）2=1    C．（y+）2=    D．（y﹣）2=

【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．

【专题】1  ：常规题型．

【分析】根据配方法即可求出答案．

【解答】解：y2﹣y﹣=0

y2﹣y=

y2﹣y+=1

（y﹣）2=1

故选：B．

【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．

5．（3分）（2018•临沂）不等式组的正整数解的个数是（　　）

A．5    B．4    C．3    D．2

【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．

【专题】11 ：计算题；524：一元一次不等式(组)及应用．

【分析】先解不等式组得到﹣1＜x≤3，再找出此范围内的整数．

【解答】解：解不等式1﹣2x＜3，得：x＞﹣1，

解不等式≤2，得：x≤3，

则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，

所以不等式组的正整数解有1、2、3这3个，

故选：C．

【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．

6．（3分）（2018•临沂）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（　　）

A．9.3m    B．10.5m    C．12.4m    D．14m

【考点】SA：相似三角形的应用．

【专题】1  ：常规题型．

【分析】先证明∴△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求出CD即可．

【解答】解：∵EB∥CD，

∴△ABE∽△ACD，

∴=，即=，

∴CD=10.5（米）．

故选：B．

【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．

7．（3分）（2018•临沂）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（　　）

A．12cm2    B．（12+π）cm2    C．6πcm2    D．8πcm2

【考点】U3：由三视图判断几何体；I4：几何体的表面积．

【专题】55：几何图形．

【分析】根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积．

【解答】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是2÷2=1cm，高是3cm．

所以该几何体的侧面积为2π×1×3=6π（cm2）．

故选：C．

【点评】此题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积，关键是根据三视图确定该几何体是圆柱体．

8．（3分）（2018•临沂）2018年某市初中学业水平实验操作考试．要求每名学生从物理、化学、生物三个学科中随机抽取一科参加测试，小华和小强都抽到物理学科的概率是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】X6：列表法与树状图法．

【专题】1  ：常规题型．

【分析】直接利用树状图法列举出所有的可能，进而利用概率公式取出答案．

【解答】解：如图所示：

，

一共有9种可能，符合题意的有1种，

故小华和小强都抽到物理学科的概率是：．

故选：D．

【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有可能是解题关键．

9．（3分）（2018•临沂）如表是某公司员工月收入的资料．

A．平均数和众数    B．平均数和中位数

C．中位数和众数    D．平均数和方差

【考点】WA：统计量的选择．

【专题】1  ：常规题型；542：统计的应用．

【分析】求出数据的众数和中位数，再与25名员工的收入进行比较即可．

【解答】解：该公司员工月收入的众数为3300元，在25名员工中有13人这此数据之上，

所以众数能够反映该公司全体员工月收入水平；

因为公司共有员工1+1+1+3+6+1+11+1=25人，

所以该公司员工月收入的中位数为3400元；

由于在25名员工中在此数据及以上的有13人，

所以中位数也能够反映该公司全体员工月收入水平；

故选：C．

【点评】此题考查了众数、中位数，用到的知识点是众数、中位数的定义，将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数，众数即出现次数最多的数据．

10．（3分）（2018•临沂）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1﹣5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（　　）

A．=    B．=

C．=    D．=

【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．

【专题】12 ：应用题；522：分式方程及应用．

【分析】设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，根据“销售数量与去年一整年的相同”可列方程．

【解答】解：设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，

根据题意，得：=，

故选：A．

【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，确定相等关系．

11．（3分）（2018•临沂）如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（　　）

A．    B．2    C．2    D．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质．

【专题】553：图形的全等．

【分析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值．

【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，

∴∠E=∠ADC=90°，

∴∠EBC+∠BCE=90°．

∵∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠EBC=∠DCA．

在△CEB和△ADC中，

，

∴△CEB≌△ADC（AAS），

∴BE=DC=1，CE=AD=3．

∴DE=EC﹣CD=3﹣1=2

故选：B．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．

12．（3分）（2018•临沂）如图，正比例函y1=k1x与反比例函数y2=的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为1．当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣1或x＞1    B．﹣1＜x＜0或x＞1

C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1    D．x＜﹣1或0＜x＜l

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【专题】1  ：常规题型．

【分析】直接利用正比例函数的性质得出B点横坐标，再利用函数图象得出x的取值范围．

【解答】解：∵正比例函y1=k1x与反比例函数y2=的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为1．

∴B点的横坐标为：﹣1，

故当y1＜y2时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜l．

故选：D．

【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确得出B点横坐标是解题关键．

13．（3分）（2018•临沂）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：

①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；

②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；

③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；

④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．

其中正确的个数是（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

【考点】LN：中点四边形；L5：平行四边形的性质；LA：菱形的判定与性质；LD：矩形的判定与性质；LE：正方形的性质．

【专题】555：多边形与平行四边形．

【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，

【解答】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，

当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，

故④选项正确，

故选：A．

【点评】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．

14．（3分）（2018•临沂）一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（　　）

A．原数与对应新数的差不可能等于零

B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大

C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30

D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大

【考点】37：规律型：数字的变化类．

【专题】33 ：函数思想；535：二次函数图象及其性质．

【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．

【解答】解：设原数为a，则新数为，设新数与原数的差为y

则y=a﹣=﹣

易得，当a=0时，y=0，则A错误

∵﹣

∴当a=﹣时，y有最大值．

B错误，A正确．

当y=21时，﹣=21

解得a1=30，a2=70，则C错误．

故选：D．

【点评】本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分)

15．（3分）（2018•襄阳）计算：|1﹣|=　﹣1　．

【考点】28：实数的性质．

【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．

【解答】解：|﹣|=﹣1．

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查了实数的性质，是基础题，主要利用了绝对值的性质．

16．（3分）（2018•临沂）已知m+n=mn，则（m﹣1）（n﹣1）=　1　．

【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．

【分析】先根据多项式乘以多项式的运算法则去掉括号，然后整体代值计算．

【解答】解：（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1，

∵m+n=mn，

∴（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1=1，

故答案为1．

【点评】本题主要考查了整式的化简求值的知识，解答本题的关键是掌握多项式乘以多项式的运算法则，此题难度不大．

17．（3分）（2018•临沂）如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=6，AC⊥BC．则BD=　4　．

【考点】L5：平行四边形的性质．

【专题】555：多边形与平行四边形．

【分析】由BC⊥AC，AB=10，BC=AD=6，由勾股定理求得AC的长，得出OA长，然后由勾股定理求得OB的长即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD=6，OB=D，OA=OC，

∵AC⊥BC，

∴AC==8，

∴OC=4，

∴OB==2，

∴BD=2OB=4

故答案为：4．

【点评】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

18．（3分）（2018•临沂）如图．在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是　　cm．

【考点】MA：三角形的外接圆与外心．

【专题】17 ：推理填空题．

【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得△ABC外接圆的直径，本题得以解决．

【解答】解：设圆的圆心为点O，能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆，

∵在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm，

∴∠BOC=120°，

作OD⊥BC于点D，则∠ODB=90°，∠BOD=60°，

∴BD=，∠OBD=30°，

∴OB=，得OB=，

∴2OB=，

即△ABC外接圆的直径是cm，

故答案为：．

【点评】本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．

19．（3分）（2018•临沂）任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.为例进行说明：设0.=x，由0.=0.7777…可知，l0x=7.7777…，所以l0x﹣x=7，解方程，得x=，于是．得0.=．将0.写成分数的形式是　　．

【考点】8A：一元一次方程的应用．

【专题】34 ：方程思想；521：一次方程（组）及应用．

【分析】设0.=x，则36.=100x，二者做差后可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：设0.=x，则36.=100x，

∴100x﹣x=36，

解得：x=．

故答案为：．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

三、解答题（本大题共7小题，共63分）

20．（7分）（2018•临沂）计算：（﹣）．

【考点】6C：分式的混合运算．

【专题】11 ：计算题．

【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解后约分即可．

【解答】解：原式=[﹣]•

=•

=•

=．

【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

21．（7分）（2018•临沂）某地某月1～20日中午12时的气温（单位：℃）如下：

22  31  25 15  18  23  21  20  27  17

20  12  18  21  21  16  20  24  26  19

（1）将下列频数分布表补充完整：

（3）根据频数分布表或频数分布直方图，分析数据的分布情况．

【考点】V8：频数（率）分布直方图；V7：频数（率）分布表．

【专题】1  ：常规题型；541：数据的收集与整理．

【分析】（1）根据数据采用唱票法记录即可得；

（2）由以上所得表格补全图形即可；

（3）根据频数分布表或频数分布直方图给出合理结论即可得．

【解答】解：（1）补充表格如下：

（3）由频数分布直方图知，17≤x＜22时天数最多，有10天．

【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

22．（7分）（2018•临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？

【考点】M3：垂径定理的应用．

【专题】1  ：常规题型．

【分析】过B作BD⊥AC于D，解直角三角形求出AD=xm，CD=BD=xm，得出方程，求出方程的解即可．

【解答】解：

工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门，

理由是：过B作BD⊥AC于D，

∵AB＞BD，BC＞BD，AC＞AB，

∴求出DB长和2.1m比较即可，

设BD=xm，

∵∠A=30°，∠C=45°，

∴DC=BD=xm，AD=BD=xm，

∵AC=2（+1）m，

∴x+x=2（+1），

∴x=2，

即BD=2m＜2.1m，

∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门．

【点评】本题考查了解直角三角形，解一元一次方程等知识点，能正确求出BD的长是解此题的关键．

23．（9分）（2018•临沂）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．

【考点】ME：切线的判定与性质；KH：等腰三角形的性质；MO：扇形面积的计算．

【专题】11 ：计算题．

【分析】（1）连接OD，作OF⊥AC于F，如图，利用等腰三角形的性质得AO⊥BC，AO平分∠BAC，再根据切线的性质得OD⊥AB，然后利用角平分线的性质得到OF=OD，从而根据切线的判定定理得到结论；

（2）设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，利用勾股定理得到r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，则OD=1，OB=2，利用含30度的直角三角三边的关系得到∠B=30°，∠BOD=60°，则∠AOD=30°，于是可计算出AD=OD=，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF进行计算．

【解答】（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，

∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，

∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，

∵AB与⊙O相切于点D，

∴OD⊥AB，

而OF⊥AC，

∴OF=OD，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，

∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，

∴OD=1，OB=2，

∴∠B=30°，∠BOD=60°，

∴∠AOD=30°，

在Rt△AOD中，AD=OD=，

∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF

=2××1×﹣

=﹣．

【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了等腰三角形的性质．

24．（9分）（2018•临沂）甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，匀速相向而行．甲的速度大于乙的速度，甲到达B地后，乙继续前行．设出发x h后，两人相距y km，图中折线表示从两人出发至乙到达A地的过程中y与x之间的函数关系．

根据图中信息，求：

（1）点Q的坐标，并说明它的实际意义；

（2）甲、乙两人的速度．

【考点】FH：一次函数的应用．

【专题】521：一次方程（组）及应用；533：一次函数及其应用．

【分析】（1）两人相向而行，当相遇时y=0本题可解；

（2）分析图象，可知两人从出发到相遇用1小时，甲由相遇点到B用小时，乙走这段路程用1小时，依此可列方程．

【解答】解：（1）设PQ解析式为y=kx+b

把已知点P（0，10），（，）代入得

解得：

∴y=﹣10x+10

当y=0时，x=1

∴点Q的坐标为（1，0）

点Q的意义是：

甲、乙两人分别从A，B两地同时出发后，经过1个小时两人相遇．

（2）设甲的速度为akm/h，乙的速度为bkm/h

由已知第小时时，甲到B地，则乙走1小时路程，甲走﹣1=小时

∴

∴

∴甲、乙的速度分别为6km/h、4km/h

【点评】本题考查一次函数图象性质，解答问题时要注意函数意义．同时，要分析出各个阶段的路程关系，并列出方程．

25．（11分）（2018•临沂）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．

（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD=CD；

（2）当α为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由．

【考点】R2：旋转的性质；KD：全等三角形的判定与性质；LB：矩形的性质．

【专题】556：矩形 菱形 正方形．

【分析】（1）先运用SAS判定△AEG≌Rt△FDG，可得DF=AE，再根据AE=AB=CD，即可得出CD=DF；

（2）当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数．

【解答】解：（1）由旋转可得，AE=AB，∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°，EF=BC=AD，

∴∠AEB=∠ABE，

又∵∠ABE+∠GDE=90°=∠AEB+∠DEG，

∴∠EDG=∠DEG，

∴DG=EG，

∴FG=AG，

又∵∠DGF=∠EGA，

∴△AEG≌Rt△FDG（SAS），

∴DF=AE，

又∵AE=AB=CD，

∴CD=DF；

（2）如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，

分两种情况讨论：

①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，

∵GC=GB，

∴GH⊥BC，

∴四边形ABHM是矩形，

∴AM=BH=AD=AG，

∴GM垂直平分AD，

∴GD=GA=DA，

∴△ADG是等边三角形，

∴∠DAG=60°，

∴旋转角α=60°；

②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，

∴∠DAG=60°，

∴旋转角α=360°﹣60°=300°．

【点评】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．

26．（13分）（2018•临沂）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．

①求点P的坐标；

②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【专题】16 ：压轴题．

【分析】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；

（2）①先得AB的解析式为：y=﹣2x+2，根据PD⊥x轴，设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），根据PE=DE，列方程可得P的坐标；

②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM的长，分三种情况：△ABM为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标．

【解答】解：（1）∵B（1，0），

∴OB=1，

∵OC=2OB=2，

∴C（﹣2，0），

Rt△ABC中，tan∠ABC=2，

∴，

∴，

∴AC=6，

∴A（﹣2，6），

把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4；

（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），

易得AB的解析式为：y=﹣2x+2，

设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），

∵PE=DE，

∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=（﹣2x+2），

x=1（舍）或﹣1，

∴P（﹣1，6）；

②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），

设M（﹣1，y），

∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，

BM2=（1+1）2+y2=4+y2，

AB2=（1+2）2+62=45，

分三种情况：

i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，

∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，

解得：y=3，

∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）；

ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，

∴45+4+y2=1+（y﹣6）2，

y=﹣1，

∴M（﹣1，﹣1），

iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，

∴1+（y﹣6）2+45=4+y2，

y=，

∴M（﹣1，）；

综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，）．

【点评】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．