2020-2021学年上海市奉贤区高一(上)期中数学试卷及答案

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分）

1．（4分）集合{1，2}的真子集的个数为　   　．

2．（4分）若幂函数y＝xa的图象经过点（3，），则a＝　   　．

3．（4分）已知方程x2+x﹣4＝0的两个根为x1，x2，则（2）＝　   　．

4．（4分）已知“x＜﹣1或x＞5”是“a≤x≤a+4”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是　   　．

5．（4分）设a＞0，a≠1，若loga4＝2，则＝　   　．

6．（4分）设集合A＝{x|x＝2a，a＞0}，B＝{x|x2﹣2x+3＞0}，则A∩B＝　   　．

7．（5分）若lg2＝a，lg3＝b，则log916＝　   　.（用a，b的代数式表示）

8．（5分）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品　   　件．

9．（5分）设x＞0，y＞0，若ex、ey的几何平均值为e（e是自然对数的底），则x2、y2的算术平均值的最小值是　   　．

10．（5分）已知集合A＝{（x，y）|kx+y＝k+1}，B＝{（x，y）|x+ky＝2k}，其中k为实数，当A∩B≠∅时，则k满足的条件是　   　．

11．（5分）已知关于x的不等式组的解集为[b，a]，则实数a的值为　   　．

12．（5分）已知实数x、y、z满足x＞y＞z，且x+y+z＝1，x2+y2+z2＝1，则x+y的取值范围为　   　．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分．

13．（5分）若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，下列运算正确的是（　　）

A．loga＝logaM

B．（logaM）N＝NlogaM

C．（logaM）÷（logaN）＝loga（M﹣N）

D．logaM+logaN＝loga（M+N）

14．（5分）若非空集合M、N满足M⊆N，则下列集合中表示空集的是（　　）

A．M∩ B．∩N C．∪ D．M∩N

15．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N为1080，则下列各数中与最接近的是（　　）

A．1033 B．1053 C．1073 D．1093

16．（5分）对于区间（1，10000）内的任意两个正整数m、n，定义某种运算“※”如下：当m、n都为正偶数时，m※n＝mn，当m、n都为正奇数时，m※n＝logmn，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝4}中的元素个数是（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）

17．（14分）已知关于x的不等式≥0的解集为P，不等式（x﹣1）2＜1的解集为Q．

（1）若a＝3，求集合P；

（2）求集合P，并求当P∪Q＝P时a的取值范围．

18．（14分）每年3月3日是国际爱耳日，2020年的主题是“保护听力，终生受益”．声强级是表示声强度相对大小，其值为y【单位：dB（分贝）】定义为y＝10lg，其中，I为声场中某点的声强度，其单位为W/m2（瓦/平方米），I0＝10﹣12W/m2为基准值．

（1）如果一辆小轿车内的声音是50dB，求相应的声强度；

（2）如果飞机起飞时的声音是120dB，两人正常交谈的声音是60dB，那么前者的声强度是后者的声强度的多少倍？

19．（14分）设x≥0，A＝，B＝．

（1）求证：A＜，并指出等号成立的条件；

（2）比较A与B的大小关系，并说明理由．

20．（16分）我们知道当a＞0时，am+n＝am•an对一切m、n∈R恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂的性质时，发现有这么一个等式21+1＝21+21，带着好奇，他进一步对2m+n＝2m+2n进行深入研究．

（1）当m＝2时，求n的值；

（2）当m≤0时，求证：n是不存在的；

（3）求证：只有一对正整数对（m，n）使得等式成立．

21．（18分）已知代数式|x+2|和|ax﹣b|．

（1）若a＝0，b＝，求不等式|x+2|＜|ax﹣b|的解集（用区间表示）；

（2）若a＝1，b＝1，用反证法证明：|x+2|、|ax﹣b|中至少有一个数不小于；

（3）若a＞0，不等式|x+2|+|ax﹣b|≥x+1对任意实数x恒成立，试确定实数a、b满足的条件．

2020-2021学年上海市奉贤区高一（上）期中数学试卷

参与试题解析

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分）

1．（4分）集合{1，2}的真子集的个数为　3　．

【分析】若集合A中有n个元素，则集合A有2n﹣1个真子集．

【解答】解：集合{1，2}的真子集一共有：

22﹣1＝3个．

故答案为：3．

【点评】本题考查集合的真子集个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意真子集定义的合理运用．

2．（4分）若幂函数y＝xa的图象经过点（3，），则a＝　　．

【分析】设出函数的解析式，根据幂函数y＝f（x）的图象过点（3，），构造方程求出指数的值，即可得到函数的解析式．

【解答】解：设幂函数的解析式为y＝xa，

∵幂函数y＝f（x）的图象过点（3，），

∴＝3a，解得a＝，

故答案为：．

【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法，属基础题．

3．（4分）已知方程x2+x﹣4＝0的两个根为x1，x2，则（2）＝　　．

【分析】利用根与系数的关系得到x1x2＝﹣4，再对所求式子化简代入即可求出结果．

【解答】解：∵方程x2+x﹣4＝0的两个根为x1，x2，

∴由根与系数的关系得：x1x2＝﹣4，

∴（2）＝＝2﹣4＝，

故答案为：．

【点评】本题主要考查了根与系数的关系，考查了指数幂的运算，是基础题．

4．（4分）已知“x＜﹣1或x＞5”是“a≤x≤a+4”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是　（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）　．

【分析】根据“x＜﹣1或x＞5”是“a≤x≤a+4”的必要非充分条件，得到不等式组，解出即可．

【解答】解：若“x＜﹣1或x＞5”是“a≤x≤a+4”的必要非充分条件，

则由“a≤x≤a+4”⇒“x＜﹣1或x＞5”，

∴a≥5或a+4≤﹣1，

解得：a≤﹣5或a≥5，

故答案为：（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）．

【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，属于基础题．

5．（4分）设a＞0，a≠1，若loga4＝2，则＝　　．

【分析】先把对数式化为指数式，求出a的值，再利用指数幂的运算性质化简所求式子，代入a的值即可求出结果．

【解答】解：∵loga4＝2，∴a2＝4，

又∵a＞0，a≠1，

∴a＝2，

∴＝＝＝＝．

故答案为：．

【点评】本题考查了对数式与指数式的互化，考查了指数幂的运算性质，属于基础题．

6．（4分）设集合A＝{x|x＝2a，a＞0}，B＝{x|x2﹣2x+3＞0}，则A∩B＝　{x|x＞1}　．

【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．

【解答】解：∵A＝{x|x＞1}，B＝R，

∴A∩B＝{x|x＞1}．

故答案为：{x|x＞1}．

【点评】本题考查了描述法的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．

7．（5分）若lg2＝a，lg3＝b，则log916＝　　.（用a，b的代数式表示）

【分析】利用对数的换底公式、运算法则直接求解．

【解答】解：∵lg2＝a，lg3＝b，

∴log916＝＝＝．

故答案为：．

【点评】本题考查对数式化简求值，对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

8．（5分）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品　80　件．

【分析】确定生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值．

【解答】解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是800+x•＝800+x2

这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为f（x）＝＝（x为正整数）

由基本不等式，得f（x）≥2＝20

当且仅当，即x＝80时，f（x）取得最小值、

∴x＝80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小

故答案为80

【点评】本题考查函数的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案．

9．（5分）设x＞0，y＞0，若ex、ey的几何平均值为e（e是自然对数的底），则x2、y2的算术平均值的最小值是　1　．

【分析】由题意可得exey＝e2，即x+y＝2，x＞0，y＞0，然后结合即可求解．

【解答】解：由题意可得exey＝e2，

∴x+y＝2，x＞0，y＞0，

∴＝1，当且仅当x＝y＝1时取等号，

故答案为：1．

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题．

10．（5分）已知集合A＝{（x，y）|kx+y＝k+1}，B＝{（x，y）|x+ky＝2k}，其中k为实数，当A∩B≠∅时，则k满足的条件是　k≠±1　．

【分析】根据题意可得出：方程组有解，然后可得出方程（1﹣k2）x＝k﹣k2有解，从而可得出k需满足的条件．

【解答】解：∵A∩B≠∅，

∴方程组有解，消y得（1﹣k2）x＝k﹣k2，

∴1﹣k2≠0，即k≠±1．

故答案为：k≠±1．

【点评】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，空集的定义，考查了计算能力，属于基础题．

11．（5分）已知关于x的不等式组的解集为[b，a]，则实数a的值为　　．

【分析】结合解集区间为闭区间可知x＝b，x＝a是方程x2+2ax+b+1＝4a2﹣3a3的解，且b＜a，然后结合方程的根与系数关系可求．

【解答】解：因为关于x的不等式组的解集为[b，a]，

结合解集区间为闭区间可知x＝b，x＝a是方程x2+2ax+b+1＝4a2﹣3a3的解，且b＜a，

所以，

解可得，或或（舍），

当a＝1，b＝﹣3时，不等式组为，解得﹣3≤x≤1且x≠﹣1不合题意；

当a＝，b＝﹣1时，不等式组，解得﹣1，此时符合题意．

故a＝，

故答案为：．

【点评】本题主要考查了二次不等式的求解，体现了方程与二次不等相互转化关系的应用．

12．（5分）已知实数x、y、z满足x＞y＞z，且x+y+z＝1，x2+y2+z2＝1，则x+y的取值范围为　（，）　．

【分析】利用基本不等式和题设求得结果即可．

【解答】解：令x+y＝t，则z＝1﹣t，

∵x＞y＞z，且x+y+z＝1，

∴z＝1﹣t＜⇒t＞，t2＝（x+y）2＜2（x2+y2），即x2+y2＞，

∵x2+y2+z2＝1，

∴1＞+z2＝+（1﹣t）2，即3t2﹣4t＜0，解得：0＜t＜，

综上，＜t＜，即x+y∈（，），

故答案为：（，）．

【点评】本题主要考查基本不等式的应用及解不等式，属于中档题．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分．

13．（5分）若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，下列运算正确的是（　　）

A．loga＝logaM

B．（logaM）N＝NlogaM

C．（logaM）÷（logaN）＝loga（M﹣N）

D．logaM+logaN＝loga（M+N）

【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解．

【解答】解：由a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，知：

对于A，loga＝＝logaM，故A正确；

对于B，（logaM）N≠NlogaM＝，故B错误；

对于C，（logaM）÷（logaN）≠loga（M﹣N），故C错误；

对于D，logaM+logaN＝logaMN≠loga（M+N），故D错误．

故选：A．

【点评】本题考查对数式化简求值、对数运算法则，考查运算求解能力，考查数算核心素养．

14．（5分）若非空集合M、N满足M⊆N，则下列集合中表示空集的是（　　）

A．M∩ B．∩N C．∪ D．M∩N

【分析】可以用Venn图来表示集合M，N，U，结合图形即可找出表示空集的选项．

【解答】解：可用Venn图表示集合M，N，U如下：

∴M∩（∁UN）＝∅，即M∩＝∅，

故选：A．

【点评】本题主要考查Venn图表示集合的方法，以及集合的补集和交集运算．

15．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N为1080，则下列各数中与最接近的是（　　）

A．1033 B．1053 C．1073 D．1093

【分析】根据对数的性质得：3＝10lg3≈100.48，

将M化为以10为底的指数形式，计算即可．

【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，

根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，

∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，

∴≈＝1093．

故选：D．

【点评】本题考查了指数形式与对数形式的互化问题，是基础题．

16．（5分）对于区间（1，10000）内的任意两个正整数m、n，定义某种运算“※”如下：当m、n都为正偶数时，m※n＝mn，当m、n都为正奇数时，m※n＝logmn，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝4}中的元素个数是（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【分析】当a，b都为正偶数时，a※b＝ab＝4，a当a，b都为正奇数时，a※b＝logab＝4，a4＝b，再由a，b∈（1，10000），能求出集合M中元素的个数．

【解答】解：∵m、n都为正偶数时，m※n＝mn，

当m、n都为正奇数时，m※n＝logmn，

集合M＝{（a，b）|a※b＝4}，

∴a，b都为正偶数时，a※b＝ab＝4，a＝2，b＝2，

当a，b都为正奇数时，a※b＝logab＝4，a4＝b，

∵a，b∈（1，10000），

∴a＝3，b＝81，或a＝5，b＝625，或a＝7，b＝2401，或a＝9，b＝6561，

∴M＝{（2，2），（3，81），（5，625），（7，2401），（9，6561）}．

∴集合M中有5个元素．

故选：C．

【点评】本题考查集合中元素个数的求法，考查集合定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）

17．（14分）已知关于x的不等式≥0的解集为P，不等式（x﹣1）2＜1的解集为Q．

（1）若a＝3，求集合P；

（2）求集合P，并求当P∪Q＝P时a的取值范围．

【分析】（1）a＝3时，P＝{x|≥0}，由此能求出集合P．

（2）P＝{x|≥0}＝{x|≤0}，根据a＞﹣1，a＝﹣1，a＜﹣1分类讨论，由此能求出集合P，求出Q＝{x|（x﹣1）2＜1}＝{x|0＜x＜2}，由P∪Q＝P，得Q⊆P，由此能求出a的取值范围．

【解答】解：（1）a＝3时，

P＝{x|≥0}＝{x|≤0}＝{x|﹣1＜x≤3}，

（2）P＝{x|≥0}＝{x|≤0}，

当a＞﹣1时，P＝{x|﹣1＜x≤a}，

当a＝﹣1时，P＝∅，

当a＜﹣1时，P＝{x|a≤x＜﹣1}．

∵Q＝{x|（x﹣1）2＜1}＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，P∪Q＝P，

∴Q⊆P，

∴当a＞﹣1时，a＞2，当a≤﹣1时，无解，

综上，当P∪Q＝P时a的取值范围是（2，+∞）．

【点评】本题考查集合、实数的取值范围的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

18．（14分）每年3月3日是国际爱耳日，2020年的主题是“保护听力，终生受益”．声强级是表示声强度相对大小，其值为y【单位：dB（分贝）】定义为y＝10lg，其中，I为声场中某点的声强度，其单位为W/m2（瓦/平方米），I0＝10﹣12W/m2为基准值．

（1）如果一辆小轿车内的声音是50dB，求相应的声强度；

（2）如果飞机起飞时的声音是120dB，两人正常交谈的声音是60dB，那么前者的声强度是后者的声强度的多少倍？

【分析】（1）直接把y＝50代入y＝10lg，求得I得结论；

（2）分别求出声音是120dB和60dB的声强度，作比得结论．

【解答】解：（1）由50＝10lg，得，

即I＝W/m2．

故声音是50dB，相应的声强度是10﹣7W/m2；

（2）设声音是120dB的声强度为I1，

则120＝10lg，即，

设声音是60dB的声强度为I2，

则60＝10lg，即，

∴．

∴前者的声强度是后者的声强度的106倍．

【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查对数方程的求法，是基础的计算题．

19．（14分）设x≥0，A＝，B＝．

（1）求证：A＜，并指出等号成立的条件；

（2）比较A与B的大小关系，并说明理由．

【分析】（1）把A进行分离常数，再由x的范围求得A的值域，则结论得证，并指出等号成立的条件；

（2）利用基本不等式求出B的范围，结合（1）中求得的A的范围，即可比较A与B的大小关系．

【解答】证明：（1）A＝＝，

∵x≥0，∴x+，8（x+）≥4，，

可得＜，即A＜，当且仅当x＝0时等号成立；

解：（2）B＜A，证明如下：

由（1）知，A＜，

B＝，当x＝0时，B＝0，当x＞0时，x2+1≥2x＞0，

∴，当且仅当x＝1时取等号，∴0，

而A与B中的等号不同时成立，∴B＜A．

【点评】本题考查利用分离常数法与基本不等式求函数的值域，考查运算求解能力，是中档题．

20．（16分）我们知道当a＞0时，am+n＝am•an对一切m、n∈R恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂的性质时，发现有这么一个等式21+1＝21+21，带着好奇，他进一步对2m+n＝2m+2n进行深入研究．

（1）当m＝2时，求n的值；

（2）当m≤0时，求证：n是不存在的；

（3）求证：只有一对正整数对（m，n）使得等式成立．

【分析】（1）由题意求解关于n的方程即可确定实数n的值；

（2）由题意求得2n的表达式，然后分类讨论即可证得题中的结论；

（3）将m，n分离到等式的两侧，然后讨论左右两侧的值即可证得题中的结论．

【解答】（1）解：当m＝2时，22+n＝22+2n，即3⋅2n＝4，∴；

（2）证明：设t＝2m，由于m≤0，故t∈（0，1]，由题意可得：t⋅2n＝t+2n，

当m＝0，t＝1时，上述等式明显不成立，

当m≠0，t＜1时，，由于2n＞0，t＞0，t﹣1＜0，故上述等式不成立，

综上可得，实数n不存在．

（3）证明：由2m+n＝2m+2n可得：，

当m，n均为正整数时，等式左侧为2的指数幂，故右侧也是2的指数幂，

很明显只有2m﹣1＝1，m＝1 时满足题意，此时n＝1，

即只有一对正整数对（1，1）使得等式成立．

【点评】本题主要考查指数方程的解法，分类讨论的数学思想，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．

21．（18分）已知代数式|x+2|和|ax﹣b|．

（1）若a＝0，b＝，求不等式|x+2|＜|ax﹣b|的解集（用区间表示）；

（2）若a＝1，b＝1，用反证法证明：|x+2|、|ax﹣b|中至少有一个数不小于；

（3）若a＞0，不等式|x+2|+|ax﹣b|≥x+1对任意实数x恒成立，试确定实数a、b满足的条件．

【分析】（1）将a＝0，b＝代入|x+2|＜|ax﹣b|中，然后去绝对值解不等式即可；

（2）当a＝1，b＝1时，|ax﹣b|＝|x﹣1|，然后假设|x+2|，|x﹣1|均小于，得到，推出矛盾结论，从而证明原命题成立；

（3）根据a＞0时，不等式|x+2|+|ax﹣b|≥x+1对任意实数x恒成立，对|x+2|+|ax﹣b|去绝对值，然后分别得到满足条件实数a、b即可．

【解答】解：（1）当a＝0，b＝时，由|x+2|＜|ax﹣b|，得|x+2|，

∴，∴，

∴不等式的解集为{x|}．

（2）当a＝1，b＝1时，|ax﹣b|＝|x﹣1|．

假设|x+2|，|x﹣1|均小于，

则，∴，∴x∈∅，与假设矛盾，

故|x+2|，|x﹣1|中至少有一个数不小于．

（3）若a＞0，不等式|x+2|+|ax﹣b|≥x+1对任意实数x恒成立，则

①当x≥﹣2，ax﹣b≥0时，，

∴，要使不等式在R上恒成立，

则，∴．

②当x⩾﹣2，ax﹣b≤0时，，

∴，要使不等式在R上恒成立，

则与a＞0矛盾．

③当x≤﹣2，ax﹣b≥0时，，

∴，要使不等式在R上恒成立，

则，∴，

将代入中，得，

要使与x≤﹣2有交集，则，∴与b≤﹣3矛盾．

④当x≤﹣2，ax﹣b≤0时，，

∴，要使不等式在R上恒成立，

则与a＞0矛盾．

综上，要使不等式在R上恒成立，实数a、b满足的条件为．

【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，利用反证法证明不等式和不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．