北京市海淀区2023-2024学年高一上学期期末考试 数学 Word版含答案

数 学

考生须知：

1．本试卷共6页，共三道大题，26道小题，满分150分，考试时间120分钟．

2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．

3．答案一律填涂或书写在答题卡上，用黑色字迹签字笔作答．

4．考试结束，请将本试卷交回．

一、选择题：共14小题，每小题4分，共56分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项

1．已知全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}2,1,0A =--，则U A = （ ）

A ．{}1,2,3

B ．{}1,2

C ．()0,2

D ．()1,2

2．某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查，已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了（ ）

A ．150人

B ．200人

C ．250人

D ．300人

3．命题“,20x x ∃∈+≤R ”的否定是（ ）

A ．,20x x ∃∈+>R

B ．,20x x ∃∈+C ．,20x x ∀∈+>R

D ．,20x x ∀∈+2x y x x +=⎧⎨+=⎩解集是（ ）

A ．()(){}1,1,1,1--

B ．()(){}1,1,2,2-

C ．()(){}1,1,2,2--

D ．()(){}2,2,2,2-- 5．某部门调查了200名学生每周的课外活动时间（单位：h ），制成了如图所示的频率分布直方图，其中课外活动时间的范围是[]10,20，并分成[)[)[)[)[]10,12,12,14,14,16,16,18,18,20五组．根据直方图，判断这200名学生中每周的课外活动时间不少于14h 的人数是（ ）

A ．56

B ．80

C ．144

D ．184

6．若实数a ，b 满足a b >，则下列不等式成立的是（ ）

A ．a b >

B ．a c b c +>+

C ．22a b >

D ．22ac bc >

7．函数()22x f x x =+的零点所在的区间为（ ）

A ．()2,1--

B ．()1,0-

C ．()0,1

D ．()1,2

8．在同一个坐标系中，函数()()()log ,,x a a f x x g x a h x x -===的部分图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

9．下列函数中，既是奇函数，又在()0,+∞上单调递减的是（ ）

A ．()f x x =

B ．()f x x x =-

C ．()11

f x x 2=+ D ．()3f x x = 10．已知0.1232,lo

g 3,log 2a b c ===，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ）

A ．c a b >>

B ．c b a >>

C ．a c b >>

D ．a b c >>

11．已知函数()1212

x f x a =-+，则“1a =”是()f x 为奇函数的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

12．已知函数()()2log 12f x x x =++-，则不等式()0f x <的解集为

A ．(),1-∞

B ．()1,1-

C ．()0,1

D ．()1,+∞

13．科赫（Koch ）曲线是几何中最简单的分形，科赫曲线的产生方式如下：

如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“

”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……

在分形中，一个图形通常由N 个与它的上一级图形相似，且相似比为r 的部分组成．若1D r N

=，则称D 为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形气维数是（ ）

A ．2log 3

B ．3log 2

C ．1

D ．32log 2 14．已知函数()2,,x a x a f x x x a +≤⎧=⎨>⎩

，若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=-成立，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．(],0-∞

B ．1,4⎛

-∞⎤ ⎥⎝⎦ C ．[]4,0 D ．12,4⎡-⎤⎢⎥⎣

⎦ 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分

15．函数()()lg 1f x x =-的定义域是__________．

16．已知幂函数()f x 经过点()2,8，则函数()f x =___________．

17．农科院作物所为了解某种农作物的幼苗质量，分别从该农作物在甲、乙两个不同环境下培育的幼苗中各随机抽取了15株幼苗进行检测，量出它们的高度如下图（单位：cm ）：

记该样本中甲、乙两种环境下幼苗高度的中位数分别为a ，b ，则a b -=___________．

若以样本估计总体，记甲、乙两种环境下幼苗高度的标准差分别为12,s s ，则1s ____2s （用“<，>或=”连接）．

18．已知函数()4f x x a x

=+-没有零点，则a 的一个取值为_______；a 的取值范围是___________．

19．已知函数()22,0,0

x x x f x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则()f x 的单调递增区间为________；满足()4410f x <⨯的整数解的个数为____________（参考数据：lg 20.30≈）

20．共享单车已经逐渐成为人们在日常生活中必不可少的交通工具．通过调查发现人们在单车选择时，可以使用“Tullock 竞争函数”进行近似估计，其解析式为()()[],0,1,01a

a a x S x x a x x =∈>+-（其中参数a 表示市

场外部性强度，a 越大表示外部性越强）．给出下列四个结论：

①()S x 过定点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭

； ②()S x 在[]0,1上单调递增；

③()S x 关于12

x =对称； ④取定x ，外部性强度a 越大，()S x 越小．

其中所有正确结论的序号是______________．

三、解答题：共分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

21．（本小题12分）

化简求值：（I ）()1

0.5

30.2040.13π927-⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （II ）5log 333325log 2log 59-+ 22．（本小题12分）

已知一元二次方程22320x x +-=的两个实数根为12,x x

求值：（I ）2212

x x +；（II ）1211x x + 23．（本小题9分）

正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类．其中“A ：遗址及纪念建筑物”、“B ：石窟寺”、“C ：古建筑及历史纪念建筑物”、“D ：石刻及其他”、“E ：古遗址”、“F ：古墓葬”，北京的18个“第一批文保单位”所在区分布如下表：

（I ）某个研学小组随机选择北京市“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C ：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；

（II ）小王同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“A ：遗址及纪念建筑物”中的一个进行参观：小张同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“C ：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观．两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率；

（III ）现在拟从北京市“第一批文保单位”中的“C ：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查，记抽到海淀区的概率为1P ，抽不到海淀区的概率记为2P ，试判断1P 和2P 的大小（直接写出结论）．

24．（本小题9分）

已知集合{}25320,22|A x x x B x x ⎧

⎫=--<=-≥⎨⎬⎩⎭

（I ）求,R A B A B ；

（II ）记关于x 的不等式()222440x m x m m -+++≤的解集为M ，若B M R =，求实数m 的取值范围．

25．（本小题11分）

已知函数()()()ln 1ln 1f x x k x =-++，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题：

条件①：()()0f x f x +-=

条件②：()()0f x f x --=

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．

（I ）求实数k 的值；

（II ）设函数()()()11k F x x x =-+，判断函数()F x 在区间上()0,1的单调性，并给出证明；

（III ）设函数()()2k g x f x x k =++，指出函数()g x 在区间()1,0-上的零点的个数，并说明理由．

26．（本小题11分）

已知函数()()(),,f x g x h x 的定义域均为R ，给出下面两个定义：

①若存在唯一的x ∈R ，使得()()()()f g x h f x =，则称()g x 与()h x 关于()f x 唯一交换；

②若对任意的x ∈R ，均有()()()()f g x h f x =，则称()g x 与()h x 关于()f x 任意交换．

（I ）请判断函数()1g x x =+与()1h x x =-关于()2f x x =是唯一交换还是任意交换，并说明理由；

（II ）设()()()22()20,1f x a x a g x x bx =+≠=+-，若存在函数()h x ，使得()g x 与()h x 关于()f x 任意交换，求b 的值；

（III ）在（II ）的条件下，若()g x 与()f x 关于()11

x x e x e ω-=+唯一交换，求a 的值．