2012年全国高考理科数学试题及答案-湖北卷

2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（理工类）

本试卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题，满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 方程  +6x +13 =0的一个根是

A -3+2i   B   3+2i   C  -2 + 3i   D  2 + 3i   

2  命题“x0∈CRQ，∈Q  ”的否定是

A  x0∉CRQ，∈Q      B   x0∈CRQ  ， ∉Q 

C  x0∉CRQ ，∈Q   D   x0∈CRQ  ， ∉Q   

3 已知二次函数y =f(x)的图像如图所示 ，则它与X轴所围图形的面积为  

A.   B.   C.  D. 

4.已知某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为

A.   B.3π     C.    D.6π

5.设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=

A.0  B.1  C.11  D.12

6.设a,b,c,x,y,z是正数，且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则

A.  B.  C. D, 

7.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x²；②f（x）=2x；③；④f（x）=ln|x |。

则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为

A.①②  B.③④  C.①③   D.②④

8.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是

A.   B.   C.    D. 

9.函数f（x）=xcosx²在区间[0,4]上的零点个数为

A.4  B.5  C.6   D.7

10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式。人们还用过一些类似的近似公式。根据=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是

二、填空题：本大题共6小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

（一）必考题（11-14题）

  11.设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c。若（a+b-c）（a+b+c）=ab，

则角C=______________。

  12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=___________.

13.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，,121,3443,94249等。显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999。则

（Ⅰ）4位回文数有______个；

（Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文数有______个。

14.如图，双曲线的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为，两焦点为F1，F2。若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D。则

（Ⅰ）双曲线的离心率e=______；

（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值__________。

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分。）

15.（选修4-1：几何证明选讲）

如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为_____________。

16.（选修4-4：坐标系与参数方程）

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线与曲线（t为参数）相较于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为_________。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

已知向量a=，b=，设函数f（x）=a·b+的图像关于直线x=π对称，其中为常数，且

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若y=f（x）的图像经过点求函数f（x）在区间上的取值范围。

18.（本小题满分12分）

已知等差数列{an}前三项的和为-3，前三项的积为8.

（1）求等差数列{an}的通项公式；

（2）若a2,a3,a1成等比数列，求数列的前n项的和。

19.（本小题满分12分）

如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），

（1）当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大；

（2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小

20．（本小题满分12分）

根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：

（I）工期延误天数Y的均值与方差；

（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率。

21.（本小题满分13分）

设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m>0,且m≠1）。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。

（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；

（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。

22.(本小题满分14分)

（I）已知函数f（x）=rx-xr+（1-r）（x>0），其中r为有理数，且0（II）试用（I）的结果证明如下命题：

设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；

（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注：当α为正有理数时，有求道公式(xα）r=αxα-1