河南省2021年中考数学真题试卷(word版+答案+解析)

一、单选题（共10题；共20分）

1.实数-2的绝对值是（   ）            

A. -2                               B. 2                               C.                                D. 

2.河南人民济困最“给力！”，据报道，2020年河南人民在济困方面捐款达到  亿元数据“  亿”用科学记数法表示为（   ）            

A.             B.             C.             D. 

3.如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（   ）  

A.             B.             C.             D. 

4.下列运算正确的是（   ）            

A.           B.           C.           D. 

5.如图，  ，  ，则  的度数为（   ）  

A.                          B.                          C.                          D. 

6.关于菱形的性质，以下说法不正确的是（   ）            

A. 四条边相等          B. 对角线相等          C. 对角线互相垂直          D. 是轴对称图形

7.若方程  没有实数根，则  的值可以是（   ）            

A. -1                                 B.                                  C. 1                                 D. 

8.现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（   ）  

A.                                B.                                C.                                D. 

9.如图，  的顶点  ，  ，点  在  轴的正半轴上，延长  交  轴于点  .将  绕点  顺时针旋转得到  ，当点  的对应点  落在  上时，  的延长线恰好经过点  ，则点  的坐标为（   ）  

A.                 B.                 C.                 D. 

10.如图1，矩形  中，点  为  的中点，点  沿  从点  运动到点  ，设  ，  两点间的距离为  ，  ，图2是点  运动时  随  变化的关系图象，则  的长为（   ）  

A. 4                                  B. 5                                  C. 6                                  D. 7

二、填空题（共5题；共5分）

11.若代数式  有意义，则实数x的取值范围是________.    

12.请写出一个图象经过原点的函数的解析式________.    

13.某外贸公司要出口一批规格为  克/盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近.质检员从两厂的产品中各随机抽取  盒进行检测，测得它们的平均质量均为  克，每盒红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是________.（填“甲”或“乙”）  

14.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为  ，点  ，  ，  均在小正方形的顶点上，且点  ，  上，  的长为________.  

15.小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在  中，  ，  ，  .第一步，在  边上找一点  ，将纸片沿  折叠，点  落在  处，如图2，第二步，将纸片沿  折叠，点  落在  处，如图3.当点  恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段  的长为________.  

三、解答题（共8题；共83分）

16.      

（1）计算：  ；    

（2）化简：  .    

17.  2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达到9小时.某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取500名进行卷调查，并将调查结果用统计图描述如下.  

调查问卷

1近两周你平均每天睡眠时间大约是          小时.

如果你平均每天睡眠时间不足9小时，请回答第2个问题

2影响你睡眠时间的主要原因是          .（单选）

平均每天睡眠时间  （时）分为  组：①  ；②  ；③  ；④  ；⑤  .

根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第________（填序号）组，达到  小时的学生人数占被调查人数的百分比为________；    

（2）请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议.    

18.如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数  的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B.  

（1）求反比例函数的解析式；    

（2）求图中阴影部分的面积.    

19.开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图，他们选取的测量点  与佛像  的底部  在同一水平线上.已知佛像头部  为  ，在  处测得佛像头顶部  的仰角为  ，头底部  的仰角为  ，求佛像  的高度（结果精确到  .参考数据：  ，  ，  ）  

20.在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”  ，  的连接点  在  上，当点  在  上转动时，带动点  ，  分别在射线  ，  上滑动，  .当  与  相切时，点  恰好落在  上，如图2.  

请仅就图2的情形解答下列问题.

（1）求证：  ；    

（2）若  的半径为  ，  ，求  的长.    

21.猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销.小李在某网店选中  ，  两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售.两款玩偶的进货价和销售价如下表：  

类别

（2）第二次小李进货时，网店规定  款玩偶进货数量不得超过  款玩偶进货数量的一半.小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？    

（3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？  

（注：利润率  ）

22.如图，抛物线  与直线  交于点A(2，0)和点  .  

（1）求  和  的值；    

（2）求点  的坐标，并结合图象写出不等式  的解集；    

（3）点  是直线  上的一个动点，将点  向左平移  个单位长度得到点  ，若线段  与抛物线只有一个公共点，直接写出点  的横坐标  的取值范围.    

23.下面是某数学兴趣小探究用不同方法作一角的平分线的讨论片段.请仔细阅读，并完成相应的任务.  

小明：如图1，（1）分别在射线  ，  上截取  ，  （点  ，  不重合）；（2）分别作线段  ，  的垂直平分线  ，  ，交点为  ，垂足分别为点  ，  ；（3）作射线  ，射线  即为  的平分线.简述理由如下：

由作图，  ，  ，  ，所以  ，则  ，即射线  是  的平分线.

小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是大麻烦了，可以改进如下，如图2.（1）分别在射线  ，  上截取  ，  （点  ，  不重合）；（2）连接  ，  ，交点为  ；（3）作射线  ，射线  即为  的平分线.

……

（1）小明得出  的依据是________.（填序号）  

①  ；②  ；③  ；④  ；⑤  .

（2）小军作图得到的射线  是  的平分线吗？请判断并说明理由；    

（3）如图3，已知  ，点  ，  分别在射线  ，  上，且  .点  ，  分别为射线  ，  上的动点，且  ，连接  ，  ，交点为  ，当  时，直接写出线段  的长.    

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 B   

【考点】实数的绝对值    

【解析】【解答】解：实数-2的绝对值2.

故答案为：B.

 【分析】利用负数的绝对值等于它的相反数，可得答案.

2.【答案】 B   

【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数    

【解析】【解答】解：因为1亿=  ， 

所以2.94亿=2.94×  ；

故答案为：B.

 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.

3.【答案】 A   

【考点】简单组合体的三视图    

【解析】【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层靠左边两个小正方形，第三层在左边一个小正方形， 

故答案为：A.

 【分析】根据主视图的概念可得：第一列有3个小正方形，第二列有2个小正方形，第三列有1个小正方形，据此判断.

4.【答案】 C   

【考点】同底数幂的乘法，完全平方公式及运用，合并同类项法则及应用，幂的乘方    

【解析】【解答】解：A、  ，原计算错误，不符合题意； 

B、  ，原计算错误，不符合题意；

C、  ，正确，符合题意；

D、  ，原计算错误，不符合题意；

故答案为：C.

 【分析】根据幂的乘方法则判断A的正误；根据合并同类项法则判断B的正误；根据同底数幂的乘法法则判断C的正误；根据完全平方公式判断D的正误.

5.【答案】 D   

【考点】平行线的性质，邻补角    

【解析】【解答】解：如图， 

∵a∥b，

∴∠1=∠3=60°，

∴∠2=180°-∠3=120°，

故答案为：D.

 【分析】首先对图形进行角标注，由平行线的性质可得∠3的度数，然后根据邻补角的性质就可求得∠2的度数.

6.【答案】 B   

【考点】菱形的性质    

【解析】【解答】解：A、菱形的四条边都相等，A选项正确，不符合题意； 

B、菱形的对角线不一定相等，B选项错误，符合题意；

C、菱形的对角线互相垂直，C选项正确，不符合题意；

D、菱形是轴对称图形，D选项正确，不符合题意；

故答案为：B.

 【分析】菱形的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，据此判断.

7.【答案】 D   

【考点】一元二次方程根的判别式及应用    

【解析】【解答】解：由题可知：“△＜0”， 

∴  ，

∴  ，

故答案为：D.

 【分析】根据根的判别式可得：(-2)2-4m<0，求解即可.

8.【答案】 A   

【考点】列表法与树状图法    

【解析】【解答】解：把印有“北斗”、“天问”、“高铁”和“九章”的四张卡片分别记为：A、B、C、D， 

画树状图如图：

共有12种等可能的结果，所抽中的恰好是B和D的结果有2种，

∴所抽取的卡片正面上的图形恰好是“天问”和“九章”的概率为  .

故答案为：A.

 【分析】把印有“北斗”、“天问”、“高铁”和“九章”的四张卡片分别记为：A、B、C、D，画出树状图，找出总的情况数以及所抽中的恰好是B和D的情况数，然后根据概率公式进行计算.

9.【答案】 B   

【考点】勾股定理，相似三角形的判定与性质，旋转的性质    

【解析】【解答】如图，连接  ，因为  轴， 

 绕点  顺时针旋转得到  ，

所以  ， 

 ， 

故答案为B.

 【分析】连接A′C ，由旋转的性质可得∠CDO=90°，OD′=OD，然后证明△ADO∽△OD′C，接下来根据相似三角形的性质以及勾股定理求解即可.

10.【答案】 C   

【考点】动点问题的函数图象    

【解析】【解答】解：由图2可知，当P点位于B点时，  ，即  ， 

当P点位于E点时，  ，即  ，则  ，

∵  ，

∴  ，

即  ，

∵ 

∴  ，

∵点  为  的中点，

∴  ，

故答案为：C.

 【分析】由图2可知，当P点位于B点时，AB-BE=1，当P点位于E点时，AE=5，由勾股定理可得BE的值，然后根据线段中点的概念进行求解.

二、填空题

11.【答案】 x≠1   

【考点】分式有意义的条件    

【解析】【解答】解：依题意得：x-1≠0， 

解得x≠1，

故答案为：x≠1.

【分析】分式有意义时，分母不能为0，据此求得x的取值范围.

12.【答案】 y=x（答案不唯一）   

【考点】待定系数法求一次函数解析式    

【解析】【解答】解：因为直线y=x经过原点（0，0）， 

故答案为：y=x（本题答案不唯一，只要函数图象经过原点即可）.

 【分析】设y=kx+b，将（0，0）代入可得b=0，则y=kx，任意的k就构成一个函数解析式.

13.【答案】 甲   

【考点】方差    

【解析】【解答】解：由题可知，它们的价格相同，品质也相近，测得它们的平均质量均为 200 克， 

而由图形可知，甲厂的红枣每盒质量相对乙厂更加稳定，

因此甲厂产品更符合规格要求.

故答案为：甲.

 【分析】由题意可得： 甲、乙两个厂家出口的红枣的平均质量均为200克，然后由折线统计图判断出哪个厂家的比较集中即可.

14.【答案】    

【考点】弧长的计算    

 的圆心O， 

 的半径为OB=5，

连接OC，

∵∠BAC=22.5°，

∴∠BOC=2  22.5°=45°，

 的长为  .

故答案为： 

的圆心O，根据已知条件结合圆周角定理可得∠BOC的度数，然后根据弧长公式计算即可.

15.【答案】  或    

【考点】含30°角的直角三角形，翻折变换（折叠问题）    

【解析】【解答】解：当  落在  边上时，如图（1）： 

设  交  于点  ，

由折叠知：  ，

 ，  ， 

 ，  ， 

设  ，则在  中， 

在  中， 

即  .

当  落在  边上时，如图（2）

因为折叠， 

 .

故答案为：  或 

 【分析】当D′落在AB边上时，设DD′交AB于点E，由折叠的性质得∠EA′D=∠A=60°，AD=A′D=A′D′，A′C=AC，然后在△ABC中可得AB、BC的值，设AD=x，在Rt△A′ED中可得A′E，在Rt△ECB中，表示出EC，然后根据A′C=AC就可求得x；当D′落在BC上时，由折叠的性质得∠ACD=∠A′CD=∠A′CD′=30°，然后求出A′D′、A′C，据此可得AD.

三、解答题

16.【答案】 （1）解：    

 .

（2）解：    

 .

【考点】实数的运算，分式的混合运算    

【解析】【分析】（1）根据0次幂、负整数指数幂以及算术平方根的概念可得：原式=-+1，据此计算；

 （2）根据异分母分式减法法则以及分式的除法法则化简即可.

17.【答案】 （1）③；17％

（2）解：该校学生睡眠情况为：该校学生极少数达到《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中的初中生每天睡眠时间应达到 9 小时的要求，大部分学生睡眠时间都偏少，其中超过一半的学生睡眠时间达不到8小时，约4％的学生睡眠时间不到6小时. 

建议：①减少校外学习任务时间，将其多出来的时间补充到学生睡眠中去；

②减轻校内课业负担，提高学生的学习效率，规定每晚各科作业总时间不超过90分钟等（本题答案不唯一，回答合理即可）.

【考点】扇形统计图，条形统计图    

【解析】【解答】解：（1）由于共有500人，因此中位数应为该组数据按从小到大或从大到小排列的第250和251个数据的平均数，由平均每天睡眠时间统计图可知，应位于第③组； 

∵达到9小时睡眠的人数为85人，

∴其所占百分比为：  ；

故答案为：③；17％.

【分析】（1）根据中位数的概念以及条形统计图可得中位数落在第几组， 利用达到9小时睡眠的人数除以总人数可得所占的百分比；

 （2）根据条形统计图可得：大部分学生睡眠时间都偏少，其中超过一半的学生睡眠时间达不到8小时，约4％的学生睡眠时间不到6小时，据此提出建议.

18.【答案】 （1）解：由题意，点A(1，2)在反比例函数y=  的图象上，  

∴  ，

∴反比例函数的解析式为  ；

（2）解：点B是小正方形在第一象限的一个点，由题意知其横纵坐标相等， 

设B(a，a)，则有  ，

∴  ，即B(  ，  )，

∴小正方形的边长为  ，

∴小正方形的面积为  ，

大正方形经过点A(1，2)，则大正方形的边长为  ，

∴大正方形的面积为  ，

∴图中阴影部分的面积为16-8=8.

【考点】待定系数法求反比例函数解析式    

【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中可得k的值，进而得到其解析式；

 （2）设B（a，a），则有k=a×a=2，据此可得点B的坐标，进而求出小正方形的边长与面积，根据点A的坐标可得大正方形的边长，求出其面积，接下来根据面积间的和差关系进行求解.

19.【答案】 解：设佛像  的高度为xm，  

∵∠BAD=45°，

∴∠BAD=∠ABD=45°，

∴AD=BD=x，

∵佛像头部  为  ，

∴CD=x-4，

∵∠DAC=37.5°，

∴tan∠DAC=   =   ≈0.77，

解得：x≈17.4，

经检验，该方程有意义，且符合题意，

因此x≈17.4是该方程的解，

∴求佛像  的高度约为17.4m.

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题    

【解析】【分析】设佛像BD的高度为xm，易得AD=BD=x，CD=x-4，然后根据∠DAC的正切函数可得x的值，最后进行检验即可.

20.【答案】 （1）证明：连接  ，取  轴正半轴与  交点于点  ，如下图：  

 ，

 为  的外角，

 ，

 ，

 ，

 .

（2）解：过点  作  的垂线，交  与点  ，如下图：  

由题意：

在  中，

 ，

由（1）知：  ，

 ，

 ，

 ，

 ，

 ，

由圆的性质，直径所对的角为直角；

在  中，由勾股定理得：

 ，

即  .

【考点】三角形的外角性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义    

【解析】【分析】（1）连接OP，取y轴正半轴与○O交点于点Q，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可推出∠POQ=2∠PBO，根据同角的余角相等可得∠PAO=∠POQ，据此证明；

 （2）过点Q 作PO的垂线，交PO与点C，根据三角函数的概念可得tan∠PAO的值，易证△APO∽△OCQ，根据相似三角形对应角相等可求出CO、CQ的值，进而求出PC、PQ的值，接下来在Rt△QPB中，利用勾股定理求解即可.

21.【答案】 （1）解：设  ，  两款玩偶分别为  个，根据题意得：  

解得：  

答：两款玩偶，  款购进20个，  款购进10个.

（2）解：设购进  款玩偶a个，则购进  款  个，设利润为y元  

则  

 （元）

 款玩偶进货数量不得超过  款玩偶进货数量的一半

 ，又   

  且  为整数，

 当  时，y有最大值

 （元）

   款10个，  款20个，最大利润是460元.

（3）解：第一次利润  （元）  

 第一次利润率为：  

第二次利润率为：  

 第二次的利润率大，即第二次更划算.

【考点】一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用-销售问题    

【解析】【分析】（1）设A，B两款玩偶分别为x、y个，根据题意得：  ， 求解即可；

 （2） 设购进A款玩偶a个，利润为y元，由题意可得：y=(56-40)a+(45-30)(30-a)=450+a，根据A 款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半可求出a的范围，然后结合一次函数的性质解答；

 （3）首先根据销售价以及进货价求出单个的利润，然后乘以个数求出总利润，接下来利用总利润除以1100就可求出第一次的利润率，同理求出第二次利润率，然后进行比较.

22.【答案】 （1）解：∵点A(2，0)同时在  与  上，  

∴  ，  ，

解得：  ，  ；

（2）解：由（1）得抛物线的解析式为  ，直线的解析式为  ，  

解方程  ，得：  .

∴点B的横坐标为  ，纵坐标为  ，

∴点B的坐标为(-1，3)，

观察图形知，当  或  时，抛物线在直线的上方，

∴不等式  >  的解集为  或  ；

（3）解：如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1  ，  

∵点A(2，0)，点B(-1，3)，

∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)，

∴A A1  BB1  3，且A A1∥BB1  ， 即MN为A A1、BB1相互平行的线段，

对于抛物线  ，

∴顶点为(1，-1)，

如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线  只有一个公共点，

此时  ，

当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线  也只有一个公共点，

此时点M1的纵坐标为-1，则  ，解得  ，

综上，点M的横坐标  的取值范围是：  或  ..

【考点】平移的性质，二次函数与一次函数的综合应用，二次函数图象上点的坐标特征    

【解析】【分析】（1）分别将点A的坐标代入抛物线以及直线解析式中就可得到m、b的值；

 （2） 由（1）可得抛物线与直线的解析式，联立求解可得点B的坐标，据此可得不等式的解集；

 （3）设A、B向左移3个单位得到A1、B1， 根据平移的性质可得A1、B1的坐标，求出AA1=BB1=3，且AA1∥BB1  ， 然后求出抛物线的顶点坐标 ，接下来画出图象，根据图象就可得到xM的范围.

23.【答案】 （1）⑤

（2）解：小军作图得到的射线  是  的平分线，理由为：  

在△EOD和△FOC中，

∴△EOD≌△FOC（SAS），

∴∠OED=∠OFC，

∵OC=OD，OE=OF，

∴CE=DF，

在△CEP和△DFP中，

 ，

∴△CEP≌△DFP（AAS），

∴PE=PF，

在△EOP和△FOP，

 ，

∴△EOP≌△FOP（SSS），

∴∠EOP=∠FOP，

即射线  是  的平分线；

（3）解：作射线OP，由（2）可知OP是∠AOB的平分线， 

∴∠POE=  ∠AOB=30°，

∵  ，

∴  

∵△EOP≌△FOP，

∴∠OPE=∠OPF=  （360°﹣∠FPE）=105°，

∴∠OEP=180°﹣∠POE﹣∠OPE=45°，

过P作PH⊥OA于H，

则HP=HE， OP=2HP=2HE，

∴ PE=  HE， OH=  =  HP=  HE，

∵OE=OH+HE=(  +1)HE=  +1，

∴HE=1，

∴PE=  ，

∵∠POE=∠CPE=30°，∠OEP=∠PEC，

∴△OEP∽△PEC，

∴  即  ，

解得：CE=  ，

∴OC=OE﹣CE=2.

【考点】三角形全等的判定，相似三角形的判定与性质，角平分线的判定    

【解析】【解答】解：（1）根据小明作图所阐述的理由，他用到是HL定理证明  ， 

故答案为：⑤.

【分析】（1）直接根据全等三角形的判定定理解答；

 （2） 易证△EOD≌△FOC，得到∠OED=∠OFC，然后证明△CEP≌△DFP，得到PE=PF，进而证明△EOP≌△FOP，得到∠EOP=∠FOP，据此证明；

 （3）作射线OP，由（2）可知OP是∠AOB的平分线，根据△EOP≌△FOP结合等腰三角形的性质可得∠OPE=∠OPF=105°，进而求出∠OEP的度数，过P作PH⊥OA于H，则HP=HE， OP=2HP=2HE，由勾股定理可得OH的值，进而求出OE、HE、PE的值，接下来证明△OEP∽△PEC，由相似三角形的性质解答即可.