西北工业大学2009年线性代数考题

一．（24分）选择填空与计算填空

1. 设向量组线性相关，则向量组（         ）

(1) 一定线性相关；           (2) 一定线性无关；

(3) 可能线性相关，也可能线性无关. 

2. 划分可逆方阵，则线性方程组与（       ）

    (1) 必有唯一公共解；       (2) 必有多个公共解；

    (3) 没有公共解.

3. 矩阵可表示为两个初等矩阵P与Q的乘积，其中

      ，      

4. 设2是3阶方阵A的一个2重特征值，问齐次线性方程组有多少个非零解？                                      （           ）

5. 设，k为正整数，则

6. 设为实矩阵，为实向量，则二次型的矩阵为（            ）

二．（11分）已知向量组线性无关，讨论向量组

的线性相关性（t为实数）。

三．（15分）设，，讨论线性方程组的可解性，并在有解的情形，任选其一求解（要求用向量形式表示）。

四．（10分）设，B满足，计算行列式。

五．（10分）设与满足，证明：

   1.不是B的特征值；

   2.  B的特征向量都是A的特征向量。

六．（15分）已知二次型的秩为2.

   1. 求参数b；

   2. 用正交变换将化为标准型；（要求写出正交变换的矩阵）

   3. 求方程的全体解向量。

七．（15分）已知向量空间的两个基为

   （I）：； （II）：

   1. 求出基（I）改变为基（II）的过渡矩阵P；

   2. 求在基（I）下的坐标；

   3. 判断是否存在非零向量，使得它在基（I）与基（II）下的坐标相同？