拟合多项式的最小二乘法

题目：

有一只对温度敏感的电阻，已经测得了一组温度T和电阻R的数据如下，问当温度为60oC时，电阻有多大？

已知变量x，y之间的函数关系为：

通过实验获得一组{， | i=1,2,3，···，m}测量数据，确定出系数。

当n=1时，函数为线性关系若函数为线性关系，其形式为：

（1）

式中a, b为要用实验数据确定的常数。由实验测得的数据是总是存在着误差，所以，把各组数据代入(1)式中，两边并不相等。相应的作图时，数据点也并不能准确地落在公式对应的直线上，误差的的平方和为：

为了使拟合出的近似曲线能尽量反映所给数据的变化趋势，要求在所有数据点上的残差

都较小。为达到上述目标，可以令上述偏差的平方和最小，即

称这种方法为最小二乘原则，利用这一原则确定拟合多项式的方法即为最小二乘法多项式拟合。按最小二乘法，当a, b选择适当，能使为最小时才是最佳曲线。用偏导数的方法求出此式的最小值。

以上是线性拟合的基本原理。

程序：

x0=[20.5, 32.7, 51.0, 73.0, 95.7];    %t的行向量

y0=[765, 826, 873, 942, 1032];         %r的列向量

%plot(x0,y0,'r');                      %画连续的图形，颜色设置为红

n=1;

P=polyfit(x0,y0,n)                     %生成拟合多项式

xx=0:1:100;

z=polyval(P,xx);                       %计算z的值

plot(xx,z,'-b',x0,y0,'.r')              %绘图

legend('拟合曲线','原始数据','Location','SouthEast') %注标题

xlabel('x')

zz=polyval(P,60);                        %计算60时拟合多项式的值

display(zz)

当n=1时，即线性拟合。60oC时电阻值为906.0212。

当n=5时，即高次多项式拟合，由图可以看出边缘部分误差比中间部分误差要大。60oC时电阻值为906.0093.

小结：

通过这个实验，验证了直线拟合和曲线拟合的优缺点，多项式次数太小时数据点之间差别很大，次数最大是误差最小但是有时后不符合实际情况，所以用最小二乘法时次数要取合适一点。