3变限积分函数的性质及其应用

    由于定积分概念是利用极限工具给出的，所以利用定积分的定义计算定积分是十分困难的，有时甚至是不可能的。为了让定积分概念能得到实际应用，必须寻找简便有效的计算定积分的方法，那么我们必须探求定积分更加深刻的性质。本节将介绍两个重要的定理，通过沟通定积分与不定积分的关系，给出了一个解决定积分计算问题的有效途径。

3.1变限积分

    定积分有一个十分特殊而重要的性质，它对进一步考察微分和积分的关系起十分关键的作用。但需要先介绍一个概念：

    定义3.1  设在上可积，则对，在上也可积，于是，由

， 

定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限函数。类似地，可定义变下限的函数：

， 

和统称为变限函数。也叫做面积函数。

注  由于  ，因此，只要讨论变上限函数即可。

定理3.1  若函数在上可积，则变上限函数在上连续。

证  利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得。

对[a，b]上的任一点，只要，按照的定义有

      。

又函数在[a， b]上可积，则在[a， b]上有界，即存在正数，对一切有。又当时有

      。

又不难验证，当时，上述不等式仍然成立。从而有。这就证得在上的连续性。

3.2微积分学基本定理 

1变限积分的可微性 ——微积分学基本定理  

当函数得可积性问题获得解决后，接着是要找到一种计算定积分得有效方法。下面将通过揭示定积分与不定积分之间的内在联系来完成这一任务。下面的两个定理，由于所起的重要作用而被称为微积分学基本原理。 

    定理3.2  若函数在上连续，则变上限函数在上可微，且

           ， x                 (3.1)    

证  ，任取，且，则

     ，

由积分中值定理知，存在 介于x与x+x之间，使得

           ，

由于，再由导数定义及的连续性知

             。

    注  (1)  当时，  可导且在点的导数恰为被积函数在上限的值。 亦即是的一个原函数。即连续函数必有原函数，因此定理1又称原函数存在定理。

(2)  变上限函数与分段函数有点类似，是一个难点，从而也是一个考试的热点，它常与极限、求导、最值等知识结合出现形成综合性的题目，应与重视。我们将这里拓宽一下。

若可导，则与变上限函数构成了复合函数，由复合函数求导法则知

             。              (3.2)

例3.1设，求。

 解  ，，。

注  一般地有公式：

；                           (3.3)

。                     (3.4)

例3.2设在[0，+∞]内连续，且 0，求证函数在

[0，+∞]内为单调增加函数。

 证  x0，由0，得，所以在(0，+∞)内有定义，且

           。

    因>0，  在内，又连续，    

，在区间内在区间内

严格递增。

2Newton — Leibniz 公式

定理3.3  如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则

。               　(3.5)

    证  已知函数是连续函数的一个原函数，又根据定理3.2知道，变上限函数也是的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数，即

。                         (3.6)

在(3.6)式中令，得。又由的定义式及上节定积分的补充规定知，因此，。以代入(3.6)式中的，以代入(3.6)式中的，可得

                  。

在上式中令，就得到所要证明的公式(3.5) 。

注  (1)  在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如：在在上连续，在内可导，且。而只要在在上可积即可。

(2)  这个公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系。它表明：一个连续函数在区间上的定积分等于它的任一个原函数在区间上的增量。这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算手续。

     3  定积分计算的算术化

 由积分性质知，(3.5)式对的情形同样成立。为方便起见，以后把记成。公式(3.5)叫做Newton-Leibniz公式，也称为微积分基本公式。有了微积分基本公式，便可以将定积分的计算转化为寻求原函数，即转化为不定积分的计算。然后利用不定积分的计算结果，经过简单的代数运算，即可得出定积分的值。它给定积分提供了一种有效而简便的基本计算方法，它是整个积分学中十分重要的公式。

例3.3计算定积分。

 解  。

例3.4计算。

 解  。

例3.5计算。

 解  。

例3.6计算积分=。

  解  时，  = ;

     时，  = ;

     时，  =。

因此，   

例3.7利用积分的值， 计算积分。

  解   

       ，

而   ，  

           。

因此， 

3.3若干应用

      1  利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式

例3.8证明不等式。

证   注意在区间 [ 0，1]上有，    ……

例3.9证明不等式。

     证 考虑函数，。

易见对任何，在区间上和均单调，因此可积，且有 ，注意到，就有  。而

            ，

            。

因此有。

取，。  

在区间仿以上讨论， 有。而

           ， 

  。

综上 ，  有不等式。

2某些不等式的积分推广

  原理  设函数和在区间上可积。  为区间的等分分法，  。 若对任何和，  均有

         ， 即得。

令，   注意到函数和在区间上可积， 即得积分不等式

                   。

倘若函数和连续 ，  还可由   

           。

例3.10证明 Schwarz 不等式：  设函数和在区间上连

续(其实只要可积就可)。  则有不等式

           。

证法一   设为区间的等分分法。由Cauchy 不等式，有

               ，

两端同乘以，有 

     ，

令，注意到函数、和在区间上的可积性以及函数的连续性，就有积分不等式

                 。

证法二   对任何实数，有， 

             ，

 即对任何实数成立。即上述关于的二次不等式的解集为全体实数，  于是就有

            ，

即    。

例3.11设函数 且。 证明不等式

           。 

证   取。对函数和应用Schwarz 不等式，  即得所证。

例3.12设函数在区间 [ 0 ， 1 ]上可积 。  试证明有不等式

                    。

  证  先用Jensen不等式法证明不等式 ：  对， 有不等式

             。   

     设为区间的等分分法。  由上述不等式 ，  有

                。

   令， 注意到函数和在区间 [ 0，1]上的可积性以及函数和的连续性，就有积分不等式

             。

例3.13仿该例， 可得到均值不等式、用Jensen不等式法证明的某些不等

式的积分形式。

3   面积函数的导数 

       ，或；                   (3.1)

       。                              (3.2)

例3.14设，求导数。

      解  。

例3.15设，求导数，。

      解  ，故，。

例3.16设，求。

      解，，故。

例3.17求函数在上的最大、最小值。

      解  由，，表明函数单调增加，从而

          。

      。

例3.18设，求及。

      解  两边求导数：，则，

           ，

即：，。

例3.19求函数的导数。

      解  。

例3.20求。

      解 因为， ，

故

                 。

例3.21设函数连续且。求和。

  解   令。 两端求导，   =。

例3.22 设。   =。 试证明 ：

                          =。

  证   =，  

               =。

例3.23 已知，，求。

      解  注意到是的函数，两边对求导，得，求得：  

                    。

例3.24 设处处连续，，求，。

      解  ，则

          ；   

          。

例3.25 设，，，求。

      解  若：则 ；

    若：则 ；

所以，。

4  含有变限积分的未定型极限

例3.26求极限。

      解  。

例3.27求极限。      

 解  

             。              

5  利用定积分求和式极限   

    因为定积分是一类和式的极限，故可以借助于定积分来为某些特殊的极限。利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分和的形式。

例3.28 求极限。  

解   =。               (3.7)

(3.7)式是函数在上的一个积分和。它是把    等分，取为的右端点(即)构成的积分和。因为函数在上可积， 由定积分定义， 有 

       =。     

例3.29求极限。

  解   ==。

由函数在区间 [ 0，1]上可积 ，  有

=。

              。

例3.30 求极限。    

  解   ==。

             ，

            。

因此，  。

例3.31证明： 对任何， 有不等式<。

  证  = 是=在区间[ 0，1]

上相应于等分分法的小和。由函数=在区间[ 0，1]上可积，  有时，  。又易见严格递增  

对任何，  有<，  即   <。

练习6.3

1．设上连续，。证明。

2．利用Newton—Leibniz公式计算下列定积分：

  (1)  ；          (2)  ；       

      (3)   ；              (4)   ；

      (5)   ；         (6)   ；

       (7)   ；               (8)    ；

       (9)    ；          (10)  ；   

   (11)   ；             (12)  ；  

       (13)   ；         (14)   ；  

 (15)  ；          (16)   ；  

       (17)   。            (18)   （n为整数）；  

  (19)   （0 (21)   ；　         　 (22)  ；　

　   　(23)   ；       (24)   ；　　　

　(25)   ；           (26)   ；　

   (27)   ；  (28)   ；

   (29)   ；       (30)   。

3．设，求。      

4．设，求。

5．若连续，求：

     (1)  ；        (2)   ；

     (3)   ；       (4)   ；

     (5)    ； (6)   ；

     (7)    ； 

6．求下列函数的导数：

(1)  ；         (2)  ；

(3)  ；         (4)  设，求。

7．试讨论函数的极值。

8．设当时，函数连续且。求。

9．设，求。

10．求下列极限：

  (1)   ；      (2)    ；

    (3)   ；     (4) 　。        

11．应用定积分求下列极限

(1)   ；        (2)   ；

(3)  ；    (4)  ；

(5)  ；

(6)  ；    (7)   ；

    (8)  。

12．设 但。证明>0。

13．证明不等式。

14．证明 (1)   ；     (2)  。

15．设在连续且单调递增，求证：函数

在上连续且单调递增。

§5  复合函数的全微分与求导法则

5.1 多元复合函数的链导法则

1  复合函数的中间变量均为一元函数的情形

定理5.1  若函数在可微，而，在可导，则复合函数在  也可导，且

                    。                        (5.1)

证明  给自变量一个改变量，相应有与，从而有。由可微定义，有

，                (5.2)

其中，，因为在的过程中，与可能同时为0，即。规定：当时，。

等式(5.2)两端用除之，有

。

等号两端取极限，有

++

=，

即                 。

类似的有，若函数在可微，而在可导，则复合函数在也可导，且

               。             (5.3)

2  复合函数的中间变量有多元函数的情形

定理5.2若函数在可微，而与在存在偏导数，则复合函数在存在偏导数，且

                  ；                        (5.4)

。                        (5.5)

证明  将看作常数，应用定理5.1，得(5.4)式。将看作常数，再应用定理5.1，得(5.5)式。

如果中间变量的个数或自变量的个数多于2，并满足相应的条件，则有类似的结果。例如，若在可微，而在都存在偏导数，则

例5.1 设函数，而求。

解   由公式(5.1)，有

=

=。

例5.2 设函数而求。

解    =

=。

例5.3 设函数， 

解  由公式(5.4)与公式(5.5)，有

==，

==。

例5.4 设。

解 设有并用分别代替。于是

=；

=；

=。

例5.5 证明：若

+。

证明  ；

；

于是，

+

                =+。

例5.6 设，而。求。

解  由公式(5.3)，有

。

5.2 微分形式不变性

一阶微分有个很重要性质——形式不变性。在多元函数中也有类似的性质。

设zf(u，v)具有连续偏导数，则有全微分

。

如果zf(u， v)具有连续偏导数，而u(x，y)， v(x，y)也具有连续偏导数，则

           。 

由此可见，无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数，它的全微分形式是一样的。这个性质叫做全微分形式不变性。

注 一般地讲，高阶微分没有微分形式不变性这一性质，如下例：

设。则

如果二阶微分有形式不变性，则有：

。

但。

5.3 利用微分形式不变性求全微分和偏导

例5.7 设。求，并由此导出和。

    解   

所以，；。

例5.8  设。求和。

解  ；                (5.6)

；           (5.7)

；                            (5.8)

将(5.7)和(5.8)代入(5.6)，整理得

；

； 。

5.4 利用微分形式不变性求高阶偏导

例5.9 设，求和。

解   

；

+ 

；

于是，结合  与，即得

    ； 。

5.5验证或化简偏微分方程

例5.10 将方程变为极坐标形式。

解   ；

         ，，，；

，；

因此，  。

方程化简为  。

例5.11 试确定和，利用线性变换，将方程

化为。

解   ，；

     =+++=

        =+2+；

     =+++=

        =++；

    =++。

因此            

          + (+ 。

令  ，或

或 ……，  此时方程。化简为。

练习8.5

1.回答下列问题：

（1）什么是复合函数的链式法则？其在什么条件下成立？

（2）什么是多元函数全微分的形式不变性？高阶全微分是否也有这种不变性？

2.求下列复合函数的偏导数或导数：

（1）设，求；

（2）设，求；

（3）设，，求；

（4）设求；

（5）设   求；

（6）设  求；

（7）设，  。求和；

（8）设，求和；

（9）设。求；

（10）设；

（11）设，求和；

（12）设 ，求、和；

（13）设，求和；  

（14）设，求、和；

（15）设，求和。

3.设函数可微，。求证 

  。

4.证明：函数，其中为任意可微函数，满足方程

          。

5.设，证明： =。

6.设而，求证：

。

7.设满足条件：

（1）；

（2）；

求：。

8.求下列复合函数的指定阶偏导数

（1），求二阶偏导数和；

（2），求二阶偏导数。

（3）设，，，求。

（4）设，，，求、。

（5）设，，求全导数。

（6）设，求全导数；

（7）设，其中偏导数连续，求；

（8）设，一阶偏导数连续，求；

（9）设，的一阶偏导数连续，求及；

（10），的一阶偏导数连续，求，；

（11） 设，的一阶偏导数连续，求，；

（12） 设，的二阶偏导数连续，求，，；

（13） 设，的二阶偏导数连续，求、、； 

（14） 设，，， 求和；

（15） 设，求和；

（16） 设；

（17） 设，其中可导，求证；

（18） 设其中具有对各变量的连续的二阶偏导数，，

求；

（19） 设二阶可微，又设。求；

（20） 设二阶可微，；

（21） 设二阶可微，。

9.设由行列式表示的函数：

其中的导数都存在，证明：

10.证明：函数  （为常数）满足Laplace方程

。

11.证明：若满足Laplace方程（参看上题），则函数

   也满足此方程。