2020-2021学年上海市松江区高一(上)期末数学试卷 (解析版)

一、填空题（共12小题）.

1．已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝　   　．

2．若全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{﹣2，1，2}，B＝{x|x2﹣1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为　   　．

3．函数的定义域是　   　．

4．已知函数f（x）＝ax﹣1的图象经过（1，1）点，则f﹣1（3）＝　   　．

5．用“二分法”求函数f（x）＝2x3﹣3x2﹣18x+28在区间（1，2）内的零点时，取（1，2）的中点x1＝1.5，则f（x）的下一个有零点的区间是　   　．

6．已知函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣2x+1，则当x＜0时，f（x）＝　   　．

7．已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是　   　．

8．若函数（a＞0且a≠1）的值域为[6，+∞），则实数a的取值范围是　   　．

9．已知函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝　   　．

10．已知函数y＝loga（x﹣3）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m＞0，n＞0，则的最小值是　   　．

11．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝﹣|x+3|+m，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，则m的取值范围为　   　．

12．数学上常用[x]表示不大于x的最大整数，若存在实数t使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝n同时成立，则正整数n的最大值是　   　．

二、选择题（共4小题）.

13．要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（　　）

A．证明所有实数的平方都不是正数    

B．证明平方是正数的实数有无限多个    

C．至少找到一个实数，其平方是正数    

D．至少找到一个实数，其平方不是正数

14．下列各组函数中，表示同一函数的是（　　）

A．f（x）＝elnx，g（x）＝x    

B．    

C．f（x）＝x0，g（x）＝1    

D．f（x）＝|x|，x∈{﹣1，0，1}，g（x）＝x2，x∈{﹣1，0，1}

15．已知正数a，b均不为1，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    

C．充要条件    D．既不充分又不必要条件

16．已知m＞0，当x∈[0，1]时，函数y＝（mx﹣1）2的图象与的图象有且只有一个交点，则实数m的取值范围是（　　）

A．    B．（0，1]∪[3，+∞）    

C．    D．

三、解答题（共5小题）.

17．已知A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{x|x2+ax+2a﹣4＝0}，若B⊆A，求实数a的值．

18．已知x是有理数，y是无理数，求证：x+y是无理数．

19．已知幂函数在区间（0，+∞）上是严格增函数，g（x）＝2x﹣k．

（1）求实数m的值；

（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）、g（x）的值域分别为A、B．设命题p：x∈A，命题：q：x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．

20．（16分）给出关于函数f（x）的一些条件：①在（0，+∞）上严格减函数；②在（﹣∞，0）上是严格增函数；③是奇函数；④是偶函数；⑤f（0）＝0，只在这些条件中，选择必需的条件，补充下面的问题中：

定义在R上的函数f（x），若满足______（填写你选定条件的序号），且f（﹣1）＝0，求不等式f（x﹣1）＞0的解集．

（1）若不等式的解集是空集，请写出选定条件的序号，并说明理由；

（2）若不等式的解集是非空集合，请写出所有可能性的条件序号（不必说明理由）；

（3）求解问题（2）中选定条件下不等式的解集．

21．（18分）已知二次函数f（x）满足f（x）＝f（﹣4﹣x），f（0）＝3，若x1，x2是f（x）的两个零点，且|x1﹣x2|＝2．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若，求函数g（x）的值域；

（2）若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求对数k的取值范围．

参

一、填空题（共12小题）.

1．已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝　{1，2}　．

解：∵A＝{x|x≥1}，B＝{0，1，2}，

∴A∩B＝{1，2}．

故答案为：{1，2}．

2．若全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{﹣2，1，2}，B＝{x|x2﹣1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为　{0}　．

解：全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，

A＝{﹣2，1，2}，B＝{x|x2﹣1＝0}＝{﹣1，1}，

∴A∪B＝{﹣2，﹣1，1，2}，

则图中阴影部分所表示的集合为：

∁U（A∪B）＝{0}．

故答案为：{0}．

3．函数的定义域是　（，1）　．

解：由题意得：，

解得：＜x＜1，

故答案为：（，1）．

4．已知函数f（x）＝ax﹣1的图象经过（1，1）点，则f﹣1（3）＝　2　．

解：函数f（x）＝ax﹣1的图象经过（1，1）点，

可得：1＝a﹣1，

解得：a＝2．

∴f（x）＝2x﹣1

那么：f﹣1（3）的值即为2x﹣1＝3时，x的值．

由2x﹣1＝3，解得：x＝2．

∴f﹣1（3）＝2．

故答案为2．

5．用“二分法”求函数f（x）＝2x3﹣3x2﹣18x+28在区间（1，2）内的零点时，取（1，2）的中点x1＝1.5，则f（x）的下一个有零点的区间是　（1.5，2）　．

解：因为f（x）＝2x3﹣3x2﹣18x+28，

所以f（1）＝9＞0，f（2）＝﹣4＜0，f（1.5）＝1＞0，

由零点的存在性定理可得，f（x）的下一个有零点的区间是（1.5，2）．

故答案为：（1.5，2）．

6．已知函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣2x+1，则当x＜0时，f（x）＝　﹣x﹣2﹣x+1　．

解：根据题意，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）﹣2﹣x+1＝﹣x﹣2﹣x+1，

又由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝﹣x﹣2﹣x+1，

故答案为：﹣x﹣2﹣x+1．

7．已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是　（﹣，﹣）　．

解：不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，

则ax2+5x+b＝0的实数根是3和2，

由根与系数的关系，得3+2＝﹣，3×2＝，

解得a＝﹣1，b＝﹣6，

不等式bx2﹣5x+a＞0可化为﹣6x2﹣5x﹣1＞0，

即6x2+5x+1＜0，

即（2x+1）（3x+1）＜0，

解得﹣＜x＜﹣，

∴不等式的解集是（﹣，﹣），

故答案为：（﹣，﹣）．

8．若函数（a＞0且a≠1）的值域为[6，+∞），则实数a的取值范围是　（1，2]　．

解：当x≤2时，y＝﹣x+8≥6，

要使函数（a＞0且a≠1）的值域为[6，+∞），

则有x＞2时，函数y＝logax+5≥6，

∴，解得1＜a≤2．

∴实数a的取值范围是（1，2]．

故答案为：（1，2]．

9．已知函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝　1　．

解：根据题意，f（x）是定义域为R的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），

又由f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（2+x），则有f（x+2）＝﹣f（x），

变形可得：f（x+4）＝f（x），即函数f（x）为周期为4的周期函数；

又由f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）＝0，

则f（2）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝﹣f（1）＝﹣1，f（4）＝f（0）＝0，

则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝1+0+（﹣1）+0＝0，

则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）＝1，

故答案为：1．

10．已知函数y＝loga（x﹣3）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m＞0，n＞0，则的最小值是　8　．

解：函数y＝loga（x﹣3）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，

令x﹣3＝1，即x＝4时，y＝1，故定点A（4，1），

又点A在一次函数的图象上，

所以有，即2m+n＝1，

所以＝，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值是8．

故答案为：8．

11．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝﹣|x+3|+m，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，则m的取值范围为　（﹣∞，5）　．

解：由题意可得：|x﹣2|＞﹣|x+3|+m在R上恒成立，

即m＜|x﹣2|+|x+3|在R上恒成立，

只需m＜（|x﹣2|+|x+3|）min即可，

又|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|＝5，当且仅当x﹣2与x+3的符号异号取等号，

所以m＜5，

故答案为：（﹣∞，5）．

12．数学上常用[x]表示不大于x的最大整数，若存在实数t使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝n同时成立，则正整数n的最大值是　4　．

解：若[t]＝1，则t∈[1，2），

若[t2]＝2，则t∈[），（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），

若[t3]＝3，则t∈[，），

若[t4]＝4，则t∈[，），

若[t5]＝5，则t∈[，），

其中，，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，

综上，当t＝4时，可以找到t，使其在区间[1，2）∩[）∩[）∩[，）上，

但当t＝5时，无法找到t，使其在区间[1，2）∩[）∩[）∩[，）∩[）上，

∴正整数n的最大值为4．

故答案为：4．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分．每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（　　）

A．证明所有实数的平方都不是正数    

B．证明平方是正数的实数有无限多个    

C．至少找到一个实数，其平方是正数    

D．至少找到一个实数，其平方不是正数

解：因为“全称量词命题”的否定是“存在量词命题”，

所以命题“所有实数的平方都是正数”的否定是：

“至少有一个实数的平方不是正数”．

故选：D．

14．下列各组函数中，表示同一函数的是（　　）

A．f（x）＝elnx，g（x）＝x    

B．    

C．f（x）＝x0，g（x）＝1    

D．f（x）＝|x|，x∈{﹣1，0，1}，g（x）＝x2，x∈{﹣1，0，1}

解：A．f（x）的定义域是（0，+∞），g（x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，

B．f（x）＝x﹣2，（x≠﹣2），g（x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，

C．f（x）的定义域为{x|x≠0}，g（x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，

D．f（x）对应点的坐标为{（﹣1，1），（0，0），（1，1）}，g（x）对应点的坐标为{（﹣1，1），（0，0），（1，1）}，

两个函数对应坐标相同，是同一函数，

故选：D．

15．已知正数a，b均不为1，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    

C．充要条件    D．既不充分又不必要条件

解：因为3a＞3b＞3，所以a＞b＞1，

因为loga3＜logb3，①当a＞1，b＞1时，则有a＞b＞1；②当0＜a＜1，0＜b＜1时，则有0＜b＜a＜1，

所以“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的必要不充分条件．

故选：B．

16．已知m＞0，当x∈[0，1]时，函数y＝（mx﹣1）2的图象与的图象有且只有一个交点，则实数m的取值范围是（　　）

A．    B．（0，1]∪[3，+∞）    

C．    D．

解：根据题意，由于m为正数，y＝（mx﹣1）2 为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，

函数y＝+m为增函数，

分2种情况讨论：

①、当0＜m≤1时，有≥1，

在区间[0，1]上，y＝（mx﹣1）2 为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]，

函数y＝+m为增函数，其值域为[m，1+m]，

此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；

②、当m＞1时，有＜1，

y＝（mx﹣1）2 在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，

函数y＝+m为增函数，其值域为[m，1+m]，

若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，

解得m≤0或m≥3，

又由m为正数，则m≥3，

综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）．

故选：B．

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．已知A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{x|x2+ax+2a﹣4＝0}，若B⊆A，求实数a的值．

解：由已知可得A＝{﹣2，1}，

因为B⊆A，则B＝∅或{﹣2}或{1}或{﹣2，1}，

当B＝∅时，△＝a2﹣4（2a﹣2）＝a2﹣8a+8＜0，无解，

当B＝{﹣2}时，则，解得a＝4，

当B＝{1}时，则，无解，

当B＝{﹣2，1}时，则，解得a＝1，

综上，实数a的值为1或4．

18．已知x是有理数，y是无理数，求证：x+y是无理数．

【解答】证明：假设x+y是有理数，则x+y＝（m，n∈Z）．

∵x是有理数，

∴x＝（p，q∈Z），

∴x+y＝+y＝，

∴y＝﹣＝，

∵m，n，p，q∈Z，

∴mp∈Z，mq﹣pm∈Z，

∴y是有理数，与y是无理数相矛盾．

∴假设错误，x+y是无理数，得证．

19．已知幂函数在区间（0，+∞）上是严格增函数，g（x）＝2x﹣k．

（1）求实数m的值；

（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）、g（x）的值域分别为A、B．设命题p：x∈A，命题：q：x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．

解：（1）因为幂函数在区间（0，+∞）上是严格增函数，

所以（m﹣1）2＝1且m2﹣4m+2＞0，

解得m＝0．

（2）由（1）得f（x）＝x2，

当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为0，f（x）的最大值为4，

故A＝[0，4]，

因为g（x）＝2x﹣k在x∈[﹣1，2]上单调递增，

故g（x）的最小值为，g（x）的最大值为4﹣k，

故B＝，

因为命题p：x∈A，命题：q：x∈B，且命题p是q成立的必要条件，

故B⊆A，

所以，解得，

所以实数k的取值范围为．

20．（16分）给出关于函数f（x）的一些条件：①在（0，+∞）上严格减函数；②在（﹣∞，0）上是严格增函数；③是奇函数；④是偶函数；⑤f（0）＝0，只在这些条件中，选择必需的条件，补充下面的问题中：

定义在R上的函数f（x），若满足______（填写你选定条件的序号），且f（﹣1）＝0，求不等式f（x﹣1）＞0的解集．

（1）若不等式的解集是空集，请写出选定条件的序号，并说明理由；

（2）若不等式的解集是非空集合，请写出所有可能性的条件序号（不必说明理由）；

（3）求解问题（2）中选定条件下不等式的解集．

解：（1）若不等式f（x﹣1）＞0的解集为空集，即f（x﹣1）≤0恒成立，

由f（﹣1）＝0，所以函数f（x）不可能单调递增或单调递减，

所以①②都不能选，只能选③④，此时f（x）＝0，不等式f（x﹣1）＞0的解集为空集；

所以选③④；

（2）若不等式f（x﹣1）＞0的解集是非空集合，可选择条件：①③；①④⑤；②③；②④⑤；

（3）若选①③：

由f（x）是奇函数，则f（﹣0）＝﹣f（0），

所以f（0）＝0，又f（﹣1）＝0，则f（1）＝0，

又f（x）在（0，+∞）上严格减函数，

则f（x）在（﹣∞，0）上严格减函数，

由f（x﹣1）＞0，则x﹣1＜﹣1或0＜x﹣1＜1，解得x＜0或1＜x＜2，

所以不等式f（x﹣1）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（1，2）；

若选①④⑤：

由f（x）是偶函数，由f（﹣1）＝0，则f（1）＝0，

又f（x）在（0，+∞）上严格减函数，

则f（x）在（﹣∞，0）上严格增函数，

由f（x﹣1）＞0，则﹣1＜x﹣1＜0或0＜x﹣1＜1，解得0＜x＜2且x≠1，

所以不等式f（x﹣1）＞0的解集为（0，1）∪（1，2）；

若选②③：

由f（x）是奇函数，则f（﹣0）＝﹣f（0），

所以f（0）＝0，又f（﹣1）＝0，则f（1）＝0，

又f（x）在（﹣∞，0）上严格增函数，

则f（x）在（0，+∞）上严格增函数，

由f（x﹣1）＞0，则﹣1＜x﹣1＜或x﹣1＞1，解得0＜x＜1或x＞2，

所以不等式f（x﹣1）＞0的解集为（0，1）∪（2，+∞）；

若选②④⑤：

由f（x）是偶函数，由f（﹣1）＝0，则f（1）＝0，

又f（x）f（x）在（﹣∞，0）上严格增函数，

则f（x）在（0，+∞）上严格减函数，

由f（x﹣1）＞0，则﹣1＜x﹣1＜0或0＜x﹣1＜1，解得0＜x＜2且x≠1，

所以不等式f（x﹣1）＞0的解集为（0，1）∪（1，2）．

21．（18分）已知二次函数f（x）满足f（x）＝f（﹣4﹣x），f（0）＝3，若x1，x2是f（x）的两个零点，且|x1﹣x2|＝2．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若，求函数g（x）的值域；

（2）若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求对数k的取值范围．

解：（1）∵f（x）＝f（﹣4﹣x），x1，x2是f（x）的两个零点，且|x1﹣x2|＝2．

∴f（x）的对称轴为x＝﹣2，可得x1＝﹣3，x2＝﹣1（不妨设x1＜x2），

设f（x）＝a（x+3）（x+1）（a≠0），

由f（0）＝3a＝3，得a＝1，

∴f（x）＝x2+4x+3

（2）∵＝＝x++4，

当x＞0时，x++4≥2+4，当且仅当x＝时取等号，此时g（x）∈[2+4，+∞）；

当x＜0时，x++4≤﹣2+4，当且仅当x＝﹣时取等号，此时g（x）∈（﹣∞，﹣2+4]，

∴函数g（x）的值域是（﹣∞，﹣2+4]∪[2+4，+∞）．

（3）不等式g（2x）﹣k•2x≥0可化为2x++4﹣k•2x≥0，

即k≤1+3+4•恒成立，

令t＝，∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[，2]，

令h（t）＝3t2+4t+1，t∈[，2]，图象开口向上对称轴为t＝﹣，

∴当t＝时，h（t）取得最小值为h（）＝，∴k≤．

∴实数k的取值范围为（﹣∞，]．