上海市金山区2014年中考一模(即期末)数学试题及答案 2

初三数学试卷

（测试时间：100分钟，满分：150分）        2014.01

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．

2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1．两个相似三角形的面积比为1∶4，那么这两个三角形的周长比为（      ）

（A）1∶2；     （B）1∶4；        （C）1∶8；      （D）1∶16．

2．如果向量与单位向量方向相反，且长度为，那么向量用单位向量表示为（     ）

（A）；     （B）；        （C）；      （D）．

3．将抛物线向右平移个单位，所得新抛物线的函数解析式是（      ）

（A）；                 （B）；

（C）；                  （D）．

4．在Rt△ABC中，∠A=90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到的直角三角形中，∠B的正切值（    ） 

   （A）扩大2倍；   （B）缩小2倍；    （C）扩大4倍；    （D）大小不变 ．

5．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=，BC=m，那么AB的长为（     ）

（A）；    （B）；    （C）；    （D）．

6．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是点P，对称轴与x轴相交于点Q，以点P为圆心，PQ长为半径画⊙P，那么下列判断正确的是（     ）

（A）x 轴与⊙P相离；                （B）x 轴与⊙P相切；        

（C）y 轴与⊙P与相切；            （D）y 轴与⊙P相交．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．如果，那么=   ▲   ． 

8．已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，，那么的值等于   ▲   ．

9．计算：  ▲   ．

10．抛物线的对称轴是   ▲   ．

11．二次函数的图像向下平移2个单位后经过点（1，3），那么   ▲   ．

12．已知在△ABC中，∠C=90°，AB=12，点G为△ABC的重心，那么CG=   ▲   ．

13．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，那么∠A=  ▲   度．

14．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=3，那么AC=  ▲   ．

15．已知内切两圆的圆心距为6，其中一个圆的半径为4，那么另一个圆的半径为  ▲  ．

16．如果正n边形的每一个内角都等于144°，那么n=  ▲   ．

17．正六边形的边长为，面积为，那么关于的函数关系式是   ▲   ．

18．在Rt△ABC中，∠C=90°，，

把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到

Rt△A'B'C，其中点B' 正好落在AB上，

A'B'与AC相交于点D，那么  ▲   ．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．（本题满分10分）

计算： 

20．（本题满分10分, 其中第（1）小题6分，第（2）小题4分）

已知一个二次函数的图像经过点（4，1）和（，6）．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴．

21．（本题满分10分）

如图，已知AB是⊙O的弦，点C在线段AB上，OC=AC=4，CB=8．

求⊙O的半径．

22．（本题满分10分）

如图，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，右图是侧面示意图。已知自动扶梯AB的坡度为1:2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，求二楼的层高BC（精确到0.1米）．

（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）

23．（本题满分12分，每小题各6分）

如图，在□ABCD中，E是AB的中点，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．

（1）求证：AB=3FG；

（2）若AB : AC=:，求证：．

24．（本题满分12分，每小题各4分）

已知，二次函数的图像经过点和点B，其中点B在第一象限，且OA=OB，cot∠BAO=2．

（1）求点B的坐标；

（2）求二次函数的解析式；

（3）过点B作直线BC平行于x轴，直线BC与二次函数图像的另一个交点为C，联结AC，如果点P在x轴上，且△ABC和△PAB相似，求点P的坐标．

25．（本题满分14分，其中第（1）小题8分，第（2）小题6分）

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E．

（1）如图1，若点E在线段BC的延长线上，设AP=x，CE=y，

求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长；

（2）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，若CI=AP，求AP的长．

参和评分标准

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1．A； 2．C；  3．B；  4．D；  5．C；  6．B．

二．填空题：（本大题共12题，满分48分）

7．2；     8．；     9．；     10．直线；     11．3；     12．4；

13．60°；    14．9；    15．10；    16．10；    17．；     18．．

三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）

19. 解：原式……………………………………（6分）

                        ．……………………………………………………………（4分）

               ．……………………………………………………………（4分）

20．解：（1）由题意，得

………………………………………………（2分）

解这个方程组，得…………………………………………（3分）

∴所求二次函数的解析式是．………………………（1分）

（2）顶点坐标是（2，-3）．…………………………………………（2分）

对称轴是直线．……………………………………………（2分）

21．解：联结OA， 过 点O作OD⊥AB， 垂足为点D．…………………（1分）

∵AC=4，CB=8，∴AB=12．

∵OD⊥AB，∴AD=DB=6，…………………………………………（3分）

∴CH=2．………………………………………………………………（1分）

在中，，OC=4 ，CH=2，

∴．…………………………………………………………（2分）

在中，，

．……………………………………………………………（2分）

∴⊙O的半径是．…………………………………………（1分）

22．解：延长CB交PQ于点D．…………………………………………………（1分）

∵MN∥PQ， BC⊥MN，∴BC⊥PQ．……………………………………（1分）

∵自动扶梯AB的坡度为1:2.4，∴．…………………（1分）

设米，米,则米．

∵AB=13米，∴ ，∴ 米，米．…………………（3分）

在中，，，

∴米，…………………………（3分）

∴米．………………………………………………………………（1分）

答：二楼的层高BC约为5.8米．

23．证明：（1）在□中，AB∥CD，AB=CD，AD∥BC， 

又∵E是AB的中点，∴，………………………………（2分）

∵FG∥AB，   ∴FG∥CD，     ∴，……………………（2分）

∴，   ∴AB=3FG．………………………………………………（2分）

（2）设，，

则，．

∴，，

∴．……………………………………………………（1分）

又∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴∠AEF=∠ACB．…………（2分）

∵FG∥AB，AD∥BC；∴∠AEF=∠DFG，∠ACB=∠DAF，

∴∠DFG=∠DAF． ………………………………………………………（1分）

又∵∠FDG=∠ADF，    ∴△FDG∽△ADF，

∴，   ∴．…………………………………（2分）

24． 解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为点D  

在中，， 

．  ………………………………………………………（1分）

设BD=x，AD=2x，由题意，得OA=0B=5，∴OD=2x-5．

在中，，∴，

解得，（不合题意，舍去）．…………………………………（2分）

∴BD=4，OD=3，  ∴点B的坐标是（3，4）．   ……………………………（1分）

（2）由题意，得，………………………………………………（2分）

解这个方程组，得…………………………………………（1分）

∴二次函数的解析式是．…………………………（1分）

（3）∵直线BC平行于x轴，∴C点的纵坐标为4，设C点的坐标为（m，4）．

由题意，得， 解得（不合题意，舍去），．

∴C点的坐标为（-8，4），   BC=11，  AB= ．……………………………（1分）

∵， 

如果∽，那么，

∴AP=11，点P的坐标为（6，0）．…………………………………………（1分）

如果∽，那么，

∴AP=，点P的坐标为（，0）．……………………………………（1分）

综上所述，点P的坐标为（6，0）或（，0）．………………………（1分）

注：只写出答案没有解题过程得2分．

25．解：（1）∵AP=DP，∴∠PAD=∠PDA．

∵∠PDA=∠CDE，∴∠PAD=∠CDE．

∵∠ACB=∠DCE=90°，∴△ABC∽△DEC．…………………………………（1分）

∴∠ABC=∠DEC，．

∴PB=PE．

Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5．

      又AP=x，∴PB=PE=5-x，DE=5-2x，

∴

∴（）．……………………………………………………（3分） 

注：其中x取值范围1分． 

设BE的中点为Q，联结PQ．

∵PB=PE，∴PQ⊥BE，又∵∠ABC=90°，∴PQ∥AC，

∴，∴，

∴，．……………………………………………（2分）

当以BE为直径的圆和⊙P外切时， ．……………（1分）

解得，即AP的长为．……………………………………………（2分）

（2）如果点E在线段BC延长线上时，

由（1）的结论可知，………（1分）

．…………………………………（1分）

在Rt△CQI中，

．…（1分）

∵CI=AP，∴，

解得，（不合题意，舍去）．

∴AP的长为．…………………………………………………………（1分）

同理，如果点E在线段BC上时，

，

．

在Rt△CQI中，．

∵CI=AP，

∴，解得（不合题意，舍去），．

∴AP的长为4．……………………………………………………………（2分）

综上所述，AP的长为或．

注：1、只有答案没有过程时写出得1分，写出4得2分．

2、有过程但没有进行分类讨论就得出或得4分．