《二次函数的图像》典型例题1

例1  已知二次函数，当x＝4时有最小值-3，且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式。

例2  如果以y轴为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象如图13-25所示，那么代数式b+c-a与零的关系是                                   [    ]

A．b+c-a=0；                  B．b+c-a＞0；

C．b+c-a＜0；                 D．不能确定。

例3  二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是  [    ]

例4  如果抛物线y=-x2+2(m-1)x+m+1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b。

(1)求m的取值范围；

(2)若a∶b=3∶1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式；

(3)设(2)中的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于△BCM面积的8倍？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由。

例5  已知二次函数的图像与x轴相交于点，顶点B的纵坐标是－3.

（1）求此二次函数的解析式；

（2）若一次函数的图像与x的轴相交于，且经过此二次函数的图像的顶点B，当时，

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）求（O为坐标原点）面积的最小值与最大值.

例6 求函数解析式的题目

(1)    已知二次函数的图像经过点（-1，-6），（1，-2）和（2，3），求这个二次函数的解析式.

(2)    已知抛物线的顶点为，与轴交点为，求此抛物线的解析式.

(3)    已知抛物线与轴交于，，并经过点，求抛物线的解析式.

参

例1  分析：因为二次函数当x=4时有最小值-3，所以顶点坐标为(4，-3)，对称轴为x=4，抛物线开口向上．图象与x轴交点的横坐标为1，即抛物线过(1，0)点．又根据对称性，图象与x轴另一个交点的坐标为(7，0)有下面的草图：

解：此题可用以下四种方法求出解析式。

　　方法一：因为抛物线的对称轴是ｘ＝４，抛物线与ｘ轴的一个交点为（１，０），由对称性可知另一点为（７，０），同例1，抛物线y=ax2＋bx＋c通过(4，-3)、(1，0)、(7，0)三点，由此列出一个含a、b、c的三元一次方程组，可解出a、b、c来。

　　方法二：由于二次函数当x=4时有最小值-3，又抛物线通过(1，0)点，所以

　　由上面的方程组解出a、b、c。

　　方法三：由于抛物线的顶点坐标已知，可以设二次函数式为y=a(x+h)2+k，其中h=-4，k=-3即有y=a(x-4)2-3，式中只有一个待定系数a，再利用抛物线通过(1，0)或通过（7，0）求出a来. 即得出. 所求二次函数解析式为

　　方法四：由于抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1=1，x2=7．可以采用双根式y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1=1，x2=7即有y=a(x-1)(x-7)式中只有待定系数a，再把顶点(4,-3)代入上式得:所求二次函数解析式为.

例2  解： 从图13-25上看出抛物线开口向下，所以a＜0．当x=0时，y的值为正，所以c＞0．又因为抛物线以y轴为对称轴，所以b=0。

综上分析知b+c-a＞0，应选B。

注意：这个题考察了二次函数中三个系数a、b、c的含义，二次项系数a决定抛物线开口方向，c为抛物线在y轴上的截距即抛物线与y轴交点的纵坐标，抛物线的对称轴方程为，要根据图象具体分析才能得出正确结论。

例3  解：图象大致是D。

分析： 这一类题是考察数学逻辑推理能力．题目中a，b，c均是变量，字母多不知从何下手考虑．考虑问题应该是有层次的，首先抓住两个函数共性的东西，如两个图象的交点中有一个是(0，c)，也就是说两个图象的交点中有一个应在y轴上，从而否定了A．和B．，且c＞0．其次考虑完字母c后，再考虑a的取值．若a＞0，则直线y=ax+c与x轴交点应在原点左边，这样否定了C．；再检验D．，从二次函数图象知a＜0，且c＞0，直线y=ax+c与x轴交点应在原点右边，所以D．是正确的．考虑变量的取值范围要先考虑第一个再考虑第二个、第三个有次序地进行，切忌无头绪地乱猜，思维混乱。

例4  解：(1)设A、B两点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)．因为A、B两点在原点的两侧，所以x1·x2＜0，即-(m+1)＜0。

当m＞-1时，Δ＞0，所以m的取值范围是m＞-1。

(2)因为a∶b=3∶1，设a=3k，b=k(k＞0)，则x1=3k，x2=-k，所以

所以m=2。

所以抛物线的解析式是y=-x2+2x+3。

(3)易求抛物线y=-x2+2x+3与x轴的两个交点坐标是A(3，0)，B(-1，0)；抛物线与y轴交点坐标是C(0，3)；顶点坐标是M(1，4)．设直线BM的解析式为

y=px+q，

所以直线BM的解析式是y=2x+2．设直线BM与y轴交于N，则N点坐标是(0，2)．所以

设P点坐标是(x，y)，因为S△ABP=8S△BCM．所以

所以｜y｜=4，由此得y=±4。

当y=4时，P点与M点重合，即P(1，4)；

所以满足条件的P点存在。

注意：这一类题是探索性的，需要思考，前两问是为第三问作铺垫的，都是常规的思路不太难．第三问是假设条件成立可导出什么结果，在求△BCM的面积时要用分割法，因为△BCM是任意三角形，它的面积不好求，而△BCN和△CMN的面积都好求，底都为CN=1，高都是1．S△BCM=S△BCN+S△CMN这样就化难为易了．方程-x2+2x+3=±4有解则P点存在，如果方程无解则P点不存在，探索性题的思路都是这样的。

例5  分析：（1）由已知条件可知，抛物线的顶点坐标是（3，－3），所以可设出抛物线的顶点式，再把已知点的坐标代入解析式，即可求得。（2）因为当取最小值时，也取最小值；当取最大值时，也取最大值。所以把的最大值和最小值代入直线的解析式，即可求出的取值范围。

解：（1）∵二次函数的图像经过原点O（0，0）与点A（6，0），∴它的对称轴是.

∴它的顶点B的坐标是（3，－3）.

设此二次函数为，把（6，0）代入解析式得，∴，故所求二次函数的解析式为    .

（2）（ⅰ）令得直线的解析式为，把（3，－3）代入得，故直线的解析式为.

令，得.

令得直线的解析式为，把（3，－3）代入得，故直线的解析式为，令，则得.

故的取值范围是.

（ⅱ）∵的OD边上的高（即B点的纵坐标的绝对值）为定值3，故OD最小，则面积最小，OD最大，则面积最大.

∵OD最小为1，最大为2，

故的面积最小是，最大为3.

例6  （1）解：设二次函数的解析式为………①

将（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）分别代入①，得

    解得

所以二次函数的解析式为

（2）解：因为抛物线的顶点为，

设其解析式为……①

将代入①得，，

所求抛物线的解析式为

即

（3）解：因为点，是抛物线与轴的交点，

所以设抛物线的解析式为………①

将代入①，得，

所求抛物线解析式为

即

说明：此三题考查用待定系数法求抛物线的解析式，关键是根据已知条件选择正确解析式的三种形式，将给我们做题带来很大的方便.(1)中给出抛物线上任意三点，所以选择一般式；(2)中给出顶点，所以选择顶点式；(3) 中给出与轴的两个交点，所以选择两根式.