初中数学专题之关于圆的辅助线及计算问题

例1 （2010江苏泰州，18，3分）如图⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为，则试求弦AC、BD所夹的锐角．

例2  (2010年安徽芜湖市)如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12， ∠A＝∠B＝60°，试求BC的长为.

例3．（2010山东临沂）如图,是半圆的直径,为圆心,、是半圆的弦，且.

(1)判断直线是否为的切线，并说明理由；

(2)如果，，求的长。

例4．（2010江苏宿迁）（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径， P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连结CD交AB于点E．

求证：（1）PD=PE；

（2）．

例5（2011•厦门）如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，BA平分∠CBE，AD⊥BE，垂足为D．

（1）求证：AD为⊙O的切线；

（2）若AC=2，tan∠ABD=2，求⊙O的直径．

例6．(9分)已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F.

（1）求证：直线EF是⊙O的切线；

（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径.

例7．如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝6，AB＝8．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．

(1)求证：直线EF是⊙O的切线；

(2)求sin∠E的值．

【举一反三】

1．（番禺一模）已知：如图12，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点，且．

（1）判断直线与⊙的位置关系，并证明你的结论；

（2）若，求⊙的面积．

2.（天河一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE。

  （1）求证：AC＝AE；

  （2）求△ACD外接圆的半径。

3．如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B. 

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.

1．（本题满分10分）已知：如图，在中，的角平分线交边于．

（1）以边上一点为圆心，过两点作（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线与的位置关系，并说明理由；

（2）若（1）中的与边的另一个交点为，，求线段与劣弧所围成的图形面积．（结果保留根号和）

2．（2011巴中）(本小题满分10分)

  如图所示，△ABC的外接圆圆心0在AB上，点D是BC延长线上一点，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的ND边的中线．

  (1)求证：△ABC≌△DNC：

  (2)试判断CP与⊙O的位置关系，并证明你的结论。

3、（达州11）（6分）如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=3，点D从点A以每秒1个单位长度的速度向点B运动(点D不与B重合)，过点D作DE∥BC交AC于点E．以DE为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形ADFE，设点D的运动时间为秒．

(1)用含的代数式表示△DEF的面积S；

(2)当为何值时，⊙O与直线BC相切?

（1）S=（；（2）当时，⊙O与直线BC相切