初高中数学衔接教材(共28页)

引  入  乘法公式

第一讲  因式分解

第二讲  函数与方程

第三讲    三角形的“四心”

乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式          ；

（2）完全平方公式        ．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式          ；

（2）立方差公式          ；

（3）三数和平方公式      ；

（4）两数和立方公式      ；

（5）两数差立方公式      ．

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．

例1  计算：．

解法一：原式=

            =

            =．

解法二：原式=

            =

            =．

例2  已知，，求的值．

解：．

练   习

1．填空：

 （1）（              ）；

 （2）                  ；

  (3 )　                    ．

2．选择题：

（1）若是一个完全平方式，则等于                     （      ）

（A）         （B）         （C）       （D）

（2）不论，为何实数，的值                   （      ）

        （A）总是正数                       （B）总是负数  

（C）可以是零                       （D）可以是正数也可以是负数

第一讲  因式分解

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法

例1  分解因式：

         （1）x2－3x＋2；           （2）x2＋4x－12；

       （3）；   （4）．

    说明：（2）x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．

（3）     ＝

（4）＝xy＋(x－y)－1

＝(x－1) (y+1) （如图1．1－5所示）．

课堂练习

一、填空题：

1、把下列各式分解因式：

（1）__________________________________________________。

（2）__________________________________________________。

（3）__________________________________________________。

（4）__________________________________________________。

（5）__________________________________________________。

（6）__________________________________________________。

（7）__________________________________________________。

2、

3、若则，。

二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）

1、若多项式可分解为，则、的值是（    ）

A、，    B、，    C、，    D、， 

2、若其中、为整数，则的值为（    ）

A、或    B、    C、    D、或

2．提取公因式法

例2  分解因式：

      （1）            （2）    

解：  （1）．=

（2）==

             =．或

＝＝＝

 ＝＝

3：公式法

例3  分解因式：    （1）       （2）

解：(1) = 

    (2) =

课堂练习

一、，，的公因式是______________________________。

4．分组分解法

例4  （1）         （2）．

   （2）=

       ==．

或  

=

       =

       =．

第二讲  函数与方程

2.1.2  根与系数的关系（韦达定理）

    如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理．

例1  已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

例2   已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．

解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得

     x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．

     ∵x12＋x22－x1·x2＝21，

     ∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，

即  [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，

化简，得  m2－16m－17＝0，  

解得  m＝－1，或m＝17．

当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；

当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝17．

    例3  若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．

    （1）求| x1－x2|的值；  

（2）求的值；

（3）x13＋x23．

    解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，

       ∴，．

    （1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝

                  ＝＋6＝，

        ∴| x1－x2|＝．

    （2）．

    （3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2]

               ＝(－)×[(－)2－3×()]＝－．

例6  若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．

解：设x1，x2是方程的两根，则

    x1x2＝a－4＜0，                   ①

  且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0．           ②

由①得     a＜4，

由②得     a＜．∴a的取值范围是a＜4．

练    习

1．选择题：若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是                                                      （     ）

（A）m＜  （B）m＞－     （C）m＜，且m≠0  （D）m＞－，且m≠0      

2．填空:

（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则＝         ．

（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是                    ．

2．2   二次函数

2.2.1  二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．

例1  已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值． 

分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论．

    解：（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；

（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2；

（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；

（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0．

2.2.2  二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：

1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．

3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的

例1  已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．

练    习

1．填空：

（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a                  (a≠0) ．

（2）二次函数y＝－x2+2x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为         ．

第三讲    三角形的“四心”

三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.

图3.2-1

图3.2-2

如图3.2-1 ，在三角形△ABC中，有三条边，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.       

三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.

三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）

图3.2-5

三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）

图3.2-8

过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.