二元一次方程组知识总结与练习题

1. 知识总结

一、二元一次方程组

1．二元一次方程定义：

一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。

2．二元一次方程组定义：

把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

3．二元一次方程的解：

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

4．二元一次方程组的解：

二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

二、二元一次方程组的解法

1．一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决

   两种消元方法：代入消元法、加减消元法

2．书中没有的几种解法

(1) 加减-代入混合使用的方法.

例:  13x+14y=41 (1) 　　

14x+13y=40 (2) 　　

解: (2)-(1)，得 　  x-y=-1 　　x=y-1 (3) 　　

把(3)代入(1)，得 　13(y-1)+14y=41 　　

27y=54 　　

y=2 　　

把y=2代入(3)得 　　x=1 　　

所以:   x=1,

y=2 　

特点: 两方程相加减，出现单个x或单个y，这样就适用接下来的代入消元.

 (2) 换元法 　　

例：   (x+5)+(y-4)=8 　　

(x+5)-(y-4)=4 　　

解:令x+5=m,y-4=n 　　

原方程可写为 　　m+n=8 　　

m-n=4 　　

解得m=6, n=2 　　

所以x+5=6,

y-4=2 　　

所以x=1, y=6 　　

特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程，这也是换元主要原因。 

(3) 另类换元 　　

例：   x:y=1:4 　　

5x+6y=29 　　

解：令x=t, y=4t 　　

方程(2)可写为：5t+6*4t=29 　　

29t=29 　　

t=1 　　

所以x=1,y=4 

三、二元一次方程组的应用

1．列方程（组）解应用题

具体步骤： 　　

(1)审题：

理解题意，弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么. 　　

(2)设元（未知数）：  ①直接未知数 ②间接未知数

一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解. 　　

(3)用含未知数的代数式表示相关的量. 　　

(4)寻找相等关系，列方程. 一般地，未知数个数与方程个数是相同的. 　　

(5)解方程及检验； 　　

(6)答.

2．应用题的常见题型及数量关系： 

(1)行程问题：路程＝速度×时间　　　 

(2)工程问题：工作总量＝工作效率×工作时间 

(3)浓度问题：溶质＝溶液×浓度 

(4)利率问题：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×期数 

(5)利润问题：利润＝成本×利润率，利润＝售价－成本 

(6)价格问题：总价＝单价×数量 

(7)水流问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度 

此外还有：等积变形问题、数字问题、比例问题、调配问题、与几何图形相关的问题、…

2. 练习题

一. 选择题

1．在方程组、、、、  、中，是二元一次方程组的有（     ）

A、2个     B、3个     C、4个     D、5个

2．若,则的值为（     ）

A. 3       B. 4     C.    5       D.6

3．如图，电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则与2个球体相等质量的正方体的个数为（　 ） 

A．5     B．4     C．3     D．2

4．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个长方形，其中每一个小长方形的面积为（    ）

A. 400 cm2        B. 500 cm2    C. 600 cm2     D. 675 cm2

5．三个二元一次方程2x+5y—6=0，3x—2y—9=0，y=kx—9有公共解的条件是k=（    ）

   A．4      B．3       C．2        D．1

6．如果是方程组的解, 则的关系是(     )

   A.      B.     C.     D. 

7．若x、y均为非负数，则方程6x=-7y的解的情况是（   ）

A.无解        B.有唯一一个解     C.有无数多个解        D.不能确定

8．已知方程组有无数多个解，则a、b的值等于（      ）

A. a=-3,b=-14     B. a=3,b=-7      C. a=-1,b=9        D. a=-3,b=14 

9．若方程组的解是则方程组的解是（    ）

A.       B.    C.      D. 

10．解方程组时，一学生把看错而得，而正确的解是那么、、的值是（　　　）

A.不能确定                    B.＝4，＝5，＝－2 

C.、不能确定，＝－2      D.＝4，＝7，＝2

二. 填空题

1．方程组的解是             .

2．如果与互为相反数，那么=       ， =       .

3．若x+y=a，x-y=1同时成立，且x、y都是正整数，则a的值为       .

4．方程|a|+|b|=2的自然数解是               .

5．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为63和36两部分，则它的腰长是_________，底边长为___________.

6．若x3m－3－2yn－1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______．

7．若方程组的解与相等，则________.

8．孔明同学在解方程组的过程中，错把看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为，又已知直线过点（3，1），则的正确值应该是           ．

9．一群学生前往位于青田县境内的滩坑电站建设工地进行社会实践活动，男生戴白色安全帽，女生戴红色安全帽.休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象，每位男生看到白色与红色的安全帽一样多，而每位女生看到白色的安全帽是红色的2倍.根据这些信息，这群学生共有        人.

10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知加密规则为：明文对应密文．例如：明文1，2，3对应密文8，11，9．当接收方收到密文12，17，27时，则解密得到的明文为        ．

三. 解答题

1．a取什么值时，方程组的解是正数？

2．若求代数式的值.

3．解方程组

（1）                    （2）

（3）    （4）

4．解方程组

5．如果方程组和方程组有相同的解，求a，b的值

6．对于ｋ、ｂ的哪些取值，方程组至少有一组解？

7．已知方程x+3y=5，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为．

8．小明用8个一样大的矩形(长acm，宽bcm)拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案：图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的矩形；图案甲的中间留下了边长是2cm的正方形小洞．求(a+2b)2－8ab的值．

9．某服装专卖店老板对第一季度男、女服装的销售收入进行统计，并绘制了扇形统计图（如图）．由于三月份开展促销活动，男、女服装的销售收入分别比二月份增长了，，已知第一季度男女服装的销售总收入为20万元．

（1）一月份销售收入为       万元，二月份销售收入为       万元，三月份销售收入为        万元；

（2）二月份男、女服装的销售收入分别是多少万元？

10．用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？

11．为了拉动内需，广东启动“家电下乡”活动。某家电公司销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在启动活动前一个月共售出960台，启动活动后的第一个月销售给农户的Ⅰ型和Ⅱ型冰箱的销量分别比启动活动前一个月增长30%、25%，这两种型号的冰箱共售出1228台。

（1）在启动活动前的一个月，销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为多少台？

（2）若Ⅰ型冰箱每台价格是2298元，Ⅱ型冰箱每台价格是1999元，根据“家电下乡”的有关，按每台冰箱价格的13%给购买冰箱的农户补贴，问：启动活动后的第一个月销售给农户的1228台Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱，共补贴了多少元（结果保留2个有效数字）？

12．为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县、两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所类学校和两所类学校共需资金230万元；改造两所类学校和一所类学校共需资金205万元．

（1）改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是多少万元？

（2）若该县的类学校不超过5所，则类学校至少有多少所？

（3）我市计划今年对该县、两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方

财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金

不少于70万元，其中地方财政投入到、两类学校的改造资金分别为每所10万元和15

万元．请你通过计算求出有几种改造方案？

13．某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件。

（1）求A、B两种纪念品的进价分别为多少？

若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出候总获利不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？

14．　已知方程组的解x，y满足方程5x-y=3，求k的值.

15．方程组的解是否满足2x－y=8？满足2x－y=8的一对x，y的值是否是方程组的解？

课后练习

1．试求方程组的解.

2．如果关于x, y的二元一次方程组的解是，试解方程组

3．是否存在整数m，使关于x的方程2x+9=2－（m－2）x在整数范围内有解，你能找到几个m的值？你能求出相应的x的解吗？

4．2008 年北京奥运会，中国运动员获得金、银、铜牌共 100 枚，金牌数位列世界第一．  其中金牌比银牌与铜牌之和多 2 枚，银牌比铜牌少 7 枚．问金、银、铜牌各多少枚？

5．先阅读,再做题:

  1.一元一次方程的解由的值决定:

   ⑴若,则方程有唯一解;

   ⑵若,方程变形为,则方程有无数多个解;

   ⑶若,方程变为,则方程无解.

  2.关于的方程组的解的讨论可以按以下规律进行:

  ⑴若,则方程组有唯一解;

  ⑵若,则方程组有无数多个解;

  ⑶若,则方程组无解.

请解答:已知关于的方程组分别求出k,b为何值时, 方程组的解为:

  ⑴有唯一解;   ⑵有无数多个解;    ⑶无解?