04 第四节 定积分的换元法积分法和分部积分法

    从上节微积分学的基本公式知道,求定积分的问题可以转化为求被积函数在区间上的增量问题. 从而在求不定积分时应用的换元法和分部积分法在求定积分时仍适用,本节将具体讨论之,请读者注意其与不定积分的差异.

分布图示

★ 定积分换元积分法

★ 例1        ★ 例2        ★ 例3        ★ 例4

★ 例5        ★ 例6        ★ 例7        ★ 例8

★ 定积分的分部积分法

★ 例9        ★ 例10        ★ 例11        ★ 例12

★ 例13        ★ 例14        ★ 例15        ★ 例16

★ 例17        ★ 例18    

★ 内容小结            ★ 课堂练习

★ 习题5-4

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内容要点

    一、定积分换元积分法

定理1 设函数在闭区间上连续,函数满足条件：

（1）    且；

（2）在(或)上具有连续导数,则有

.          (4.1)

公式(4.1)称为定积分的换元公式.

定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：

（1）用把变量x换成新变量t时, 积分限也要换成相应于新变量的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；

（2） 求出的一个原函数后,不必象计算不定积分那样再把变换成原变量x的函数,而只要把新变量t的上、下限分别代入然后相减就行了.

    二、定积分的分部积分法

                  或  .

例题选讲

定积分换元积分法

例1(E01)  计算.

解  令则

注: 本例中，如果不明显写出新变量则定积分的上、下限就不要变，重新计算如下:

例2(E02)  求定积分

解  令则

由换元积分公式得

注: 在第一节的课堂练习中，我们曾利用定积分的几何意本题并得到相同的结果.

例3 (E03) 求定积分.

解  

例4 (E04) 求定积分.

解  令则当时，当时，从而

例5 (E05) 当在上连续, 则

(1) 当为偶函数,有;

(2) 当为奇函数,有.

证  在上式右端第一项中令则

(1)当为偶函数，即

(2)当为奇函数，即

例6 (E06) 计算.

解  因为积分区间对称于原点，且为偶函数,为奇函数，所以

例7 计算

解  原式

偶函数          奇函数

单位圆的面积

例8 (E07) 若在[0, 1]上连续, 证明

(1) 

(2)由此计算 

证  (1)  设

 (2)  设

定积分的分部积分法

例9 (E08) 计算

解  令则

例10 (E09) 计算定积分.

解  

例11 求

解  由分部积分公式得

再用一次分部积分公式得

从而

例12 (E10) 计算.

解  令则当时,当时, 

于是有

再使用分部积分法，令则

从而

例13 (E11) 计算定积分.

解  因为在上在上所以应分两个区间进行积分，于是

例14  已知求.

解  令则

故所以

例15 (E12) 已知满足方程

求.

解  设则有

积分得或

所以或

例16 (E13) 导出(为非负整数)的递推公式.

解  易见当时

从而得到递推公式

反复用此公式直到下标为 0 或 1，得

其中为自然数.

注: 根据例8的结果，有

例17 利用上题结论计算

例18 求函数在上的最大值与最小值.

解  令得驻点且在是恒大于0,故在上单调增加.

当时,取最小值，最小值为  当时,取最大值，最大值为

即最大值最小值

课堂练习

1.计算定积分.

2.设在[0, 1]上连续, 且求