高考数学试题分类汇编 数列

数列(理)

一．选择题：

1.（全国一5）已知等差数列满足，，则它的前10项的和（   ）

A．138        B．135        C．95        D．23

2.（上海卷14） 若数列{an}是首项为1，公比为a－的无穷等比数列，且{an}各项的和为a，则a的值是（   ）

A．1                 B．2                     C．                  D．

3.（北京卷6）已知数列对任意的满足，且，那么等于（   ）

A．        B．        C．        D． 

4.（四川卷7）已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是( )

　（Ａ）　　　　　            （Ｂ）　

　（Ｃ）　　　　　             （Ｄ）

5.（天津卷4）若等差数列的前5项和，且，则

（A）12　　   　　（B）13　　　　　 （C）14　　　　   （D）15

6.（江西卷5）在数列中，，，则 

A．      B．         C．      D． 

7.（陕西卷4）已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（   ）

A．        B．100        C．110        D．120

8.（福建卷3)设｛an｝是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为

A.63                    B.                C.127                D.128

9.（广东卷2）记等差数列的前项和为，若，，则（    ）

A．16        B．24        C．36        D．48

10.（浙江卷6）已知是等比数列，，则=

（A）16（）                     （B）16（）         

（C）（）                    （D）（）

11.（海南卷4）设等比数列的公比，前n项和为，则（   ）

A. 2            B. 4            C.            D. 

二．填空题：

1.（四川卷16）设等差数列的前项和为，若，则的最大值为___________。

安徽卷（14）在数列在中，，，,其中为常数，则的值是        

2.（江苏卷10）将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

2   3

4   5   6

7   8   9  10

． ． ． ． ． ． ． 

按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为         ． 

3.（湖北卷14）已知函数,等差数列的公差为.若,则            .

4.（湖北卷15）观察下列等式：

……………………………………

可以推测，当≥2（）时，          

           .，

5.（重庆卷14)设Sn=是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16=        .

三．解答题：

1.（全国一22）．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效）

设函数．数列满足，．

（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；

（Ⅱ）证明：；

（Ⅲ）设，整数．证明：．

2.（全国二20）．（本小题满分12分）

设数列的前项和为．已知，，．

（Ⅰ）设，求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，，求的取值范围．

3.（四川卷20）．（本小题满分12分）

  设数列的前项和为，已知

（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；

（Ⅱ）求的通项公式

4.（天津卷20）（本小题满分12分）

在数列中，，，且（）．

（Ⅰ）设（），证明是等比数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．

5.（安徽卷21）．（本小题满分13分）

设数列满足为实数

（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；

（Ⅱ）设，证明：;

（Ⅲ）设，证明： 

6.（山东卷19)。(本小题满分12分)

将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

a1

a2  a3

a4   a5  a6

a7  a8   a9    a10

……

记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1. Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足＝1=（n≥2）.

(Ⅰ)证明数列｛｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式；

（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k≥3)行所有项和的和.

7.（江苏卷19）.（Ⅰ）设是各项均不为零的等差数列（），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：

①当n =4时，求的数值；②求的所有可能值；

（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．

8.（江西卷19）．（本小题满分12分）

数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为的等比数列，.

（1）求；

（2）求证.

9.（湖北卷21）.(本小题满分14分)

已知数列和满足：,其中为实数，为正整数.

（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；

（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；

（Ⅲ）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有

?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

10.（湖南卷18）.（本小题满分12分）

   数列

   (Ⅰ)求并求数列的通项公式；

   (Ⅱ)设证明：当

11.（陕西卷22）．（本小题满分14分）

已知数列的首项，，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）证明：对任意的，，；

（Ⅲ）证明：．

12.（重庆卷22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）

　　　设各项均为正数的数列{an}满足.

（Ⅰ）若，求a3，a4，并猜想a2cos的值（不需证明）；

（Ⅱ）记对n≥2恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式.

13.（广东卷21）．（本小题满分12分）

设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；

（3）若，，求的前项和．

14.（浙江卷22）（本题14分）

已知数列，，，．记．．

求证：当时，

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）。

15.（辽宁卷21）．（本小题满分12分）

在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）

（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；

（Ⅱ）证明：．

本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．满分12分．

解：（Ⅰ）由条件得

由此可得

．    2分

猜测．    4分

用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立．

②假设当n=k时，结论成立，即

，

那么当n=k+1时，

．

所以当n=k+1时，结论也成立．

由①②，可知对一切正整数都成立．    7分

（Ⅱ）．

n≥2时，由（Ⅰ）知．    9分

故

综上，原不等式成立．     12分