二次函数综合题训练(含答案)

一、综合题（共24题；共305分）

1.如图，在平面直角坐标系 中，二次函数图象的顶点坐标为 ，该图象与 轴相交于点 、 ，与 轴相交于点 ，其中点 的横坐标为1．  

（1）求该二次函数的表达式；    

（2）求 ．    

2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）．  

（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围；    

（2）把点B向上平移m个单位得点B1 ． 若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移(n＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m  ， n的值．    

3.已知抛物线y＝2x2-4x＋c与x轴有两个不同的交点.    

（1）求c的取值范围；    

（2）若抛物线y＝2x2-4x＋c经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m与n的大小，并说明理由.    

4.如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2，3）.  

（1）求a的值和图象的顶点坐标。    

（2）点Q（m，n)在该二次函数图象上.  

①当m=2时，求n的值；

②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围.

5.若二次函数 图象的顶点在一次函数 的图象上，则称 为 的伴随函数，如： 是 的伴随函数.    

（1）若 是 的伴随函数，求直线 与两坐标轴围成的三角形的面积；    

（2）若函数 的伴随函数 与 轴两个交点间的距离为4，求 ， 的值.    

6.已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点.    

（1）求k的值：    

（2）若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标.    

7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 、点 ，与 轴交于点 ．  

（1）求拋物线的解析式；    

（2）过点 作直线 轴，点 在直线 上且 ，直接写出点 的坐标．    

8.在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．    

（1）求点B的坐标（用含 的式子表示）；    

（2）求抛物线的对称轴；    

（3）已知点 ， ．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值范围．    

9.如图，直线 与 轴、 轴分别交于 两点，抛物线 经过点 ，与 轴另一交点为 ，顶点为 ．  

（1）求抛物线的解析式；    

（2）在 轴上找一点 ，使 的值最小，求 的最小值；    

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理由．    

10.如图，在直角坐标系中有 ， 为坐标原点， ，将此三角形绕原点 顺时针旋转 ，得到 ，二次函数 的图象刚好经过 三点．  

（1）求二次函数的解析式及顶点 的坐标；    

（2）过定点 的直线 与二次函数图象相交于 两点．  

①若 ，求 的值；

②证明：无论 为何值， 恒为直角三角形；

③当直线 绕着定点 旋转时， 外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．

11.如图，二次函数 的图象过原点，与x轴的另一个交点为 

（1）求该二次函数的解析式；    

（2）在x轴上方作x轴的平行线 ，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；    

（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（ ）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．    

12.已知抛物y=ax2+bx+c(b<0)与轴只有一个公共点.  

（1）若公共点坐标为(2，0)，求a、c满足的关系式；    

（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y=kx+1－k与抛物线交于点B、C两点，直线BD垂直于直线y=－1,垂足为点D.当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在 y轴上，且△ABC为等腰直角三角形.  

①求点A的坐标和抛物线的解析式；

②证明：对于每个给定的实数 k  ， 都有A、D、C三点共线.

13.如图，抛物线 与x轴相交于 两点（点 在点 的左侧），与 轴相交于点 ． 为抛物线上一点，横坐标为 ，且 ．  

（1）求此抛物线的解析式；    

（2）当点 位于 轴下方时，求 面积的最大值；    

（3）设此抛物线在点 与点 之间部分（含点 和点 ）最高点与最低点的纵坐标之差为 ．  

①求 关于 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围；

②当 时，直接写出 的面积．

14.如图1，已知抛物线 过点 ．  

（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；    

（2）设点D是x轴上一点，当 时，求点D的坐标；    

（3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N， 和 的面积分别为 ，求 的最大值．    

15.二次函数 的图象交x轴于A(-1, 0)，B(4, 0)两点，交y轴于点C.动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N,交抛物线于点D,连接  

AC.设运动的时间为t秒.

（1）求二次函数 的表达式:    

（2）连接BD，当 时，求△DNB的面积:    

（3）在直线MN上存在一点P,当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标;    

（4）当 时，在直线MN上存在一点Q, 使得∠AQC+∠OAC=90°，求点Q的坐标，

16.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（4，3），与y轴相交于点B（0，﹣5），对称轴为直线l，点M是线段AB的中点.  

（1）求抛物线的表达式；    

（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；    

（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标.    

17.如图一，抛物线 过 三点  

（1）求该抛物线的解析式；    

（2）两点均在该抛物线上，若 ，求 点横坐标 的取值范围；    

（3）如图二，过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ，该抛物线的对称轴与 轴交于点 ，连结 ，点 为线段 的中点，点 分别为直线 和 上的动点，求 周长的最小值．    

18.如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．  

（1）求此抛物线的解析式；    

（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A  ， 点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．    

19.抛物线 经过点A(3 ,0) 和点B（0,3）,且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C.  

（1）求抛物线的解析式；    

（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积.    

20.如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．    

21.如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B．

（1）求m的值；    

（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；    

（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．    

22.已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5）

（1）求该函数的关系式；    

（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；    

（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积.    

23.如图，抛物线y= x2+bx+c与直线y= x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．

（1）求抛物线的解析式；    

（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；    

（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．    

24.已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？    

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．    

答案解析部分

一、综合题

1.【答案】 （1）解：由题意可设抛物线解析式为： ．   

把 代入，得 ，

解得 ．故该二次函数解析式为 

（2）解：令 ，则 ．则 ．   

∵二次函数图象的顶点坐标为 ， ，则点 与点 关系直线 对称，

∴ ，∴ ．

∴ ，即 

【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用-几何问题    

【解析】【分析】（1）已知二次函数的顶点坐标，因此设函数解析式为顶点式，再将点A的坐标代入函数解析式，就可得到函数解析式。

 （2）由y=0解关于x的一元二次方程，解方程求出点B的坐标或利用对称性求出点B的坐标，就可求出OB的长，再由x=0求出对应的y的值，可得到点C的坐标及OC的长，然后在Rt△OBC中，利用锐角三角函数的定义可求出结果。

2.【答案】 （1）解：令y=0，则- x2+2x+6=0，  

∴x1=-2，x2=6，

∴A（-2，0），B（6，0）.

由函数图象得，当y≥0时，-2≤x≤6

（2）解：由题意得B2（6-n，m），B3（-n，m），  

函数图象的对称轴为直线x= =2.

∵点B2  ， B3在二次函数图象上且纵坐标相同，

∴ =2，∴n=1，

∴m=- ×（-1）2+2x（-1）+6= ；

∴m，n的值分别为 ，1

【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用，坐标与图形变化﹣平移，二次函数y=a（x-h）^2+k的性质    

【解析】【分析】（1）图像与x轴的交点，即y=0，求二次方程  根即可求解。根据加权平均数的定义来求；注意A在B的左侧， 。  即图像在x轴上方（含交点）x的范围。(2)根据坐标平移特点知，左右平移横坐标变化，纵坐标不变，上下移动，纵坐标变化，横坐标不变，又因为B2和B3在图像上，且纵坐标相同，故两点对称，可根据对称轴列关系式，求出n的值，再把B3坐标代入函数关系式，即可求出m.

3.【答案】 （1）解：b2-4ac＝(-4)2 -8c＝16 -8c.   

由题意，得b2 -4ac＞0，∴16 -8c＞0

∴c的取值范围是c＜2

（2）解：m＜n. 理由如下:   

∵抛物线的对称轴为直线x＝1，

又∵a＝2＞0，∴当x≥1时，y随x的增大而增大.

∵2＜3，∴m＜n.

【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数y=ax^2+bx+c的性质    

【解析】【分析】（1）由二次函数与x轴有两个不同的交点即△=b2-4ac＞0，解之即可求得答案.（2）由二次函数解析式可得其对称轴x=1，当x＞1时，y随x的增大而增大，由1＜2＜3得m＜n.

4.【答案】 （1）解：把P（-2，3）代入y=x2+ax+3，得3=（-2）2-2a+3，  

解得a=2.

∵y=x2+2x+3=(x+1）2+2，

∴顶点坐标为（-1，2）

（2）解：①把x=2代入y=x2+2x+3，求得y=11，  

∴当m=2时，n=11.

②2≤<11

【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数y=ax^2+bx+c的性质    

【解析】【分析】（1）将点P的坐标代入抛物线 即可算出a的值，从而求出抛物线的解析式，再将抛物线的解析式配成顶点式，即可求出其顶点坐标；

 （2）将点Q的横坐标x=2代入（1）所求的抛物线的解析式即可算出对应的函数值，该值就是n的值；

 （3）由于该函数顶点坐标是（-1,2），且函数开口向上，点Q的横坐标横坐标是2的时候，对应的函数值是11，故点Q到到y轴的距离小于2的时候，对应的函数值n的取值范围是2≤n＜11.

5.【答案】 （1）解： ，   

其顶点坐标为 ，

是 的伴随函数，

在一次函数 的图象上，

.

，

一次函数为： ，

一次函数与坐标轴的交点分别为 ， ，

直线 与两坐标轴围成的三角形的两直角边长度都为 ，

直线 与两坐标轴围成的三角形的面积为： 

（2）解：设函数 与 轴两个交点的横坐标分别为 ， ，则 ， ，   

，

∵函数 与 轴两个交点间的距离为4，

，

解得， ，

函数 为： ，

其顶点坐标为 ，

是 的伴随函数，

，

【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数图象与一元二次方程的综合应用    

【解析】【分析】（1）首先求出 的顶点坐标，然后将该点的坐标代入 即可算出p的值，从而求出直线的解析式，根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出其与两坐标轴交点的坐标，从而根据三角形的面积计算方法即可算出答案；

 （2） 设函数 与 轴两个交点的横坐标分别为 ， ，故， 就应该是方程的两个根，根据一元二次方程，根与系数的关系得出 ， ， 进而根据这两点间的距离为4，及完全平方公式的恒等变形得出 ，求解即可算出n的值，从而求出抛物线的顶点坐标，将该点的坐标代入一次函数即可算出m的值，从而得出答案。

6.【答案】 （1）解：∵抛物线y=x2+(k2+k－6)x+3k的对称轴是y轴，   

∴ ，

即k2+k－6=0，

解得k=－3或k=2，

当k=2时，二次函数解析式为y=x2+6，它的图象与x轴无交点，不满足题意，舍去，

当k=－3时，二次函数解析式为y=x2－9，它的图象与x轴有两个交点，满足题意，

∴k=－3

（2）解：∵P到y轴的距离为2，   

∴点P的横坐标为－2或2，

当x=2时，y=－5；

当x=－2时，y=－5，

∴点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5)

【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax^2+bx+c的性质    

【解析】【分析】（1）根据题意由x=-,列出方程，求解算出k的值，再根据抛物线与x轴有两个交点进行检验即可得出答案；

 （2）根据一个点到y轴的距离是其横坐标的绝对值，由P到y轴的距离是2得出 点P的横坐标为－2或2， 进而将P点的横坐标代入（1）所求的抛物线的解析式即可算出对应的函数值，从而求出点P的坐标。

7.【答案】 （1）解：将点 、点 ）代入 ，   

可得 ， ，

（2）解： ，   

，

，

设 ，直线 与 轴交点为 ，

则 ，

，

或 ，

直线 为 或 ，

当 时， 或 ，

或 

【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用-几何问题    

【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式。

 （2）根据三角形的面积公式，利用直线解析式，得到P点坐标。

8.【答案】 （1）解：∵抛物线与 轴交于点A，∴令 ，得 ，   

∴点A的坐标为 ，∵点A向右平移两个单位长度，得到点B，

∴点B的坐标为 ；

（2）解：∵抛物线过点 和点 ，由对称性可得，抛物线对称轴为   

直线 ，故对称轴为直线 

（3）解：∵对称轴x=1，   

∴b-2a， ， 

①a＞0时，

当x=2时， ，当 x=0或x=2，

∴函数与AB无交点；

②a＜0时，

当y=2时， ，

或 当 时， ；

∴当 时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；

【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数y=ax^2+bx+c的性质    

【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式，将点A的坐标计算得到，根据点的平移得到点向右平移两个单位长度得到的点B即可。

 （2）根据点A以及点B的坐标即可求出对称轴。

 （3）①a＞0时，根据题意得到式子可得，函数与AB没有交点。

 ②a＜0时，根据题意，列出式子，可以得到a的取值范围。

9.【答案】 （1）解：直线 与 轴、 轴分别交于 两点，则点 的坐标分别为 ，   

将点 的坐标代入二次函数表达式得： ，解得： ，

故函数的表达式为： ，

令 ，则 或3，故点 

（2）解：如图1，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则此时 为最小，   

函数顶点坐标为 ，点 ，

将 的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线 的表达式为： ，

当 时， ，

故点 

（3）解：①当点 在 轴上方时，如下图2，   

∵ ，则 ，

过点 作 ，设 ，

则 ，

由勾股定理得： ，

，解得： （负值已舍去），

则 ，

则 ；

②当点 在 轴下方时，

则 ；

故点 的坐标为 或 ．

【考点】二次函数的最值，二次函数y=ax^2 bx c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质    

【解析】【分析】（1）根据直线的解析式求出点B以及点C的坐标，将两个点的坐标代入二次函数中进行求解，即可得到b和c的值。

 （2）根据题意得到EC和ED的和为最小的条件，计算得到直线CD的解析式，得到E点的坐标即可。

 （3）假设存在一点P使得∠APB=∠OCB，根据点P在x轴的各种位置进行分类讨论，求出P点的坐标即可。

10.【答案】 （1）解： ，则 ，   

即点 的坐标分别为 、 、 ，

则二次函数表达式为： ，

即： ，解得： ，

故函数表达式为： ，

点 

（2）解：将二次函数与直线 的表达式联立并整理得：   

，

设点 的坐标为 、 ，

则 ，

则： ，

同理： ，

① ，当 时， ，即点 ，

，则 ，

，

解得： ；

②点 的坐标为 、 、点 ，

则直线 表达式中的 值为： ，直线 表达式中的 值为： ，

为：  ，

故 ，

即： 恒为直角三角形；

③取 的中点 ，则点 是 外接圆圆心，

设点 坐标为 ，

则 ，

，

整理得： ，

即：该抛物线的表达式为： ．

【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数y=ax^2+bx+c的性质    

【解析】【分析】（1）根据点A，点B以及点C的坐标即可得到函数的解析式，求出a的值。

 (2)根据两个函数的解析式得到M和N点的坐标，根据三角形的面积得到式子求出答案即可；根据点M以及点N的坐标表示得到PM和PN，根据题意得到答案即可；可以设点H的坐标，根据题意得到抛物线的函数解析式即可。

11.【答案】 （1）解：将 ， 代入 ，得： ，   

解得 ，

∴该二次函数的解析式为 

（2）解：当 时， ，   

解得： ， ，

∴点a的坐标为（ ，m），点b的坐标为（ ，m），

∴点d的坐标为（ ，0），点c的坐标为（ ，0）．

∵矩形abcd为正方形，

∴ ，

解得： ，（舍去）， ．

∴当矩形ABCD为正方形时，m的值为4

（3）解：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．   

由（2）可知：点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，点D的坐标为 ． 

设直线AC的解析式为 ，

将 ， 代入 ，

得 ，

解得 ，

∴直线ac的解析式为 ．

当 时， ， 

∴点E的坐标为（ ， ），点F的坐标为（ ， -t+4）．

∵以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且 ，

∴ ，分三种情况考虑：

①当 时，如图1所示， ，EF= ，

∴ ，解得： （舍去）， ；

②当 时，如图2所示， ，EF= ，

∴ ，

解得： （舍去）， ；

, , EF= ，

，

解得 （舍去）， （舍去）

综上所述，当以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4或6

【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数y=ax^2+bx+c的性质    

【解析】【分析】（1）将两个点的坐标代入，根据待定系数法即可得到函数的解析式。

 （2）根据题意得到x的两个坐标，从而表示出四个点的坐标，根据矩形为正方形，即可得到m的值。

 （3）根据题意可知，四边形AEFQ为平行四边形，即可得到直线AC的性质，根据平行四边形的性质得到AQ=EF，根据题意分情况进行讨论即可。

12.【答案】 （1）解：抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y＝a（x−2）2  ， 则c＝4a；

（2）解：y=kx+1－k= k(x－1)+1过定点(1,1),    

且当k＝0时，直线l变为y=1平行x轴,与y轴的交点为(0,1) 

又△ABC为等腰直角三角形，∴点A为抛物线的顶点

①c=1，顶点A(1,0)

  抛物线的解析式: y= x2－2x+1.

② 

 x2－(2+k)x+k＝0,

x＝ (2+k± )

xD＝xB＝ (2+k－ ), yD=－1；

则D 

yC＝ (2+k2+k ,  

 C ，A(1,0) 

∴直线AD表达式中的k值为：k AD= = ，

直线AC表达式中的k值为：k AC= 

∴k AD= k AC, 点A、C、D三点共线.

【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax^2 bx c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质    

【解析】【分析】（1）根据题意可得，公共点的坐标为顶点A的坐标，将式子写为顶点式，得到c和a之间的关系即可。

 （2）①根据直线的解析式过定点，结合等腰直角三角形的性质，求出c的值以及顶点的坐标。

 ②将两个式子进行联立，根据题意求出x的两个根，根据直线的AD的解析式得到三点共线即可。

13.【答案】 （1）解：因为抛物线 与 轴交于点 ，   

把 代入 ，得

，

解得 ，

所以此抛物线的解析式为 ，

即 ；

（2）解：令 ，得 ，   

解得 ，

所以 ，

所以 ；

解法一：

由（1）知，抛物线顶点坐标为 ，

由题意，当点 位于抛物线顶点时， 的面积有最大值，

最大值为 ；

解法二

由题意，得 ，

所以 

，

所以当 时， 有最大值8；

（3）解：①当 时， ；   

当 时， ；

当 时， ；

②当h=9时

 若-m2+2m=9，此时△＜0，m无解；

若m2-2m+1=9，则m=4，

∴P（4，5），

∵B（3，0），C（0，-3），

∴△BCP的面积= （4+1）×3=6；

【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数y=ax^2 bx c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质    

【解析】【分析】（1）根据抛物线与y轴的交点坐标即可求出k的值，得到抛物线的解析式。

 （2）根据题意，得到点A以及点B的坐标，根据抛物线的顶点可知，P点在顶点时，有最大值，得到答案即可。

 （3）①分别根据m的取值范围，得到函数的关系式即可。

 ②根据h的数值，计算m的值，即可计算三角形BCP的面积。

14.【答案】 （1）解：由题意把点 代入 ，   

得， ，

解得 ，

∴此抛物线解析式为： ，顶点C的坐标为 

（2）解：∵抛物线顶点 ，   

∴抛物线对称轴为直线 ，

设抛物线对称轴与x轴交于点H，

则 ，

在 中， ，

，

∴当 时，

如图1，当点D在对称轴左侧时，

，

，

，

，

，

当点D在对称轴右侧时，点D关于直线 的对称点D'的坐标为 ，

∴点D的坐标为 或 

（3）解：设 ，   

将 代入 ，

得， ，

解得， ，

当 时， ，

如图2，

，

由二次函数的性质知，当 时， 有最大值 ，

和 的面积分别为m、n，

的最大值为 ．

【考点】二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，计算器—三角函数    

【解析】【分析】（1）根据二次函数图像上点的特点，将AB两点代入，待定系数法求解二次函数解析式。然后将其转化为顶点式，即可写出顶点坐标。

 （2）当D在X轴左侧时， 设抛物线对称轴与x轴交于点H ，即可写出顶点坐标C与H的坐标。在直角三角形中利用正切函数值，以及相似三角形的判定与性质，对应边成比例。即而求出AO、AD的值，从而求出点D的坐标。根据对称轴对称的性质特点，求出D点在对称轴右侧的坐标。

 （3）点P同时在这两个函数图像上，根据二次函数表达式故设点， 然后设 一次函数表达式，将PA两点代进去，待定系数法求解。即而求出一次函数与y轴交点N。已知 和 的面积 ，将其面积表达式写出来。S△BMP=S△BPA-S四边BMNOS△AON；S△EMN=S△EBO-S四边形BMNO。m-n即两个三角形面积之差，转化为二次函数求最值问题。

15.【答案】 （1）将点A（−1，0），B（4，0）代入y＝ax2＋bx＋2，得  

 解得：  

 ∴ y=  ；

（2）将x=0代入 得，y=2，  

∴ C（0，2），

 设直线BC的解析式为y=kx+c,将点B(4,0),C(0,2)分别代入  得解得：  

 ∴BC的直线解析式为y＝− x＋2，

 当t＝ 时，AM＝3，

 ∵AB＝5，

 ∴MB＝2，

 ∴M（2，0），N（2，1），D（2，3），

∴△DNB的面积＝△DMB的面积−△MNB的面积＝  ×MB×DM−  ×MB×MN＝ ×2×2＝2;

（3）∵BM＝5−2t，

 ∴M（2t−1，0），

 设P（2t−1，m），

 ∵PC2＝（2t−1）2＋（m−2）2  ， PB2＝（2t−5）2＋m2  ， 

 ∵PB＝PC，

 ∴（2t−1）2＋（m−2）2＝（2t−5）2＋m2  ， 

 ∴m＝4t−5，

 ∴P（2t−1，4t−5），

 ∵PC⊥PB，

 ∴  

 ∴t＝1或t＝2，

 ∴M（1，0）或M（3，0），

 ∴D（1，3）或D（3，2）

（4）t＝  时，M（  ，0）；

 ∴点Q在抛物线对称轴x＝ 上，

 如图：过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x＝ 的交点分别为Q1与Q2  ， 

 ∵AB＝5，

 ∴AM＝  

 ∵∠AQ1C＋∠OAC＝90°，∠OAC＋∠MAG＝90°，

 ∴∠AQ1C＝∠MAG，

 又∵∠AQ1C＝∠CGA＝∠MAG，

 ∴Q1（ ，− ），

 ∵Q1与Q2关于x轴对称，

 ∴Q2（ ， ），

 ∴ .Q（ ，− ）或Q（ ， ），   

【考点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用    

【解析】【分析】（1）将点A,B的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋2即可得出关于a,b的二元一次方程组，求解得出a,b的值从而得出抛物线的解析式；（2）根据抛物线与y轴交点的坐标特点求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，根据点的坐标与图形的性质求出点M,N，D的坐标，然后根据△DNB的面积＝△DMB的面积−△MNB的面积即可算出答案；（3）根据题意得出M（2t−1，0），根据点的坐标与图形的性质设出带你P的坐标，利用勾股定理表示出PC2,PB2,再根据PB=PC列出方程，得出m与t的函数关系式；然后根据互相垂直的直线的比例系数的乘积为-1列出方程，求解得出t的值，从而求出点D的坐标；（4）t＝  时，M（  ，0），故点Q在抛物线对称轴x＝ 上，过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x＝ 的交点分别为Q1与Q2  ， 根据同角的余角相等得出∠AQ1C＝∠MAG，故∠AQ1C＝∠CGA＝∠MAG，进而即可求出点Q的坐标。

16.【答案】 （1）解： 函数表达式为：y＝a（x-4）2+3，

将点B坐标代入上式并解得：a＝﹣ ，

故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+4x﹣5；

（2）解：A（4，3）、B（0，﹣5），则点M（2，﹣1），   

设直线AB的表达式为：y＝kx﹣5，

将点A坐标代入上式得：3＝4k﹣5，解得：k＝2，

故直线AB的表达式为：y＝2x﹣5

（3）解：设点Q（4，s）、点P（m，﹣ m2+4m﹣5），   

①当AM是平行四边形的一条边时，

点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M，

同样点P（m，﹣ m2+4m﹣5）向左平移2个单位、向下平移4个单位得到Q（4，s），

即：m﹣2＝4，﹣ m2+4m﹣5﹣4＝s，

解得：m＝6，s＝﹣3，

故点P、Q的坐标分别为（6，1）、（4，﹣3）；

②当AM是平行四边形的对角线时，

由中点定理得：4+2＝m+4，3﹣1＝﹣ m2+4m﹣5+s，

解得：m＝2，s＝1，

故点P、Q的坐标分别为（2，1）、（4，1）；

③当点Q在点A上方时，AQ＝MP＝2，

同理可得点Q的坐标为（4，5），

故点P、Q的坐标分别为（6，1）或（2，1）、（4，﹣3）或（4，1）或（4，5）

【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，二次函数的实际应用-几何问题    

【解析】【分析】（1）利用待定系数法，设出抛物线的顶点式，再将点B的坐标代入即可算出二次项的系数a的值，从而求出抛物线的解析式；

（2）根据线段的中点坐标公式求出点M的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；

（3）根据点的坐标与图形的性质设出点P,Q的坐标，然后分类讨论： ①当AM是平行四边形的一条边时， 根据平行四边形的性质得出 点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M， 同样点P（m，﹣ m2+4m﹣5）向左平移2个单位、向下平移4个单位得到Q（4，s）， 根据点的坐标的平移规律列出方程，求解算出m,s的值，从而即可得出点P,Q的坐标； ②当AM是平行四边形的对角线时， 根据平行四边形的对角线互相平分，及中点坐标公式即可算出m,s的值，从而求出点P,Q的坐标； ③当点Q在点A上方时，AQ＝MP＝2， 同理可得点Q的坐标 ，综上所述即可得出答案。

17.【答案】 （1）解：∵抛物线 过 三点   

∴ 解得： ；

∴抛物线的解析式为： 

（2）解：抛物线的对称轴为 ，抛物线上与 相对称的点 

在该抛物线上， ，根据抛物线的增减性得：

∴ 或 

答： 点横坐标 的取值范围： 或 ．

（3）解：∵ ， ， 

∴ ， ， 

∵ 是 的中点，

∴ 

当点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为 ，直线 与 、 交点为 ，此时 的周长最小，周长为 的长，由对称可得到： ， 即点 ，

，

即： 的周长最小值为3，

【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数y=ax^2+bx+c的性质    

【解析】【分析】（1）根据抛物线经过点A，点B以及点C，即可利用待定系数法得到抛物线的解析式。

 （2）根据抛物线的对称性以及增减性进行判断即可得到答案。

 （3）根据直线的对称点，即可得到三角形FMN周长最小的值。

18.【答案】 （1）解：∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1且经过点A（﹣3，0）   

由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0）

设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）

即：y＝a（x﹣1）（x+3）

把B（0，3）代入得：3＝﹣3a

∴a＝﹣1

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3

（2）解：设直线AB的解析式为y＝kx+b  ，    

∵A（﹣3，0），B（0，3），

∴ ，

∴直线AB为y＝x+3，

作PQ⊥x轴于Q  ， 交直线AB于M  ， 

设P（x  ， ﹣x2﹣2x+3），则M（x  ， x+3），

∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x  ， 

∴ ，

当 时， ， ，

∴△PAB的面积的最大值为 ，此时点P的坐标为（ ， ）.

【考点】二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，二次函数y=ax^2+bx+c的性质    

【解析】【分析】（1）根据交点式，利用待定系数法求出抛物线解析式即可.

 （2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，作PQ⊥x轴于Q， 交直线AB于M， 设P（x， ﹣x2﹣2x+3），则M（x， x+3） ，可得PM=-x2-3x，利用三角形的面积公式求出S关于x的关系式，根据二次函数的性质求出最大值及点P的坐标.

19.【答案】 （1）解： 抛物线 经过 、 

   由上两式解得 

 抛物线的解析式为： ；

（2）解：由（1）抛物线对称轴为直线 

把 代入， 得 

则点 坐标为 ， 

设线段 所在直线为： 

解得 解析式为：

 线段 所在直线经过点 、 

抛物线的对称轴 于直线 交于点 

 设点 的坐标为 

将点 代入 ，解得 

 点 坐标为 ，

过点 作 于点 

【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用    

【解析】【分析】（1）将A,B两点的坐标分别代入 抛物线 即可得出关于b,c的二元一次方程组，求解即可得出b,c的值，从而求出抛物线的解析式；

 （2）利用抛物线对称轴直线公式求出（1）中抛物线的对称轴直线，然后将该值代入抛物线的解析式求出对应的函数值，从而求出其顶点C的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式，设 抛物线的对称轴 于直线 交于点 ，根据两直线交点的坐标求法求出D点的坐标，进而求出CD的长， 过点 作 于点 F，根据矩形的性质得出BF=OE，然后根据线段的的和差求出OA的长，然后根据 即可算出答案。

20.【答案】 （1）解：由题意得：x=﹣ =﹣ =﹣2，c=2，

解得：b=4，c=2，

则此抛物线的解析式为y=x2+4x+2

（2）解：∵抛物线对称轴为直线x=﹣2，BC=6，

∴B横坐标为﹣5，C横坐标为1，

把x=1代入抛物线解析式得：y=7，

∴B（﹣5，7），C（1，7），

设直线AB解析式为y=kx+2，

把B坐标代入得：k=﹣1，即y=﹣x+2，

作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，

可得△AQH∽△ABM，

∴ ，

∵点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，

∴AQ：QB=2：3或AQ：QB=3：2，即AQ：AB=2：5或AQ：QB=3：5，

∵BM=5，

∴QH=2或QH=3，

当QH=2时，把x=﹣2代入直线AB解析式得：y=4，

此时Q（﹣2，4），直线CQ解析式为y=x+6，令y=0，得到x=﹣6，即P（﹣6，0）；

当QH=3时，把x=﹣3代入直线AB解析式得：y=5，

此时Q（﹣3，5），直线CQ解析式为y= x+ ，令y=0，得到x=﹣13，此时P（﹣13，0），

综上，P的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）．

【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数y=ax^2+bx+c的性质    

【解析】【分析】（1）根据对称轴直线公式，由对称轴为直线x=﹣2建立方程，求出b的值，根据抛物线与y轴交点的坐标求出c的值，从而得出抛物线的解析式；

（2）根据抛物线的对称性，由抛物线对称轴为直线x=﹣2，BC=6，即可得出B,C两点的横坐标，将x=1代入抛物线的解析式，即可求出对应的函数值，根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相同即可得出B,C两点的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式，作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，根据平行于三角形一边的直线截其它两边所截得得出三角形与原三角形相似得出△AQH∽△ABM，根据相似三角形对应边成比例得出,由点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，根据同高三角形的底之间的关系得出AQ：QB=2：3或AQ：QB=3：2，即AQ：AB=2：5或AQ：QB=3：5，进而得出QH=2或QH=3，当QH=2时，把x=﹣2代入直线AB解析式得：y=4，从而得出Q点的坐标，利用待定系数法求出直线CQ的解析式，根据直线与x轴交点的坐标特点即可求出P点的坐标，同法求出当QH=3时，P点的坐标，综上所述即可得出答案。

21.【答案】 （1）解：将（0，﹣3）代入y=x+m，

可得：m=﹣3  

（2）解：将y=0代入y=x﹣3得：x=3，

所以点B的坐标为（3，0），

将（0，﹣3）、（3，0）代入y=ax2+b中，

可得： ，

解得： ，

所以二次函数的解析式为：y= x2﹣3

（3）解：存在，分以下两种情况：

①  若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC=45°+15°=60°，

∴OD=OC•tan30°= ，

设DC为y=kx﹣3，代入（ ，0），可得：k= ，

联立两个方程可得： ，

解得： ， 

所以M1（3 ，6）；

②  若M在B下方，设MC交x轴于点E，则∠OEC=45°﹣15°=30°，

∴OE=OC•tan60°=3 ，

设EC为y=kx﹣3，代入（3 ，0）可得：k= ，

联立两个方程可得： ，

解得： ， 

所以M2（ ，﹣2），

综上所述M的坐标为（3 ，6）或（ ，﹣2）

【考点】二次函数与一次函数的综合应用    

【解析】【分析】（1）根据直线上点的坐标特点，将（0，﹣3）代入y=x+m，即可求出m的值；

（2）根据直线与x轴交点的坐标特点求出B点的坐标，将B,C两点的坐标分别代入y=ax2+b中得出关于a,b的二元一次方程组，求解得出a,b的值，从而求出抛物线的解析式；

（3）存在，分以下两种情况：①  若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC=45°+15°=60°，根据正切函数，由OD=OC•tan30°得出OD的长，用待定系数法求出直线DC的解析式，解联立直线DC的解析式及抛物线的解析式组成的方程组，即可得出M点的坐标；②  若M在B下方，设MC交x轴于点E，则∠OEC=45°﹣15°=30°，根据正切函数，由OC=OD•tan30°得出OC的长，用待定系数法求出直线EC的解析式，解联立直线EC的解析式及抛物线的解析式组成的方程组，即可得出M点的坐标;综上所述即可得出答案。

22.【答案】 （1）解：依题可设y=a（x+1）2+4，

∵B（2，-5）在抛物线上，

∴9a+4=-5,

∴a=-1，

∴该函数的关系式为：y=-（x+1）2+4=-x2-2x+3.

（2）解：令x=0,则y=3,

∴函数图像与y轴交点坐标为：（0,3），

令y=0,则x2+2x-3=0，即（x+3）（x-1）=0,

∴x=-3或x=1，,

∴函数图像与x轴交点坐标为：（-3,0），（1,0）.

（3）解：设函数图像向右平移m（m>0）个单位，则函数解析式为：y=-（x-m+1）2+4，

如图，

∵平移之后的图像经过原点，

∴-（-m+1）2+4=0，

∴m=3或-1，

∵m>0，

∴m=3，

∴A′（2,4），B′（5，-5），

∴S△O A′B′= ×（2+5）×（4+5）- ×2×4- ×5×5，

 = -4- ，

=15.

【考点】二次函数图象的几何变换，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与坐标轴的交点问题    

【解析】【分析】（1）根据顶点坐标可用顶点式来表示函数解析式，再将点B坐标代入即可得出答案.

（2）根据函数解析式，令x=0,则得出函数图像与y轴交点坐标；令y=0,则得出函数图像与x轴交点坐标.

（3）设函数图像向右平移m（m>0）个单位，则函数解析式为：y=-（x-m+1）2+4，再将原点代入即可得m值，根据平移的性质可得A′、B′点的坐标，如图利用分割法可求得三角形面积.

23.【答案】 （1）解：将A（0，3），C（﹣3，0）代入函数解析式，得

，解得 ，

抛物线的解析式是y= x2+ x+3

（2）解：由抛物线的对称性可知，点D与点C关于对称轴对称，

∴对l上任意一点有MD=MC，

联立方程组  ，

解得 （不符合题意，舍）， ，

∴B（﹣4，1），

当点B，C，M共线时，|MB﹣MD|取最大值，即为BC的长，

过点B作BE⊥x轴于点E，

，

在Rt△BEC中，由勾股定理，得

BC= ，

|MB﹣MD|取最大值为 

（3）解：存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，

在Rt△BEC中，∵BE=CE=1，

∴∠BCE=45°，

在Rt△ACO中，

∵AO=CO=3，

∴∠ACO=45°，

∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，

过点P作PQ⊥y轴于Q点，∠PQA=90°，

设P点坐标为（x， x2+ x+3）（x＞0）

①当∠PAQ=∠BAC时，△PAQ∽△CAB，

∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，

∴△PGA∽△BCA，

∴ ，即 ，

∴ ，

解得x1=1，x2=0（舍去），

∴P点的纵坐标为 ×12+ ×1+3=6，

∴P（1，6），

②当∠PAQ=∠ABC时，△PAQ∽△CBA，

∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠ABC，

∴△PGA∽△ACB，

∴ ，

即 =3，

∴ ，

解得x1=﹣ （舍去），x2=0（舍去）

∴此时无符合条件的点P，

综上所述，存在点P（1，6）

【考点】待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数的综合应用    

【解析】【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线的解析式求出b、c的值，就可求得抛物线的解析式。

（2）由抛物线的对称性可知，点D与点C关于对称轴对称，对l上任意一点有MD=MC，将两函数联立方程组，求出点B的坐标，当点B，C，M共线时，|MB﹣MD|取最大值，即为BC的长，过点B作BE⊥x轴于点E，在Rt△BEC中利用勾股定理求出BC的长即可。

（3）存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，根据已知证明∠ACB=90°，过点P作PQ⊥y轴于Q点，∠PQA=90°，利用二次函数解析式设出点P的坐标，再分情况讨论：①当∠PAQ=∠BAC时，△PAQ∽△CAB，易证明△PGA∽△BCA，得出对应边成比例，求出x的值，就可得出点P的坐标；②当∠PAQ=∠ABC时，△PAQ∽△CBA，易证△PGA∽△ACB，得出对应边成比例，求出x的值，就可得出点P的坐标，即可解答。

24.【答案】 （1）解：∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），

将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，

解得：a=﹣ ，

所以抛物线解析式为y=﹣ （x﹣6）（x+2）=﹣ x2+2x+6

（2）解：如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，

设直线AB解析式为y=kx+b，

将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：

，

解得： ，

则直线AB解析式为y=﹣x+6，

设P（t，﹣ t2+2t+6）其中0＜t＜6，

则N（t，﹣t+6），

∴PN=PM﹣MN=﹣ t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣ t2+2t+6+t﹣6=﹣ t2+3t，

∴S△PAB=S△PAN+S△PBN

= PN•AG+ PN•BM

= PN•（AG+BM）

= PN•OB

= ×（﹣ t2+3t）×6

=﹣ t2+9t

=﹣ （t﹣3）2+ ，

∴当t=3时，△PAB的面积有最大值

（3）解：如图2，

若△PDE为等腰三角形，

则PD=PE，

设点P的横坐标为a，

∴PD=-， 

PE=， 

∴-， 

解得：a=4或a=5-,

所以P（4,6）或P（5-， 3-5）

【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的实际应用-几何问题    

【解析】【分析】（1）设出抛物线的交点式，再将A点的坐标代入，即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式；

（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，利用待定系数法求出直线AB解析式，根据抛物线上点的坐标特点，设出P点的坐标，根据垂直于x轴直线上的点的坐标特点及直线上的点的坐标特点表示出N点的坐标，进而表示出PN的长，根据S△PAB=S△PAN+S△PBN建立出函数关系式，根据函数性质得出答案；

（3）如图2，根据垂直的定义得出∠DHB=∠AOB=90°，根据同位角相等两直线平行得出DH∥AO，根据等腰直角三角形的性质得出∠BDH=∠BAO=45°，又∠DPE=90°，若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，故E点的纵坐标应该为6，将y=6代入抛物线，求解得出对应的自变量的值，从而得出P点的坐标。