高中数学高考总复习双曲线习题及详解

一、选择题

1．(文)(2010·山东潍坊)已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是 (　　)

A.                              B. 

C.                              D. 

[答案]　C

[解析]　设双曲线方程为－＝1，则由题意得，＝4，∴＝16，∴e＝.

(理)(2010·河北唐山)过双曲线－＝1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为(　　)

A．2                              B. 

C.                              D. 

[答案]　C

[解析]　如图，FM⊥l，垂足为M，

∵M在OF的中垂线上，

∴△OFM为等腰直角三角形，∴∠MOF＝45°，

即＝1，∴e＝.

2．(2010·全国Ⅰ文)已知F1、F2为双曲线C x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　)

A．2　　　　                    B．4　　　　

C．6　　　　                    D．8

[答案]　B

[解析]　在△F1PF2中，由余弦定理

cos60°＝

＝

＝＋1＝＋1，

∵b＝1，∴|PF1|·|PF2|＝4.

3．(文)(2010·合肥市)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1都相切，则双曲线C的离心率是(　　)

A.或2                          B．2或

C.或                         D.或

[答案]　A

[解析]　焦点在x轴上时，由条件知＝，∴＝，∴e＝＝，同理，焦点在y轴上时，＝，此时e＝2.

(理)已知F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为(　　)

A．4＋2                          B.－1

C.                          D.＋1

[答案]　D

[解析]　设线段MF1的中点为P，由已知△F1PF2为有一锐角为60°的直角三角形，

∴|PF1|、|PF2|的长度分别为c和c.

由双曲线的定义知：(－1)c＝2a，

∴e＝＝＋1.

4．已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为(　　)

A．x＝±y                      B．y＝±x

C．x＝±y                      D．y＝±x

[答案]　D

[解析]　由题意c2＝3m2－5n2＝2m2＋3n2，

∴m2＝8n2，

∴双曲线渐近线的斜率k＝±＝±.

方程为y＝±x.

5．(文)(2010·湖南师大附中模拟)已知双曲线－＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A、B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为(　　)

A．8                              B．9

C．16                              D．20

[答案]　B

[解析]　由已知，|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，又|AB|＝4，则|AF2|＋|BF2|＝16.

据双曲线定义，2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，所以4a＝|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16－4＝12，即a＝3，所以m＝a2＝9，故选B.

(理)(2010·辽宁锦州)△ABC中，A为动点，B、C为定点，B，C (其中m>0，且m为常数)，且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程为(　　)

A.－＝1  　                B.－＝1

C.－＝1(x>)  　            D.－＝1

[答案]　C

[解析]　依据正弦定理得：|AB|－|AC|＝|BC|＝<|BC|

∴点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支，且a＝，c＝，∴b2＝c2－a2＝

∴双曲线方程为－＝1(x>)

6．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点为F1、F2，点Q为双曲线左支上除顶点外的任一点，过F1作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是(　　)

A．椭圆的一部分                  B．双曲线的一部分

C．抛物线的一部分                  D．圆的一部分

[答案]　D

[解析]　延长F1P交QF2于R，则|QF1|＝|QR|.

∵|QF2|－|QF1|＝2a，∴|QF2|－|QR|＝2a＝|RF2|，

又|OP|＝|RF2|，∴|OP|＝a.

7．(文)(2010·温州市十校)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)                      B．(1,2)

C．(1,1＋)                      D．(2,1＋)

[答案]　B

[解析]　由题意易知点F的坐标为(－c,0)，A，B，E(a,0)，因为△ABE是锐角三角形，所以·>0，即·＝·>0，整理得3e2＋2e>e4，∴e(e3－3e－3＋1)<0，∴e(e＋1)2(e－2)<0，解得e∈(0,2)，又e>1，∴e∈(1,2)，故选B.

(理)(2010·浙江杭州质检)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F引它的渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若FM＝ME，则该双曲线的离心率为(　　)

A．3                              B．2

C.                              D. 

[答案]　D

[解析]　由条件知l：y＝x是线段FE的垂直平分线，∴|OE|＝|OF|＝c，又|FM|＝＝b，

∴在Rt△OEF中，2c2＝4b2＝4(c2－a2)，

∵e＝>1，∴e＝.

8．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是(　　)

A.                  B. 

C.                      D. 

[答案]　D

[解析]　直线与双曲线右支相切时，k＝－，直线y＝kx＋2过定点(0,2)，当k＝－1时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直线y＝－x＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，

∴－9．(文)(2010·福建理)若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为(　　)

A．[3－2，＋∞)                  B．[3＋2，＋∞)

C．[－，＋∞)                      D．[，＋∞)

[答案]　B

[解析]　由条件知a2＋1＝22＝4，∴a2＝3，

∴双曲线方程为－y2＝1.

设P点坐标为(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋2，y)，

∵y2＝－1，∴·＝x2＋2x＋y2

＝x2＋2x＋－1＝x2＋2x－1

＝(x＋)2－.

又∵x≥(P为右支上任意一点)

∴·≥3＋2.故选B.

(理)(2010·新课标全国理)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)

A.－＝1                      B.－＝1

C.－＝1                          D.－＝1

[答案]　B

[解析]　设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有：，两式作差得：＝＝，∵kAB＝，且kAB＝＝1，所以4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是－＝1，故选B.

10．(文)过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点垂直于x轴的弦长为a，则双曲线－＝1的离心率e的值是(　　)

A.                              B. 

C.                              D. 

[答案]　B

[解析]　将x＝c代入椭圆方程得，＋＝1，

∴y2＝×b2＝×b2＝×b2，∴y＝±.

∴＝a，∴b2＝a2，e2＝＝＝，

∴e＝，故选B.

(理)(2010·福建宁德一中)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F恰好是双曲线－＝1的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为(　　)

A.                              B．1±

C．1＋                          D．无法确定

[答案]　C

[解析]　由题意知＝c，根据圆锥曲线图象的对称性，两条曲线交点的连线垂直于y轴，对双曲线来说，这两个交点连线的长度是，对抛物线来说，这两个交点连线的长度是2p，∵p＝2c，＝4c，∴b2＝2ac，

∴c2－a2＝2ac，∴e2－2e－1＝0，解得e＝1±，

∵e>1，∴e＝1＋.

二、填空题

11．(文)(2010·广东实验中学)已知P是双曲线－＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x－y＝0.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF2|＝3，则|PF1|＝________.

[答案]　5

[解析]　由双曲线的一条渐近线的方程为3x－y＝0且b＝3可得：a＝1，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，

∴|PF1|－3＝2，∴|PF1|＝5.

(理)(2010·东营质检)已知双曲线－＝1的右焦点为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．

[答案]　y＝±x

[解析]　由题意知9＋a＝13，∴a＝4，

故双曲线的实半轴长为a′＝3，虚半轴长b′＝2，

从而渐近线方程为y＝±x.

12．(2010·惠州市模考)已知双曲线－y2＝1(a>0)的右焦点与抛物线y2＝8x焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________．

[答案]　y＝±x

[解析]　y2＝8x焦点是(2,0)，

∴双曲线－y2＝1的半焦距c＝2，

又虚半轴b＝1，

又a>0，∴a＝＝，

∴双曲线渐近线的方程是y＝±x.

13．(2010·北京东城区)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线离心率的取值范围是________．

[答案]　1[解析]　由题意，

∴，

∵|PF1|≥|AF1|，∴3a≥a＋c，

∴e＝≤2，∴114．下列有四个命题：

①若m是集合{1,2,3,4,5}中任取的一个值，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为mx－y＝0，则双曲线的离心率小于4的概率为.

②若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且其一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则双曲线的离心率为2；

③将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y＝sin的图象；

④在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC＝a，BC＝b，则△ABC的外接圆半径r＝；类比到空间，若三棱锥S－ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S－ABC的外接球的半径R＝.

其中真命题的序号为________．(把你认为是真命题的序号都填上)

[答案]　①②④

[解析]　①设双曲线方程为m2x2－y2＝1，

∵a2＝，b2＝1，c2＝a2＋b2＝

∴e＝＝<4，∴m<

∴m取值1、2、3

故所求概率为，故①正确．

②根据双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，可得＝，因此离心率e＝＝＝＝2，②正确；

③函数y＝cos2x的图象向右平移个单位得y＝cos2(x－)＝cos(2x－)＝sin[＋(2x－)]＝sin(2x＋)的图象，③错误；

④将三棱锥S－ABC补成如图的长方体，可知三棱锥S－ABC外接球的直径就等于该长方体的体对角线的长，则R＝，④正确．

三、解答题

15．(文)已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F(－2,0)

(1)求双曲线方程；

(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若||＝2||，求直线l的方程．

[解析]　(1)由题意可设所求的双曲线方程为

－＝1(a>0，b>0)

则有e＝＝2，c＝2，∴a＝1，则b＝

∴所求的双曲线方程为x2－＝1.

(2)∵直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2,0)

∴l的斜率k一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2)

令x＝0得M(0,2k)

∵||＝2||且M、Q、F共线于l

∴＝2或＝－2

当＝2时，xQ＝－，yQ＝k

∴Q，

∵Q在双曲线x2－＝1上，

∴－＝1，∴k＝±，

当＝－2时，

同理求得Q(－4，－2k)代入双曲线方程得，

16－＝1，∴k＝±

则所求的直线l的方程为：

y＝±(x＋2)或y＝±(x＋2)

(理)(2010·湖南湘潭市)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．

[解析]　(1)设双曲线－＝1，

由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝22得，b2＝1，

故双曲线C的方程为－y2＝1.

(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中得，

(1－3k2)x2－6kx－9＝0.

由直线l与双曲线交于不同的两点得

，

∴k2≠且k2<1①

设A(xA，yA)，B(xB，yB)，

则xA＋xB＝，xAxB＝

由·>2得，xAxB＋yAyB>2，

xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)

＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2

＝(k2＋1)·＋k·＋2＝

于是>2，即>0，

解此不等式得由①②得故k的取值范围为∪.

16．(2010·江苏苏州模拟)已知二次曲线Ck的方程：＋＝1.

(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；

(2)若双曲线Ck与直线y＝x＋1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；

(3)m、n为正整数，且m[解析]　(1)当且仅当，即k<4时，方程表示椭圆．

当且仅当(9－k)(4－k)<0，即4(2)解法一：由化简得，

(13－2k)x2＋2(9－k)x＋(9－k)(k－3)＝0

∵Δ≥0，∴k≥6或k≤4(舍)

∵双曲线实轴最长，∴k取最小值6时，9－k最大即双曲线实轴最长，

此时双曲线方程为－＝1.

解法二：若Ck表示双曲线，则k∈(4,9)，不妨设双曲线方程为－＝1，

联立消去y得，

(5－2a2)x2－2a2x－6a2＋a4＝0

∵Ck与直线y＝x＋1有公共点，

∴Δ＝4a4－4(5－2a2)(a4－6a2)≥0，

即a4－8a2＋15≥0，∴a2≤3或a2≥5(舍)，

∴实轴最长的双曲线方程为－＝1.

解法三：双曲线＋＝1中c2＝(9－k)＋(k－4)＝5，∴c＝，∴F1(－，0)，不妨先求得F1(－，0)关于直线y＝x＋1的对称点F(－1,1－)，

设直线与双曲线左支交点为M，则

2a＝|MF2|－|MF1|＝|MF2|－|MF|≤|FF2|

＝＝2

∴a≤，∴实轴最长的双曲线方程为－＝1.

(3)由(1)知C1、C2、C3是椭圆，C5、C6、C7、C8是双曲线，结合图象的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点

设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，m∈{1,2,3}，n∈{5,6,7,8}

则根据椭圆、双曲线定义及·＝0(即PF1⊥PF2)，应有

，所以m＋n＝8.

所以这样的Cm、Cn存在，且或或.

17．(文)(2010·全国Ⅱ文)已知斜率为1的直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)相交于B、D两点，且BD的中点为M(1,3)．

(1)求C的离心率；

(2)设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．

[解析]　(1)由题意知，l的方程为：y＝x＋2，

代入C的方程并化简得，

(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0

设B(x1，y1)，D(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1·x2＝－①

由M(1,3)为BD的中点知＝1，故×＝1

即b2＝3a2②

故c＝＝2a，

∴C的离心率e＝＝2.

(2)由②知，C的方程为3x2－y2＝3a2，

A(a,0)，F(2a,0)，x1＋x2＝2，x1·x2＝－<0，

故不妨设x1≤－a，x2≥a，

|BF|＝＝＝a－2x1，

|FD|＝＝＝2x2－a，

|BF|·|FD|＝(a－2x1)(2x2－a)

＝－4x1x2＋2a(x1＋x2)－a2＝5a2＋4a＋8.

又|BF|·|FD|＝17，故5a2＋4a＋8＝17，

解得a＝1，或a＝－.

故|BD|＝|x1－x2|＝＝6

连结MA，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，

从而MA＝MB＝MD，∠DAB＝90°，

因此以M为圆心，MA为半径的圆过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，

所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．

(理)(2010·广东理)已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个动点．

(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；

(2)若过点H(0，h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2.求h的值．

[分析]　(1)由条件写出直线A1P与A2Q的方程，两式相乘后消去x1，y1得交点E的方程；

(2)l1，l2与E只有一个交点，写出l1与l2的方程与曲线E的方程联立，运用Δ＝0求解．

[解析]　(1)由条件知|x1|>，∵A1、A2为双曲线的左、右顶点∴，A1(－，0)，A2(，0)．

A1P y＝(x＋)，A2Q y＝(x－)，

两式相乘得y2＝(x2－2)，①

而点P(x1，y1)在双曲线上，所以－y12＝1，

即＝，代入①式，整理得，

＋y2＝1.

∵|x1|>，∴点A1(－，0)，A2(，0)均不在轨迹E上，又双曲线的渐近线方程为y＝±x，故过点(0,1)和A2(，0)的直线与双曲线仅有一个交点A2(，0)，故点(0,1)不在轨迹E上，同理点(0，－1)也不在轨迹E上，∴轨迹E的方程为＋y2＝1(x≠±，且x≠0)．

(2)设l1 y＝kx＋h，则由l1⊥l2知，l2 y＝－x＋h.

将l1 y＝kx＋h代入＋y2＝1得

＋(kx＋h)2＝1，即(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0，

由l1与E只有一个交点知，Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，

∴1＋2k2＝h2.

同理，由l2与E只有一个交点知，1＋2·＝h2，

消去h2得＝k2，

即k2＝1，从而h2＝1＋2k2＝3，即h＝.

又分别过A1、A2且互相垂直的直线与y轴正半轴交于点(0，)，∴h＝符合题意，综上知h＝或.