matlab最小二乘法的非线性参数拟合

首先说一下匿名函数：在创建匿名函数时，Matlab记录了关于函数的信息，当使用句柄调用该函数的时候，Matlab不再进行搜索，而是立即执行该函数，极大提高了效率。所以首选匿名函数。具体拟合时可以使用的方法如下：

1 曲线拟合工具箱 提供了很多拟合函数，使用简单

非线性拟合nlinfit函数

clear all;

x1=[0.4292 0.4269 0.381 0.4015 0.4117 0.3017]';

x2=[0.00014 0.00059 0.0126 0.0061 0.00425 0.0443]';

x=[x1 x2];

y=[0.517 0.509 0.44 0.466 0.479 0.309]';

f=@(p,x) 2.350176*p(1)*(1-1/p(2))*(1-(1-x(:,1).^(1/p(2))).^p(2)).^2.*(x(:,1).^(-1/p(2))-1).^(-p(2)).*x(:,1).^(-1/p(2)-0.5).*x(:,2);

p0=[8 0.5]';

opt=optimset('TolFun',1e-3,'TolX',1e-3);%

[p R]=nlinfit(x,y,f,p0,opt)

2 最小二乘法在曲线拟合中比较普遍。拟合的模型主要有

1.直线型

2.多项式型

3.分数函数型

4.指数函数型

5.对数线性型

6.高斯函数型

一般对于LS问题，通常利用反斜杠运算“\\”、fminsearch或优化工具箱提供的极小化函数求解。在Matlab中，曲线拟合工具箱也提供了曲线拟合的图形界面操作。在命令提示符后键入：cftool，即可根据数据，选择适当的拟合模型。

“\\”命令

1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x^2.首先建立设计矩阵X：

X=[ones(size(x)) x x^2];

执行：

para=X\\y

para中包含了三个参数：para(1)=a;para(2)=b;para(3)=c;

这种方法对于系数是线性的模型也适应。

2.假设要拟合：y=a+b*exp(x)+cx*exp(x^2)

设计矩阵X为

X=[ones(size(x)) exp(x) x.*exp(x.^2)];

para=X\\y

3.多重回归(乘积回归)

设要拟合：y=a+b*x+c*t，其中x和t是预测变量，y是响应变量。设计矩阵为

X=[ones(size(x)) x t] %注意x,t大小相等！    

para=X\\y

polyfit函数

polyfit函数不需要输入设计矩阵，在参数估计中，polyfit会根据输入的数据生成设计矩阵。

1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x^2

p=polyfit(x,y,2)

然后可以使用polyval在t处预测：

y_hat=polyval(p,t)

polyfit函数可以给出置信区间。

[p S]=polyfit(x,y,2) %S中包含了标准差

[y_fit,delta] = polyval(p,t,S) %按照拟合模型在t处预测

在每个t处的95%CI为：(y_fit-1.96*delta, y_fit+1.96*delta)

2.指数模型也适应

假设要拟合：y = a+b*exp(x)+c*exp(x.?2)

p=polyfit(x,log(y),2)

fminsearch函数

fminsearch是优化工具箱的极小化函数。LS问题的基本思想就是残差的平方和(一种范数，由此，LS产生了许多应用)最小，因此可以利用fminsearch函数进行曲线拟合。

假设要拟合：y = a+b*exp(x)+c*exp(x.?2)

首先建立函数，可以通过m文件或函数句柄建立：

x=[......]';

y=[......]';

f=@(p,x) p(1)+p(2)*exp(x)+p(3)*exp(x.?2) %注意向量化:p(1)=a;p(2)=b;p(3)=c;

%可以根据需要选择是否优化参数

%opt=options()

p0=ones(3,1);%初值

para=fminsearch(@(p) (y-f(p,x)).^2,p0) %可以输出Hessian矩阵

res=y-f(para,x)%拟合残差

3.多项式型的一个例子

1900-2000年的总人口情况的曲线拟合

clear all;close all;

%cftool提供了可视化的曲线拟合！

t=[1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000]';

y=[75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633 281.4220]';

%t太大，以t的幂作为基函数会导致设计矩阵尺度太差，列变量几乎线性相依。变换为[-1 1]上

s=(t-1950)/50;

%plot(s,y,'ro');

%回归线：y=a+bx

mx=mean(s);my=mean(y);

sx=std(s);sy=std(y);

r=corr(s,y);

b=r*sy/sx;

a=my-b*mx;

rline=a+b.*s;

figure;

subplot(3,2,[1 2])

plot(s,y,'ro',s,rline,'k');%

title('多项式拟合');

set(gca,'XTick',s,'XTickLabel',sprintf('%d|',t));

%hold on;

n=4;

PreYear=[2010 2015 2020];%预测年份

tPreYear=(PreYear-1950)/50;

Y=zeros(length(t),n);

res=zeros(size(Y));

delta=zeros(size(Y));

PrePo=zeros(length(PreYear),n);

Predelta=zeros(size(PrePo));

for i=1:n

    [p S(i)]=polyfit(s,y,i);

    [Y(:,i) delta(:,i)]=polyval(p,s,S(i));%拟合的Y

    [PrePo(:,i) Predelta(:,i)]=polyval(p,tPreYear,S(i));%预测

    res(:,i)=y-Y(:,i);%残差

end

% plot(s,Y);%2009a自动添加不同颜色

% legend('data','regression line','1st poly','2nd poly','3rd poly','4th poly',2)

% plot(tPreYear,PrePo,'>');

% hold off

% plot(Y,res,'o');%残差图

r=corr(s,Y).^2 %R^2

%拟合误差估计CI

YearAdd=[t;PreYear'];

tYearAdd=[s;tPreYear'];

CFtit={'一阶拟合','二阶拟合','三阶拟合','四阶拟合'};

for col=1:n

    subplot(3,2,col+2);

    plot(s,y,'ro',s,Y(:,col),'g-');%原始数据和拟合数据

    legend('Original','Fitted',2);

    hold on;

    plot(s,Y(:,col)+2*delta(:,col),'r:');%95% CI

    plot(s,Y(:,col)-2*delta(:,col),'r:');

    plot(tPreYear,PrePo(:,col),'>');%预测值

    plot(tPreYear,PrePo(:,col)+2*Predelta(:,col));%预测95% CI

    plot(tPreYear,PrePo(:,col)-2*Predelta(:,col));

    axis([-1.2 1.8 0 400]);

    set(gca,'XTick',tYearAdd,'XTickLabel',sprintf('%d|',YearAdd));

    title(CFtit{col});

    hold off;

end

figure;%残差图

for col=1:n

    subplot(2,2,col);

    plot(Y(:,i),res(:,i),'o');

end

4 非线性的应用例子(多元情况)

要拟合y=a*x1^n1+b*x2^n2+c*x3^n3

%注：只是作为应用，模型不一定正确！！！

%x2=x3!!!

y=[1080.94 1083.03 1162.80 1155.61 1092.82 1099.26 1161.06 1258.05 1299.03 1298.30 1440.22 11.30 1672.21 1612.73 1658. 1752.42 1837.99 2099.29 2675.47 2786.33 2881.07]';

x1=[1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 2]';

x2=[1 1.025 1.05 1.075 1.1 1.125 1.15 1.175 1.2 1.225 1.250 1.275 1.3 1.325 1.350 1.375 1.4 1.425 1.45 1.475 1.5]';

x3=[1 1.025 1.05 1.075 1.1 1.125 1.15 1.175 1.2 1.225 1.250 1.275 1.3 1.325 1.350 1.375 1.4 1.425 1.45 1.475 1.5]';

x=[x1 x2 x3];

f=@(p,x) p(1)*x(:,1).^p(2)+p(3)*x(:,2).^p(4)+p(5)*x(:,3).^p(6);

p0=ones(6,1);

p=fminsearch(@(p)sum(y-f(p,x)).^2,p0)

res=y-f(p,x);

res2=res.^2 %失败的模型

  Matlab 自定义函数

自定义函数的途径：

M文件函数(M file function)

在线函数(Inline Function)

匿名函数(Anonymous Function)

1.M文件函数

范例

function c=myadd(a,b)

%这里可以写函数的使用说明，前面以%开头

%在工作区中，help myadd将显示此处的说明

c=a+b;

%end %非必须的

第一行function告诉Matlab这是一个函数，a,b是输入，c是输出，myadd是函数名。以m文件定义的函数必须保存为函数名的形式，上例中，函数应保存为myadd.m。要使用myadd函数，该函数必须在Matlab的搜索路径中。

调用方式：

在Matlab命令符后输入

a=1;b=2;

c=myadd(a,b)

2.在线函数(Inline Function)

通常作为参数传递给另外一个函数。比如fminsearch，lsqcurvefit等函数需要以函数作为参数。

在线函数从字符串表达式创建函数，例如：

f=inline('x.^2','x');

创建了函数f(x)=x^2。要计算f(3)，在工作区输入f(3)即可。f([2 3 4])计算在x=2 3 4时的值

f=inline('x+y','x','y')

创建了二元函数f(x,y)=x+y，工作区输入f(2,3)计算2+3，等同于f(f,2,3)。

3.匿名函数(Anonymous Function)

匿名函数使用函数句柄来表示匿名函数，定义形式为

函数句柄=@(变量名) 函数表达式

例如：

f=@(x) x.^2

定义了函数f(x)=x^2，f(2)计算在x=2处的值。

匿名函数可以调用Matlab函数，也可以使用工作区中存在的变量，例如

a=2;

f=@(x) x.^2+a

f(2) %计算时引用了变量a

a=0;

f(2) %仍然引用的是a=2

匿名函数也可以由Matlab的内置函数或M文件函数创建，例如

f=@sin %f(x)=sin(x)

f(pi/2) %sin(pi/2)

functions(f) %查看函数信息

利用单元数组可以创建多个函数的句柄，例如

f={@sin @cos}

f{1}(pi/2) %计算sin(pi/2)

f{2}(pi) %计算cos(pi)

函数句柄的另一个重要特征是可以用来表示子函数、私有函数和嵌套函数。